4.13第24章圆单元测试(基础卷)-2020-2021九年级数学上册尖子生同步培优题【人教版】

2020-2021学年九年级数学上册尖子生同步培优【人教版】

专题4.13第24章圆单元测试（基础卷）

姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________

注意事项：

本试卷满分120分，试题共26题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（2019秋•吴兴区期末）如图，已知点A、B、C、D都在⊙O上，且∠BOD＝110°，则∠BCD为（ ）

A．110°

B．115°

C．120°

D．125°

̂=𝐴𝐶̂，∠ABC＝70°．则∠BOC的度数为（ ） 2．（2020•泸州）如图，⊙O中，𝐴𝐵

A．100°

B．90°

C．80°

D．70°

3．（2020•雨花区校级模拟）一个圆锥的底面直径是8cm，母线长为9cm，则圆锥的全面积为（ ） A．36πcm2

B．52πcm2

C．72πcm2

D．136πcm2

4．（2020•镇江）如图，AB是半圆的直径，C、D是半圆上的两点，∠ADC＝106°，则∠CAB等于（ ）

A．10°

B．14°

C．16°

D．26°

5．（2020•雁塔区校级模拟）如图，AB是⊙O的直径，C，D为⊙O上的点，弧AD＝弧CD，若∠DAC＝25°，则∠CAB的度数为（ ）

25 / 25

A．30°

B．40°

C．50°

D．60°

6．（2019秋•宽城区期末）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，连结OC、OD，则∠COD的大小是（ ）

A．30°

B．45°

C．60°

D．90°

7．（2020•成都模拟）已知⊙O是正六边形ABCDEF的外接圆，P为⊙O上除C、D外任意一点，则∠CPD的度数为（ ）

A．30°

B．30°或150°

C．60°

D．60°或120°

8．（2019•杭州）如图，P为圆O外一点，PA，PB分别切圆O于A，B两点，若PA＝3，则PB＝（ ）

A．2

B．3

C．4

D．5

9．（2020•朝阳区校级模拟）如图，在△ABC中，∠C＝40°，∠A＝60°．以B为圆心，适当长度为半径作弧，分别交AB，BC于点D，E；分别以D，E为圆心，大于DE长度为半径作弧，两弧交于点F；作

21

射线BP，交AC于点P，过点P作PM⊥AB于M；以P为圆心，PM的长为半径作⊙P．则下列结论中，错误的是（ ）

25 / 25

A．∠PBA＝40° C．PM＝MB

B．PC＝PB

D．⊙P与△ABC有4个公共点

10．（2020春•江州区期末）A、B、C分别表示三个村庄，AB＝1700米，BC＝800米，AC＝1500米，某社区拟建一个文化活动中心，要求这三个村庄到活动中心的距离相等，则活动中心P的位置应在（ ）

A．AB的中点 C．AC的中点

B．BC的中点

D．∠C的平分线与AB的交点

二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上

11．（2020•青海）已知⊙O的直径为10cm，AB，CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB＝8cm，CD＝6cm，则AB与CD之间的距离为 cm．

12．（2020春•莱州市期末）用反证法证明：在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等．证明时，可以先假设 ．

13．（2019秋•厦门期末）如图，△ABC内接于圆，点D在弧BC上，记∠BAC﹣∠BCD＝α，则图中等于α的角是 ．

14．（2019秋•五常市期末）△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，以A为圆心的圆切BC于点D，若BC＝12cm，则⊙A的半径为 cm．

15．（2019•慈溪市模拟）如图，工人师傅准备从一块斜边AB长为40cm的等腰直角△AOB材料上裁出一块

25 / 25

以直角顶点O为圆心的面积最大的扇形，然后用这块扇形材料做成无底的圆锥（接缝处忽略），则圆锥的底面半径为 cm．

16．（2019秋•中山市期末）如图，四边形ABCD是⊙O的外切四边形，且AB＝10，CD＝15，则四边形ABCD的周长为 ．

17．（2020•黑龙江）如图，AD是△ABC的外接圆⊙O的直径，若∠BCA＝50°，则∠ADB＝ °．

18．（2018秋•江北区期末）如图是一块直角三角形木料，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，木工师傅要从中裁下一块圆形用料，则可裁圆形木料的最大半径为 ．

三、解答题（本大题共8小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

19．（2018秋•兴化市校级月考）如图，在平面直角坐标系中，A、B、C是⊙M上的三个点，A（0，4）、B（4，4）、C（6，2）．

（1）圆心M的坐标为 ；

（2）判断点D（4，﹣3）与⊙M的位置关系．

25 / 25

20．（2020•朝阳区模拟）如图，点A，D，B，C在⊙O上，AB⊥BC，DE⊥AB于点E．若BC＝3，AE＝DE＝1，求⊙O半径的长．

21．（2019秋•官渡区期末）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，如果∠ACD＝30°． （1）求∠BAD的度数； （2）若AD=√3，求DB的长．

22．（2015•召陵区一模）（1）如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O交BC于点D，连接AD，请你添加一个条件，使△ABD≌△ACD，并说明全等的理由，你添加的条件是： ．

（2）在（1）的基础上，过点D作⊙O的切线与AC相交于E，此时，判断DE是否与AC垂直，并请你说明理由．

23．（2019秋•慈溪市期中）如图，在平面直角坐标系中，已知⊙D经过原点O，与x轴、y轴分别交于A、

25 / 25

B两点，B点坐标为（0，2√3），OC与⊙D交于点C，∠OCA＝30°．求 （1）⊙D的半径；

（2）圆中阴影部分的面积（结果保留根号和π）

24．（2019秋•宿豫区期中）如图，⊙O的弦AB、DC的延长线相交于点E． ̂为120°，𝐵𝐶̂为50°，求∠E的度数； （1）如图1，若𝐴𝐷

（2）如图2，若AB＝CD，求证：AE＝DE．

25．（2020春•沙坪坝区校级月考）如图，已知AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，OC∥BD，交AD于点E，连结BC． （1）求证：AE＝ED；

（2）若AB＝6，∠CBD＝30°，求图中阴影部分的面积．

26．（2020•深圳）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，AD与过点C的切线互相垂直，垂足为D．连接BC并延长，交AD的延长线于点E． （1）求证：AE＝AB；

（2）若AB＝10，BC＝6，求CD的长．

25 / 25

2020-2021学年九年级数学上册尖子生同步培优题典【人教版】

专题4.13第24章圆单元测试（基础卷）

姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________

注意事项：

本试卷满分120分，试题共26题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（2019秋•吴兴区期末）如图，已知点A、B、C、D都在⊙O上，且∠BOD＝110°，则∠BCD为（ ）

A．110°

B．115°

1

C．120° D．125°

【分析】先利用圆周角定理得到∠A=2∠BOD＝55°，然后根据圆内接四边形的性质计算∠BCD的度数． 【解析】∵∠A=2∠BOD=2×110°＝55°， 而∠A+∠BCD＝180°，

∴∠BCD＝180°﹣55°＝125°． 故选：D．

̂=𝐴𝐶̂，∠ABC＝70°．则∠BOC的度数为（ ） 2．（2020•泸州）如图，⊙O中，𝐴𝐵

1

1

25 / 25

A．100°

B．90°

C．80°

D．70°

【分析】先根据圆周角定理得到∠ABC＝∠ACB＝70°，再利用三角形内角和计算出∠A＝40°，然后根据圆周角定理得到∠BOC的度数． ̂=𝐴𝐶̂， 【解析】∵𝐴𝐵

∴∠ABC＝∠ACB＝70°，

∴∠A＝180°﹣70°﹣70°＝40°， ∴∠BOC＝2∠A＝80°． 故选：C．

3．（2020•雨花区校级模拟）一个圆锥的底面直径是8cm，母线长为9cm，则圆锥的全面积为（ ） A．36πcm2

B．52πcm2

C．72πcm2

D．136πcm2

【分析】利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算出圆锥的侧面积，然后计算侧面积与底面积的和． 【解析】圆锥的全面积＝π×42+2×2π×4×9＝52π（cm2）． 故选：B．

4．（2020•镇江）如图，AB是半圆的直径，C、D是半圆上的两点，∠ADC＝106°，则∠CAB等于（ ）

1

A．10°

B．14°

C．16°

D．26°

【分析】连接BD，如图，根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，则可计算出∠BDC＝16°，然后根据圆周角定理得到∠CAB的度数． 【解析】连接BD，如图， ∵AB是半圆的直径， ∴∠ADB＝90°，

25 / 25

∴∠BDC＝∠ADC﹣∠ADB＝106°﹣90°＝16°， ∴∠CAB＝∠BDC＝16°． 故选：C．

5．（2020•雁塔区校级模拟）如图，AB是⊙O的直径，C，D为⊙O上的点，弧AD＝弧CD，若∠DAC＝25°，则∠CAB的度数为（ ）

A．30°

B．40°

C．50°

D．60°

【分析】利用圆周角定理得到∠ABD＝∠DAC＝25°，∠ADB＝90°，然后利用三角形内角和计算∠CAB的度数．

【解析】∵弧AD＝弧CD， ∴∠ABD＝∠DAC＝25°， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°，

∴∠DAB＝90°﹣25°＝65°，

∴∠CAB＝∠DAB﹣∠DAC＝65°﹣25°＝40°． 故选：B．

6．（2019秋•宽城区期末）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，连结OC、OD，则∠COD的大小是（ ）

A．30°

B．45°

C．60°

D．90°

【分析】根据正六边形的定义确定其中心角的度数即可．

25 / 25

【解析】∵多边形ABCDEF为正六边形， ∴∠COD＝360°×故选：C．

7．（2020•成都模拟）已知⊙O是正六边形ABCDEF的外接圆，P为⊙O上除C、D外任意一点，则∠CPD的度数为（ ）

1

=60°， 6

A．30°

B．30°或150°

C．60°

D．60°或120°

【分析】连接OC、OD，如图，利用正六边形的性质得到∠COD＝60°，讨论：当P点在弧CAD上时，根据圆周角定理得到∠CPD＝30°，当P点在弧CD上时，利用圆内接四边形的性质得到∠CPD＝150°． 【解析】连接OC、OD，如图， ∵⊙O是正六边形ABCDEF的外接圆， ∴∠COD＝60°，

当P点在弧CAD上时，∠CPD=2∠COD＝30°， 当P点在弧CD上时，∠CPD＝180°﹣30°＝150°， 综上所述，∠CPD的度数为30°或150°． 故选：B．

1

8．（2019•杭州）如图，P为圆O外一点，PA，PB分别切圆O于A，B两点，若PA＝3，则PB＝（ ）

25 / 25

A．2

B．3

C．4

D．5

【分析】连接OA、OB、OP，根据切线的性质得出OA⊥PA，OB⊥PB，即可求得PB＝PA＝3． 【解析】连接OA，OB，OP， ∵PA，PB分别切圆O于A，B两点， ∴OA⊥PA，OB⊥PB， ∴PB＝PA＝3， 故选：B．

9．（2020•朝阳区校级模拟）如图，在△ABC中，∠C＝40°，∠A＝60°．以B为圆心，适当长度为半径作弧，分别交AB，BC于点D，E；分别以D，E为圆心，大于DE长度为半径作弧，两弧交于点F；作

21

射线BP，交AC于点P，过点P作PM⊥AB于M；以P为圆心，PM的长为半径作⊙P．则下列结论中，错误的是（ ）

A．∠PBA＝40° C．PM＝MB

B．PC＝PB

D．⊙P与△ABC有4个公共点

1

【分析】根据三角形的内角和得到∠ABC＝80°，根据角平分线的定义得到∠ABP=2∠ABC＝40°，故选项A正确；求得∠C＝∠PBC，得到PC＝PB，故选项B正确；根据三角形的内角和得到∠BPM＝50°，求得∠BPM≠∠MBP，于是得到PM≠BM，故C选项错误；根据角平分线的性质得到P到AB和BC的

25 / 25

距离＝PM＝⊙P的半径，求得AB，BC与⊙P相切，得到⊙P与AC相交，于是得到⊙P与△ABC有4个公共点，故D选项正确．

【解析】∵∠C＝40°，∠A＝60°， ∴∠ABC＝80°，

由题意得，BP平分∠ABC，

∴∠ABP=2∠ABC＝40°，故选项A正确； ∵∠PBC＝∠PBA=2∠ABC＝40°， ∴∠C＝∠PBC，

∴PC＝PB，故选项B正确； ∵PM⊥AB， ∴∠BMP＝90°， ∴∠BPM＝50°， ∴∠BPM≠∠MBP， ∴PM≠BM，故C选项错误； ∵点P在∠ABC的角平分线上，

∴P到AB和BC的距离＝PM＝⊙P的半径， ∴AB，BC与⊙P相切， ∵PA＞PM，PC＞PM， ∴⊙P与AC相交，

∴⊙P与△ABC有4个公共点，故D选项正确， 故选：C．

10．（2020春•江州区期末）A、B、C分别表示三个村庄，AB＝1700米，BC＝800米，AC＝1500米，某社区拟建一个文化活动中心，要求这三个村庄到活动中心的距离相等，则活动中心P的位置应在（ ）

1

1

A．AB的中点

B．BC的中点

25 / 25

C．AC的中点 D．∠C的平分线与AB的交点

【分析】先根据勾股定理的逆定理得出三角形是直角三角形，再根据直角三角形斜边上中线的性质得出即可．

【解析】∵AB＝1700米，BC＝800米，AC＝1500米， ∴BC2+AC2＝AB2， ∴∠C＝90°，

根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出活动中心P的位置应为斜边AB的中点， 故选：A．

二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上

11．（2020•青海）已知⊙O的直径为10cm，AB，CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB＝8cm，CD＝6cm，则AB与CD之间的距离为 1或7 cm．

【分析】作OE⊥AB于E，延长EO交CD于F，连接OA、OC，如图，利用平行线的性质OF⊥CD，根据垂径定理得到AE＝BE＝4，CF＝DF＝3，则利用勾股定理可计算出OE＝3，OF＝4，讨论：当点O在AB与CD之间时，EF＝OF+OE；当点O不在AB与CD之间时，EF＝OF﹣OE． 【解析】作OE⊥AB于E，延长EO交CD于F，连接OA、OC，如图， ∵AB∥CD，OE⊥AB， ∴OF⊥CD，

∴AE＝BE=AB＝4cm，CF＝DF=CD＝3cm， 在Rt△OAE中，OE=√𝐴𝑂2−𝐴𝐸2=√52−42=3cm， 在Rt△OCF中，OF=√𝐶𝑂2−𝐶𝐹2=√52−32=4cm，

当点O在AB与CD之间时，如图1，EF＝OF+OE＝4+3＝7cm； 当点O不在AB与CD之间时，如图2，EF＝OF﹣OE＝4﹣3＝1cm； 综上所述，AB与CD之间的距离为1cm或7cm． 故答案为1或7．

1

212

25 / 25

12．（2020春•莱州市期末）用反证法证明：在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等．证明时，可以先假设 这两个角所对的边相等 ．

【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据此进行判断．

【解析】反证法证明：在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等． 证明时，可以先假设这两个角所对的边相等， 故答案为：这两个角所对的边相等．

13．（2019秋•厦门期末）如图，△ABC内接于圆，点D在弧BC上，记∠BAC﹣∠BCD＝α，则图中等于α的角是 ∠DAC ．

【分析】根据圆周角定理即可得到结论．

【解析】∵∠BAD＝∠BCD，∠BAC﹣∠BCD＝α， ∴∠BAC﹣∠BAD＝∠DAC＝α， ∴图中等于α的角是∠DAC， 故答案为：∠DAC．

14．（2019秋•五常市期末）△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，以A为圆心的圆切BC于点D，若BC＝12cm，则⊙A的半径为 6 cm．

【分析】由切线性质知AD⊥BC，根据AB＝AC可得BD＝CD＝AD=BC＝6． 【解析】如图，连接AD，

1

2

则AD⊥BC， ∵AB＝AC，

∴BD＝CD＝AD=2BC＝6，

1

25 / 25

故答案为：6．

15．（2019•慈溪市模拟）如图，工人师傅准备从一块斜边AB长为40cm的等腰直角△AOB材料上裁出一块以直角顶点O为圆心的面积最大的扇形，然后用这块扇形材料做成无底的圆锥（接缝处忽略），则圆锥的底面半径为 5 cm．

【分析】首先求得扇形的半径，然后利用弧长公式求得弧长，然后利用圆周长公式求得底面半径即可． 【解析】作OC⊥AB于点C，

∵△OAB是斜边长为40cm的等腰直角三角形， ∴OA＝OB＝20√2cm， ∴OC=

20√2×20√2=20cm， 4090𝜋×20180

∴扇形的弧长为=10π，

设底面半径为r，则2πr＝10π， 解得：r＝5， 故答案为：5．

16．（2019秋•中山市期末）如图，四边形ABCD是⊙O的外切四边形，且AB＝10，CD＝15，则四边形ABCD的周长为 50 ．

【分析】根据切线长定理得到AE＝AH，BE＝BF，CF＝CG，DH＝DG，得到AD+BC＝AB+CD＝25，根据四边形的周长公式计算，得到答案．

25 / 25

【解析】∵四边形ABCD是⊙O的外切四边形， ∴AE＝AH，BE＝BF，CF＝CG，DH＝DG， ∴AD+BC＝AB+CD＝25，

∴四边形ABCD的周长＝AD+BC+AB+CD＝25+25＝50， 故答案为：50．

17．（2020•黑龙江）如图，AD是△ABC的外接圆⊙O的直径，若∠BCA＝50°，则∠ADB＝ 50 °．

【分析】根据圆周角定理即可得到结论． 【解析】∵AD是△ABC的外接圆⊙O的直径， ∴点A，B，C，D在⊙O上， ∵∠BCA＝50°， ∴∠ADB＝∠BCA＝50°， 故答案为：50．

18．（2018秋•江北区期末）如图是一块直角三角形木料，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，木工师傅要从中裁下一块圆形用料，则可裁圆形木料的最大半径为 1 ．

【分析】根据勾股定理得到BC=√𝐴𝐵2+𝐴𝐶2=√32+42=5，于是得到结论． 【解析】∵∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，

25 / 25

∴BC=√𝐴𝐵2+𝐴𝐶2=√32+42=5， ∴圆形木料的最大半径=故答案为：1．

三、解答题（本大题共8小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

19．（2018秋•兴化市校级月考）如图，在平面直角坐标系中，A、B、C是⊙M上的三个点，A（0，4）、B（4，4）、C（6，2）．

（1）圆心M的坐标为 （2，0） ； （2）判断点D（4，﹣3）与⊙M的位置关系．

3+4−5

=1， 2

【分析】（1）根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心．

（2）求出⊙M的半径，MD的长即可判断；

【解析】（1）根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心， 可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心． 如图所示，则圆心是（2，0） 故答案为：2，0．

（2）圆的半径AM=√22+42=2√5， 线段MD=√(4−2)2+32=√13＜2√5， 所以点D在⊙M内．

25 / 25

20．（2020•朝阳区模拟）如图，点A，D，B，C在⊙O上，AB⊥BC，DE⊥AB于点E．若BC＝3，AE＝DE＝1，求⊙O半径的长．

【分析】直接利用圆周角定理结合等腰直角三角形的性质得出AB的长，再利用勾股定理得出答案． 【解析】如图，连接AD，AC，连接CD与AB交于点F， ∵AB⊥BC， ∴∠ABC＝90°． ∴AC为直径． ∴∠ADC＝90°． ∵AE＝DE，DE⊥AB， ∴∠DAB＝∠ADE＝45°． ∴∠BCF＝∠DAB＝45°． ∴BC＝BF＝3．

在△ADF中，∠DAB＝∠AFD＝45°， ∴EF＝ED＝1． ∴AB＝5．

∴AC=√𝐴𝐵2+𝐵𝐶2=√34．

25 / 25

∴⊙O半径的长

√34． 2

21．（2019秋•官渡区期末）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，如果∠ACD＝30°． （1）求∠BAD的度数； （2）若AD=√3，求DB的长．

【分析】（1）根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，∠B＝∠ACD＝30°，然后利用互余可计算出∠BAD的度数；

（2）利用含30度的直角三角形三边的关系求解． 【解析】（1）∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∵∠B＝∠ACD＝30°，

∴∠BAD＝90°﹣∠B＝90°﹣30°＝60°； （2）在Rt△ADB中，BD=√3AD=√3×√3=3．

22．（2015•召陵区一模）（1）如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O交BC于点D，连接AD，请你添加一个条件，使△ABD≌△ACD，并说明全等的理由，你添加的条件是： BD＝DC ．

（2）在（1）的基础上，过点D作⊙O的切线与AC相交于E，此时，判断DE是否与AC垂直，并请你说明理由．

25 / 25

【分析】（1）由已知条件可知△ABD和△ACD是直角三角形，添加BD＝CD，利用垂直平分线的性质得出AB＝AC，利用“HL”证明全等；

（2）DE⊥AC，连接OD，先证明OD是△ABC的中位线，得到OD∥AC，利用两直线平行内错角相等，证明∠CED＝∠ODE＝90°，可得DE⊥AC． 【解析】（1）BD＝DC， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝∠ADC＝90°， 在△ABD和△ACD中， 𝐴𝐷=𝐴𝐷{， 𝐵𝐷=𝐷𝐶

∴△ABD≌△ACD（HL）； （2）DE⊥AC， 连接OD，

∵DE是⊙O的切线，

∴DE⊥OD，由（1）可知，BD＝DC， ∴OD是△ABC的中位线， ∴OD∥AC，

∴∠CED＝∠ODE＝90°， 即DE⊥AC．

23．（2019秋•慈溪市期中）如图，在平面直角坐标系中，已知⊙D经过原点O，与x轴、y轴分别交于A、B两点，B点坐标为（0，2√3），OC与⊙D交于点C，∠OCA＝30°．求 （1）⊙D的半径；

（2）圆中阴影部分的面积（结果保留根号和π）

25 / 25

【分析】（1）连接AB，根据∠AOB＝90°可知AB是直径，再由圆周角定理求出∠OBA＝∠C＝30°，由锐角三角函数的定义得出OA及AB的长，则可得出圆D的半径长； （2）根据S阴影＝S半圆﹣S△ABO即可得出结论． 【解析】（1）连结AB，

∵∠AOB＝90°， ∴AB为⊙D直径

∵∠ABO与∠C是同弧所对圆周角， ∴∠ABO＝∠C＝30° ∴AB＝2OA，

∵B点坐标为（0，2√3）， ∴OB=2√3，

在直角三角形AOB中，AB2＝OA2+OB2， ∴AB2＝（1

2AB）2+（2√3）2

∵AB＞0，

∴AB＝4，即⊙D的半径为2；

（2）圆中阴影部分的面积为：S1

1

阴影＝S半圆﹣S△ABO=2𝜋×22−2×2×2√3=2π﹣2√3． 24．（2019秋•宿豫区期中）如图，⊙O的弦AB、DC的延长线相交于点E． （1）如图1，若𝐴𝐷

̂为120°，𝐵𝐶̂为50°，求∠E的度数； （2）如图2，若AB＝CD，求证：AE＝DE．

25 / 25

【分析】（1）连接AC．根据弧AD为120°，弧BC为50°，可得到∠ACD＝60°，∠BAC＝25°，根据∠ACD＝∠BAC+∠E，得出∠E＝∠ACD﹣∠BAC＝60°﹣25°＝35°；

（2）连接AD．由AB＝CD，得到弧AB＝弧CD，推出弧AC＝弧BD，所以∠ADC＝∠DAB，因此AE＝DE．

【解答】（1）解：连接AC． ∵弧AD为120°，弧BC为50°， ∴∠ACD＝60°，∠BAC＝25°， ∵∠ACD＝∠BAC+∠E

∴∠E＝∠ACD﹣∠BAC＝60°﹣25°＝35°； （2）证明：连接AD． ∵AB＝CD， ∴弧AB＝弧CD， ∴弧AC＝弧BD， ∴∠ADC＝∠DAB， ∴AE＝DE．

25．（2020春•沙坪坝区校级月考）如图，已知AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，OC∥BD，交AD于点E，连结BC． （1）求证：AE＝ED；

（2）若AB＝6，∠CBD＝30°，求图中阴影部分的面积．

25 / 25

【分析】（1）根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，根据平行线的性质得到∠AEO＝∠ADB＝90°，即OC⊥AD，于是得到结论；

（2）连接CD，OD，根据平行线的性质得到∠OCB＝∠CBD＝30°，根据等腰三角形的性质得到∠OCB＝∠OBC＝30°，求得∠AOD＝120°，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论． 【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∵OC∥BD，

∴∠AEO＝∠ADB＝90°，即OC⊥AD， 又∵OC为半径， ∴AE＝ED，

（2）解：连接CD，OD， ∵OC∥BD，

∴∠OCB＝∠CBD＝30°， ∵OC＝OB，

∴∠OCB＝∠OBC＝30°， ∴∠AOC＝∠OCB+∠OBC＝60°， ∵∠COD＝2∠CBD＝60°， ∴∠AOD＝120°， ∵AB＝6，

∴BD＝3，AD＝3√3， ∵OA＝OB，AE＝ED， ∴𝑂𝐸=2𝐵𝐷=2，

120⋅𝜋×3139√3∴S阴影＝S扇形AOD﹣S△AOD=−×33×=3π−． √3602242

13

25 / 25

26．（2020•深圳）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，AD与过点C的切线互相垂直，垂足为D．连接BC并延长，交AD的延长线于点E． （1）求证：AE＝AB；

（2）若AB＝10，BC＝6，求CD的长．

【分析】（1）证明：连接AC、OC，如图，根据切线的性质得到OC⊥CD，则可判断OC∥AD，所以∠OCB＝∠E，然后证明∠B＝∠E，从而得到结论；

（2）利用圆周角定理得到∠ACB＝90°，则利用勾股定理可计算出AC＝8，再根据等腰三角形的性质得到CE＝BC＝6，然后利用面积法求出CD的长． 【解答】（1）证明：连接AC、OC，如图， ∵CD为切线， ∴OC⊥CD， ∵CD⊥AD， ∴OC∥AD， ∴∠OCB＝∠E， ∵OB＝OC， ∴∠OCB＝∠B， ∴∠B＝∠E， ∴AE＝AB；

25 / 25

（2）解：∵AB为直径， ∴∠ACB＝90°， ∴AC=√102−62=8， ∵AB＝AE＝10，AC⊥BE， ∴CE＝BC＝6， ∵1

CD•AE=122AC•CE，

∴CD=

6×810=24

5．

25 / 25