《高等数学》

贵州师范大学2014年硕士研究生入学考试大纲

（复 试）

(科目： 048 高等数学 ）

一、考查目标

（一）考试目的

《高等数学》是我校数学与计算机科学学院招收全日制硕士研究生而设置的具有选拔性质的入学考试科目，其目的是考核考生大学数学基础知识掌握的程度，是否具备硕士研究进一步学习应有数学知识结构，为我校数学与计算机科学学院择优选拔硕士研究生提供依据。 （二）考试的基本要求

1）要求考生比较系统地理解高等数学的基本概念和基本理论； 2）掌握高等数学的基本思想和方法；

3）要求考生具有抽象思维能力、逻辑推理能力、运算能力和综合运用所学的知识分析问题和解决问题的能力。

二、考试形式与试卷结构

（一）试卷成绩及考试时间

1、本试卷满分为100分。 2、考试时间为180分钟。 （二）答题方式

闭卷，笔试；所列题目全部为必答题。 （三）试卷内容结构:

各部分的考查比例：

一元函数微积分及其应用 约30% 微分方程 约20% 向量代数与空间解析几何 约10% 多元函数微积分及其应用 约20% 无穷级数 约20%

（四）试卷题型结构

1、题型：叙述题、简答题、单项选择题、判断题、填空、计算题、证明题等 2、结构：

三、考查范围

1、参考书目：

《高等数学》（上、下册）第六版 同济大学数学系编高教出版社2007年6月 2、内容：

1、一元函数微积分及其应用

1

（1）数列的极限 ；函数的极限 ；无穷小与无穷大 ；极限运算法则 ；极限存

在准则 ； 两个重要极限 ；无穷小的比较 ；函数的连续性与间断点 ；连续函数的运算与初等函数的连续性 ；闭区间上连续函数的性质 。

（2）导数概念；函数的求导法则；高阶导数 ；隐函数及由参数方程所确定的函

数的导数；函数的微分。

（3）微分中值定理；罗必塔法则；泰勒公式；函数的单调性与曲线的凸凹性及

拐点的判别；函数的极值与最大值最小值

（4）原函数与不定积分的概念；积分基本公式；不定积分的性质；换元积分法；

分部积分法。

（5）定积分的概念与性质；微积分基本公式；定积分的换元积分和分部积分法；

反常积分。定积分在几何学上的应用。 2、微分方程

（1）微分方程的基本概念；可分离变量的微分方程；齐次方程；

（2）一阶线性微分方程；可降阶的高阶微分方程；高阶线性微分方程； （3）常系数齐次线性微分方程。 3、向量代数与空间解析几何

（1）向量及其线性运算；数量积 向量积 混合积；

（2）曲面及其方程；空间曲线及其方程；平面及其方程；空间直线及其方程。 4、多元函数微积分及其应用

（1）多元函数的基本概念；偏导数；全微分；多元复合函数的求导法则；隐函

数的求导公式；多元函数微分学的几何应用；二元函数的极值及其求法。 （2）二重积分的概念与性质； 二重积分的计算法。 5、无穷级数

（1）常数项级数的概念、无穷级数收敛、发散以及和的概念，无穷级数的基本

性质及收敛的必要条件。

（2）几何级数、p-级数的收敛性；正项级数的比值审敛法；交错级数及其审敛

法；；幂级数的收敛半径、收敛域及其求法。

四、样 题

一、 单项选择题（本大题共 小题，每小题 分，共 分）在每小题列出的四个

备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。

x2y2例题 方程22z 表示 ( B )

ab(A) 椭圆抛物面 (B) 双曲抛物面 (C) 椭圆锥面 (D) 单叶双曲面

二、填空题（本大题共 小题，每小题 分，共 分）请把正确答案填写在横线上

x例题 由曲线ye,ye及y轴所围成的平面图形的面积是 1 三、叙述题（本大题共 小题，每小题 分，共 分）

2

例题 试叙述拉格朗日（Lagrange）中值定理.

若函数f(x)满足：①在[a,b]连续；②在(a,b)可导，

f(b)f(a)则在(a,b)内至少存在一点，使f′ ()ba四、判断题（本大题共 小题，每小题 分，共 分）在每小题的括号内，对的填√，错的填×。

例题 若f(x)在点x0既左可导又右可导，则f(x)在x0连续. （√ ) 五、计算题（本大题共 小题，每小题 分，共 分）请写出题解的必要计算过程

例题 求微分方程yy2x的通解.

解：（解法一）

对应齐次方程为yy0，其通解为yCex 设原非齐次方程通解为yC(x)ex ，yC(x)exC(x)ex代回原方程为

C(x)exC(x)exC(x)ex2xC(x)2xex2exC y2xex2exCexCex2x2

六、综合题（本大题共 小题，每小题 分，共 分）请写出题解的计算过程

2

例题 某地区防空洞的截面拟建成矩形加半圆(如图) 截面的面积为5m 问底宽x为多少时才能使截面的周长最小 从而使建造时所用的材料最省？

1x5解 设矩形高为h  截面的周长S 则xh()25 hx 于是

22x8 Sx2h1040x10) S12 xx(0x4x24x2040因为S30 4x令S 0得唯一驻点x所以x4040为极小值点 同时也是最小值点 因此底宽为x44时所用的材料最省。

七、证明题（本大题共 小题，每小题 分，共 分）请写出必要的证明过程

例题 证明方程x3x1至少有一个根介于1和2之间. 证明 设f(x)x53x1, 则f(x)是闭区间[1, 2]上的连续函数.

因为f(1)3, f(2)25, f(1)f(2)<0, 

所以由零点定理, 在(1, 2)内至少有一点(1<<2), 使f()0, 即x 是方程x53x1的介于1和2之间的根.

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