2020-2021学年北京市101中学高二(下)期中数学试卷(解析版)

一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分）.

1．一个首项为23，公差为整数的等差数列，从第7项开始为负数，则它的公差是（ ） A．﹣2

B．﹣3

C．﹣4

＝（ ）

D．﹣6

2．设等比数列{an}的公比q＝2，前n项和为Sn，则

A．2 B．4 C． D．

3．下列函数中，在（0，+∞）上为增函数的是（ ） A．f（x）＝sin2x C．f（x）＝x3﹣x

4．函数f（x）＝x2lnx的最小值为（ ） A．﹣

B．

C．﹣

D．

B．f（x）＝xex D．f（x）＝﹣x+lnx

5．已知函数f（x）＝x3+ax2+bx+c，则“a2﹣3b＞0”是“f（x）有三个不同的零点”的（ ） A．充分而不必要条件 C．充分必要条件

B．必要而不充分条件

D．既不充分也不必要条件

6．函数f（x）＝3sinx+4cosx的图象在点T（0，f（0））处的切线l与坐标轴围成的三角形面积等于（ ） A．

B．

C．

D．

7．若数列{an}的通项公式是an＝（﹣1）n（3n﹣2），则a1+a2+…+a10＝（ ） A．15

B．12

C．﹣12

D．﹣15

8．若数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an+1，n∈N*，则下列说法不正确的是（ ） A．a5＝﹣16

C．数列{an}是等比数列

B．S5＝﹣63

D．数列{Sn﹣1}是等比数列

9．若函数f（x）＝lnx﹣ax+1，a∈R有两个零点，则实数a的取值范围是（ ） A．（﹣∞，1）

B．（0，1）

C．（﹣1，1）

D．（1，2）

10．已知函数f（x）＝x3+ax+b，其中a，b∈R，则下列选项中的条件使得f（x）仅有一个零点的有（ ）

A．a＜b，f（x）为奇函数

B．a＝ln（b2+1）

C．a＝﹣3，b2﹣4≥0 D．a＝﹣1，b＝

二、填空题：共5小题，每小题5分，共25分．

11．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2＝﹣3，S5＝﹣10，则a5＝ ，Sn的最小值为 ．

12．设数列{an}为等比数列，其公比为q，已知a1+a2+a3+a4＝3，a5+a6+a7+a8＝48，则＝ ．

13．已知x轴为函数f（x）＝x3+ax+为 ．

14．已知定义在区间（﹣π，π）上的函数f（x）＝xsinx+cosx，则f（x）的单调递增区间是 ． 15．已知函数f（x）＝

，其中a＞0．如果对于任意x1，x2∈R，且x1＜

的图象的一条切线，则实数a的值

x2，都有f（x1）＜f（x2），则实数a的取值范围是 ． 三、解答题共4小题，共45分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 16．已知公差不为0的等差数列{an}的首项a1＝1，且a1，a2，a6成等比数列． （1）求数列{an}的通项公式； （2）设bn＝

，求数列{bn}的前n项和Sn．

这三个条件中任选一个，补充在下面的问题

17．在①S2＝，q＜0，②S3＝96，③S1＝中．

n∈N*，S4＝80．设等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，前n项积为Tn，满足____，问Tn是否存在最大值？若存在，求出n的值；若不存在，请说明理由． 18．已知函数

（Ⅰ）求实数a的值； （Ⅱ）设b＞1，求f（x）在区间19．已知函数f（x）＝lnx+ax2+（2a+1）x． （1）讨论f（x）的单调性；

上的最大值和最小值．

，曲线y＝f（x）在x＝1处的切线经过点（2，﹣1）．

（2）当a＜0时，证明：f（x）≤﹣﹣2；

（3）若不等式f（x）＞0恰有两个整数解，求实数a的取值范围．

参

一、选择题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

1．一个首项为23，公差为整数的等差数列，从第7项开始为负数，则它的公差是（ ） A．﹣2

B．﹣3

C．﹣4

D．﹣6

解：一个首项为23，公差为整数的等差数列，从第7项开始为负数， 则

，

解得﹣≤d＜﹣，

∵d∈Z，∴它的公差为﹣4． 故选：C．

2．设等比数列{an}的公比q＝2，前n项和为Sn，则

＝（ ）

A．2 B．4 C． D．

解：S5＝＝31a1，a2＝2a1，

则＝＝．

故选：D．

3．下列函数中，在（0，+∞）上为增函数的是（ ） A．f（x）＝sin2x C．f（x）＝x3﹣x

B．f（x）＝xex D．f（x）＝﹣x+lnx

解：对于A，f（x）＝sin2x是周期函数，在（0，+∞）上无单调性，∴不满足题意； 对于B，∵f（x）＝xex，∴f′（x）＝（1+x）ex，

∴当x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）上是增函数； 对于C，∵f（x）＝x3﹣x，∴f′（x）＝3x2﹣1，

∴当x∈（0，）时，f′（x）＜0，f（x）是减函数；

x∈（，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）是增函数；∴不满足题意； 对于D，∵f（x）＝﹣x+lnx，∴f′（x）＝﹣1+＝，

当x∈（0，1）时，f′（x）＞0，f（x）是增函数，

当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）是减函数，∴不满足题意． 综上，在（0，+∞）上为增函数的是B． 故选：B．

4．函数f（x）＝x2lnx的最小值为（ ） A．﹣

B．

C．﹣

D．

解：f′（x）＝2xlnx+x＝x（2lnx+1）（x＞0）， 令f′（x）＞0，得 ； f′（x）＜0，得 ； 所以函数f（x）在

上单调递减，在

单调递增；

所以当时，f（x）有最小值：，

故选：C．

5．已知函数f（x）＝x3+ax2+bx+c，则“a2﹣3b＞0”是“f（x）有三个不同的零点”的（A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

解：f′（x）＝3x2+2ax+b，

若f′（x）＝3x2+2ax+b＝0，且△＝4a2﹣12b＞0，即a2﹣3b＞0时， 设f′（x）＝0两根为x1，x2，且x1＜x2，

当x＜x1 或x＞x2时，f′（x）＞0，f（x）单调递增， 当x1＜x＜x2时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，

若，则f（x）有三个不同的零点，

∴a2﹣3b＞0是f（x）有三个不同的零点的必要不充分条件． 故选：B．

） 6．函数f（x）＝3sinx+4cosx的图象在点T（0，f（0））处的切线l与坐标轴围成的三角形面积等于（ ） A．

B．

C．

D．

解：由f（x）＝3sinx+4cosx，得f'（x）＝3cosx﹣4sinx， ∴f'（0）＝3，又f（0）＝4， ∴切线l的方程为3x﹣y+4＝0，

取x＝0，解得切线l在y轴上的截距b＝4， 取y＝0，解得切线l在x轴上的截距， ∴直线l与坐标轴围成的三角形面积|a||b|＝．

故选：D．

7．若数列{an}的通项公式是an＝（﹣1）n（3n﹣2），则a1+a2+…+a10＝（ ）A．15

B．12

C．﹣12

D．﹣15

解：依题意可知a1+a2＝3，a3+a4＝3…a9+a10＝3 ∴a1+a2+…+a10＝5×3＝15 故选：A．

8．若数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an+1，n∈N*，则下列说法不正确的是（A．a5＝﹣16

B．S5＝﹣63

C．数列{an}是等比数列

D．数列{Sn﹣1}是等比数列

解：数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an+1①， 当n＝1时，解得a1＝﹣1， 当n≥2时，Sn﹣1＝2an﹣1+1②， ①﹣②得：an＝2an﹣2an﹣1， 故an＝2an﹣1， 整理得

（常数），

所以数列{an}是以﹣1为首项，2为公比的等比数列； 所以

．

．

根据数列的通项公式和求和公式，整理得a5＝﹣16，

，

）由于，所以．

故ACD正确，B错误． 故选：B．

9．若函数f（x）＝lnx﹣ax+1，a∈R有两个零点，则实数a的取值范围是（ ） A．（﹣∞，1）

B．（0，1）

C．（﹣1，1）

D．（1，2）

解：函数f（x）＝lnx﹣ax+1，a∈R有两个零点， 等价为f（x）＝0即a＝令g（x）＝

有两个不等的实数解．

，

，g′（x）＝

当x＞1时，g′（x）＜0，g（x）递减；当0＜x＜1时，g′（x）＞0，g（x）递增． g（x）在x＝1处取得极大值，且为最大值1． 当x→+∞，y→0．

画出函数y＝g（x）的图象，

由图象可得0＜a＜1时，y＝g（x）和y＝a有两个交点， 即方程有两个不等实数解，f（x）有两个零点． 故选：B．

10．已知函数f（x）＝x3+ax+b，其中a，b∈R，则下列选项中的条件使得f（x）仅有一个零点的有（ ）

A．a＜b，f（x）为奇函数 C．a＝﹣3，b2﹣4≥0 解：f′（x）＝3x2+a，

对于A：由f（x）是奇函数，知b＝0， 因为a＜0，

所以f（x）存在两个极值点，

由f（0）＝0知，f（x）有三个零点，故A错误；

B．a＝ln（b2+1） D．a＝﹣1，b＝

对于B：因为b2＝1≥1，所以a≥0，f′（x）≥0， 所以f（x）单调递增，则f（x）仅有一个零点，故B正确； 对于C：若b＝2，f′（x）＝3x2﹣3，

则f（x）的极大值为f（﹣1）＝4，极小值为f（1）＝0， 此时f（x）有两个零点，故C错误； 对于D：f（x）＝x3﹣x+， f′（x）＝3x2﹣1， 令f′（x）＝0，得x1＝﹣当x∈（﹣∞，﹣当x∈（﹣当x∈（

，

，x2＝

，

）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增， ）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，

，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，

）＝

+＞0，极小值为f（

）＝﹣

+＜0，

f（x）的极大值为f（﹣

所以f（x）有三个零点，故D错误． 故选：B．

二、填空题：共5小题，每小题5分，共25分．

11．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2＝﹣3，S5＝﹣10，则a5＝ 0 ，Sn的最小值为 ﹣10 ．

解：设等差数列{an}的前n项和为Sn，a2＝﹣3，S5＝﹣10，

∴，

解得a1＝﹣4，d＝1， ∴a5＝a1+4d＝﹣4+4×1＝0， Sn＝

＝﹣4n+

＝（n﹣）2﹣

，

∴n＝4或n＝5时，Sn取最小值为S4＝S5＝﹣10． 故答案为：0，﹣10．

12．设数列{an}为等比数列，其公比为q，已知a1+a2+a3+a4＝3，a5+a6+a7+a8＝48，则

＝

﹣ ．

解：∵a1+a2+a3+a4＝3，a5+a6+a7+a8＝48， ∴

（1﹣q4）＝3，

[（1﹣q8）﹣（1﹣q4）]＝48，

解得q4＝16． 则

＝﹣

＝﹣．

故答案为：﹣．

13．已知x轴为函数f（x）＝x3+ax+的图象的一条切线，则实数a的值为 解：由f（x）＝x3+ax+，得f′（x）＝3x2+a， 设切点为（x0，0），

．

则，消去a并整理，得，则．

∴故答案为：

． ．

14．已知定义在区间（﹣π，π）上的函数f（x）＝xsinx+cosx，则f（x）的单调递增区间是

，

．

解：由题意得，f′（x）＝sinx+xcosx﹣sinx＝xcosx， 根据余弦函数的性质得， 当

或

时，f′（x）＞0，

和．

，

所以f（x）的单调递增区间是故答案为：

和

15．已知函数f（x）＝，其中a＞0．如果对于任意x1，x2∈R，且x1＜

x2，都有f（x1）＜f（x2），则实数a的取值范围是 ．

解：对于任意 x1，x2∈R，且 x1＜x2，都有 f（x1）＜f（x2） 成立，即函数f（x）在R上单调递增，

先考察函数 g（x）＝﹣x2+2x﹣3，x∈R 的图象， 配方可得 g（x）＝﹣（x﹣1）2﹣2，

函数 g（x） 在 （﹣∞，1）上单调递增，在 （1，+∞） 上单调递减，且 g（x）max＝g（1）＝﹣2， ∴a⩽1，

以下考察函数 h（x）＝xlnx，x∈（0，+∞） 的图象， 则 h′（x）＝lnx+1，令 h′（x）＝lnx+1＝0，解得 随着 x 变化时，h（x） 和 h′（x） 的变化情况如下：

x

h′（x） h（x）

﹣ 单调递减

0 极小值

+ 单调递增

上单调递增，且

．

即函数 h（x） 在

．

上单调递减，在

对于任意 x1，x2∈R，且 x1＜x2，都有 f（x1）＜f（x2） 成立， ∴∵

，

，即 h（x）min＞g（x）max，

．

．

∴a 的取值范围为 故答案为：

三、解答题共4小题，共45分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 16．已知公差不为0的等差数列{an}的首项a1＝1，且a1，a2，a6成等比数列． （1）求数列{an}的通项公式； （2）设bn＝

，求数列{bn}的前n项和Sn．

解：（1）设等差数列{an}的公差为d，d不为0，

由a1＝1，且a1，a2，a6成等比数列，可得a22＝a1a6， 即为（1+d）2＝1+5d，解得d＝3， 所以an＝1+3（n﹣1）＝3n﹣2； （2）bn＝

＝

﹣

＝（

﹣

）， ）＝

．

则Sn＝（1﹣+﹣+...+）＝（1﹣

17．在①S2＝，q＜0，②S3＝96，③S1＝中．

这三个条件中任选一个，补充在下面的问题

n∈N*，S4＝80．设等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，前n项积为Tn，满足____，问Tn是否存在最大值？若存在，求出n的值；若不存在，请说明理由． 解：若选①S2＝，q＜0，S4＝80， 可得a1+a2＝，a3+a4＝S4﹣S2＝16， 两式相除可得q2＝

＝，解得q＝﹣，

由a1﹣a1＝，解得a1＝128，

﹣﹣﹣

所以an＝a1qn1＝（﹣1）n128n，

当n为奇数时，an＞0，当n为偶数时，an＜0， 当1≤n≤8时，|an|≥1；当n≥9时，|an|＜1， 所以当n＝8时，前n项积为Tn取得最大． 若选②S3＝96，S4＝80，则a4＝S4﹣S3＝﹣16， 即有a1q3＝﹣16，a1+a1q+a1q2＝96， 解得a1＝128，q＝﹣， an＝a1qn﹣1＝（﹣1）n﹣128﹣n，

当n为奇数时，an＞0，当n为偶数时，an＜0， 当1≤n≤8时，|an|≥1；当n≥9时，|an|＜1， 所以当n＝8时，前n项积为Tn取得最大． 若选③S1＝

，S4＝80，则a1＝

，

（1+q+q2+q3）＝80，

解得q＝，an＝•28﹣n，

当1≤n≤6时，an＞1；当n≥7时，0＜an＜1． 所以当n＝6时，前n项积为Tn取得最大． 18．已知函数

（Ⅰ）求实数a的值； （Ⅱ）设b＞1，求f（x）在区间【解答】（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）f（x）的导函数为所以f'（1）＝1﹣a． 依题意，有 即

，

，………………

，………………

上的最大值和最小值．

，曲线y＝f（x）在x＝1处的切线经过点（2，﹣1）．

解得a＝1．……………… （Ⅱ）由（Ⅰ）得

．

当0＜x＜1时，1﹣x2＞0，﹣lnx＞0，所以f'（x）＞0，故f（x）单调递增； 当x＞1时，1﹣x2＜0，﹣lnx＜0，所以f'（x）＜0，故f（x）单调递减．

所以f（x）在区间（0，1）上单调递增，在区间（1，+∞）上单调递减．……………… 因为设则

，

，所以f（x）最大值为f（1）＝﹣1．………………

，其中b＞1．………………

故h（b）在区间（1，+∞）上单调递增．……………… 所以h（b）＞h（1）＝0，即故f（x）最小值为

，………………

．………………

19．已知函数f（x）＝lnx+ax2+（2a+1）x． （1）讨论f（x）的单调性； （2）当a＜0时，证明：f（x）≤﹣

﹣2；

（3）若不等式f（x）＞0恰有两个整数解，求实数a的取值范围． 解：（

1）由题意，得

f（x）

．

若 a⩾0，则当 x∈（0，+∞） 时，f′（x）＞0，故 f（x） 在 （0，+∞） 上单调递增，若 a＜0，则当

f′（x）＜0，故 f（x） 在

时，f′（x）＞0，当

上单调递增，在

时

上单调递减．

的定义域为

综上所述，若 a⩾0，f（x） 在 （0，+∞） 上单调递增；若 a＜0，f（x） 在 上单调递增，在

上单调递减．

取得最大值，

（2）由（1）知，当 a＜0 时，f（x） 在＝最大值为 所以

等价于

， ，

，

设 g（x）＝lnx﹣x+1，则

当 x∈（0，1）时，g′（x）＞0；当 x∈（1，+∞） 时，g′（x）＜0， 所以 g（x） 在 （0，1）上单调递增，在 （1，+∞） 上单调递减， 故当 x＝1 时，g（x） 取得最大值，最大值为 g（1）＝0， 所以当 x＞0 时，g（x）⩽0， 从而当 a＜0 时，即

．

，

（3）①当 a⩾0 时，

由 （1）知 f（x） 在 （0，+∞） 上单调递增，因为 f（1）＝1+3a＞0， 所以当 x＞1 时，f（x）＞0 恒成立，不符合题意； ②当 a＜0 时，由 （1）知 f（x） 在 单调递减， 且 （i） 当

时，此时

，

，

上单调递增，在

上

所以 f（x）max⩽0，即 f（x）⩽0 恒成立，显然不满足题意； （ii） 当 1° 当

时，此时 ，即

，

时，此时结合题意有

2° 当 时，即 时，

此时 f（1）＝1+3a＞0，f（2）＝2+ln2+8a＞0，f（3）＝3+ln3+15a＞0，与题意矛盾． 综上所述，a 的取值范围为

．