中考数学试题及答案

中等学校高中阶段招生文化考试数学试卷

（满分120分，考试时间120分钟）

考生注意：除第一、二大题外其余各题如无特别说明，都必须写出证明或计算的主要步骤．

一．填空题（本大题共14题，每题2分，满分28分）

11．计算：22＝__________．

2．如果分式x3无意义，那么x＝__________．

x23．在张江高科技园区的上海超级计算中心内，被称为“神威1”的计算机运算速度为每秒384 000 000 000次，这个速度用科学记数法表示为每秒___________次． 4．方程

2x21＝x2

的根是__________．

5．抛物线y＝x－6x＋3的顶点坐标是 __________． 6．如果f（x）＝kx，f（2）＝－4，那么k＝__________． 7．在方程x2

＋21＝3x－4

x3x中，如果设y＝x－3x，那么原

2

方程可化为关于y的整式方程是__________．

8．某出租车公司在“五一”长假期间平均每天的营业额为5万元，由此推断5月份的总营业额约为5×31＝155（万元）根据所学的统计知识，你认为这样的推断是否合理？答：__________．

9．在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，如果

AD＝8，DB＝6，EC＝9，那么AE＝__________．

10．在离旗杆20米处的地方用测角仪测得旗杆顶的仰角为

a，如果测角仪高为1.5米，那么旗杆的高为__________米，

（用含a的三角比表示）．

11．在△ABC中，如果AB＝AC＝5cm，BC＝8cm，那么这个三角形的重心G到BC的距离是__________cm．

12．两个以点O为圆心的同心圆中，大圆的弦AB与小圆相切，如果AB的长为24，大圆的半径OA为13，那么小圆的半径为__________．

13．在Rt△ABC中，∠A＜∠B，CM是斜边AB上的中线，将△ACM沿直线CM折叠，点A落在点D处，如果CD恰好与AB垂直，那么∠A等于__________度．

14．已知AD是△ABC的角平分线，E、F分别是边AB、AC的中点，连结DE、DF，在不再连结其他线段的前提下，要使四边形AEDF成为菱形，还需添加一个条件，这个条可以是__________．

二、多项选择题（本大题4题，每题3分，满分12分） ［每题列出的四个答案中，至少有一个是正确的，把所有正确答案的代号填入括号内，错选或不选得0分，否则每漏选一个扣1分，直至扣完为止］

15．在下列各数中，是无理数的是 （ ） （A）π； （B）22； （C）

7

9； （D）4．

16．在下列各组根式中，是同类二次根式的是 （ ） （A） （C）

2和12； （B）； （D）

2和

12；

4ab和ab3a1和a1．

17．如果两个半径不相等的圆有公共点，那么这两个圆的公切线可能是 （ ）

（A）1条； （B）2条； （C）3条； （D）4条

18．下列命题中，正确的是 （ ） （A）正多边形都是轴对称图形；

（B）正多边形一个内角的大小与边数成正比例； （C）正多边形一个外角的大小随边数的增加而减少； （D）边数大于3的正多边形的对角线长相等． 三、（大小题共4题，每题7分，满分28分）

x2x22x12x619．计算：． x1x2x6x29

3x15x1,20．解不等式组：465xx6.33①②

21．如图1，已知四边形ABCD中，BC＝CD＝DB，∠ADB＝90°，

cos∠ABD＝4，求S△ABD︰S△BCD．

5

图1

22．某校在六年级和九年级男生中分别随机抽取20名男生测量他们的身高，绘制的频数分布直方图如图2所示，其中两条点划线上端的数值分别是每个年级被抽20名男生身高的平均数，该根据该图提供的信息填空：

图2

（1）六年级被抽取的20名男生身高的中位数所在组的范围是__________厘米；

九年级被抽取的20名男生身高的中位数所在组的范围是__________厘米．

（2）估计这所学校九年级男生的平均身高比六年级男生的

平均身高高__________厘米．

（3）估计这所学校六、九两个年级全体男生中，身高不低于153厘米且低于163厘米的男生所占的百分比是__________． 四、（本大题共4题，每题10分，满40分）

23．已知：二次函数y＝x－2（m－1）x＋m－2m－3，其中m为实数．

（1）求证：不论m取何实数，这个二次函数的图象与x轴必有两个交点；

（2）设这个二次函数的图象与x轴交于点A（x1，0）．B（x2，0），且x1、x2的倒数和为2，求这个二次函数的解析式．

32

2

24．已知：如图3，AB是半圆O的直径，弦CD∥AB，直线CM、

DN分别切半圆于点C、D，且分别和直线AB相交于点M、N．

图3

（1）求证：MO＝NO；

（2）设∠M＝30°，求证：NM＝4CD．

25．某班进行个人投篮比赛，受污损的下表记录了在规定时

间内设进n个球的人数分布情况：

同时，已知进球3个或3个以上的人平均每人投进3.5个球；进球4个或4个以下的人平均每人投进2.5个求，问投进3个球和4个求的各有多少人．

26．如图4，直线y＝1x＋2分别交x、y轴于点A、C，P是

2该直线上在第一象限内的一点，PB⊥x轴，B为垂足，S△ABP＝9．

图4

（1）求点P的坐标；

（2）设点R与点P的同一个反比例函数的图象上，且点R在直线PB的右侧，作RT⊥x轴，T为垂足，当△BRT与△AOC相似时，求点R的坐标.

五、（本大题只有1题，满分12分，（1）、（2）、（3）题均为4分）

27．操作：将一把三角尺放在边长为1的正方形ABCD上，并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动，直角的一边始终经过点B，另一边与射线DC相交于点Q．

图5

图6图7

探究：设A、P两点间的距离为x．

（1）当点Q在边CD上时，线段PQ与线段PB之间有怎样的大小关系？试证明你观察得到结论；

（2）当点Q在边CD上时，设四边形PBCQ的面积为y，求y与x之间的函数解析式，并写出函数的定义域；

（3）当点P在线段AC上滑动时，△PCQ是否可能成为等腰三角形？如果可能，指出所有能使△PCQ成为等腰三角形的点Q的位置，并求出相应的x的值；如果不可能，试说明理由．

（图5、图6、图7的形状大小相同，图5供操作、实验用，图6和图7备用）

上海市2002年中等学校高中阶段招生文化考试

数学试卷答案要点与评分说明

一．填空题（本大题共14题，每题2分，满分28分） 1．4； 2．2； 3．3.84×10； 4．x＝1； 5．（3，－6）；

6．－2； 7．y＋4y＋1＝0； 8．不合理； 9．12；

10．20tan＋1.5； 11．1； 12．5； 13．30；

14．AB＝AC、∠B＝∠C、AE＝AF、AE＝ED、DE∥AC、…中的一个

二、多项选择题（本大题共4题，每题3分，满分12分） 15．A、D； 16．B、C 17．A、B、C 18．A、C

三、（本大题共4题，每题7分，满分28分） 19．解：原式＝x2x12x3

x1x3x2x3x3211

2

……………………

（4分）

＝x1x32 x3……………………（2分）

＝x3＝1．……………………（1分）

x320．

解：由①解得 x＜3……………………（3分） 由②解得 x≥3 ……………………（3分）

8∴ 原不等式组的解集是 21．

解：∵ cos∠ABD＝4

53≤x＜3……………………（18分）

∴ 设AB＝5k BD＝4k（k＞0），得AD＝3k ……………………（1分） 于是

21S△ABC＝AD·BD＝6k

2……………………（2分）

∴ △BCD是等边三角形， ∴ S△BCD＝

223BD＝43k 42

……………………（2分）

2

∴ S△ABD︰S△BCD＝6k︰4

3k＝3︰2……………………（2分）

22．（1）148～153 ……………………（1分） 168～173 ……………………（1分） （2）18.6……………………（2分） （3）22.5%……………………（3分） 四、（本大题共4题，每题10分，满分40分） 23． （1）证明：

和这个二次函数对应的一元二次方程是x－2（m－1）x＋m－2m－3＝0

2

2

Δ＝4（m－1）

2

－4（m2

－2m－

3） ……………………（1分）

＝

4m2

－8m＋4－4m2

＋8m＋

12 ……………………（1分）

＝

16

＞

0． ……………………（1分）

∵ 方程x－2（m－1）x＋m－2m－3＝0必有两个不相等的实数根．

∴ 不论m取何值，这个二次函数的图象与x轴必有两个交点． ……………（1分） （2）解：

由题意，可知x1、x2是方程x－2（m－1）x＋m－2m－3＝0的两个实数根，

∴ x1＋x2＝2（m－1），x1·x2＝m－2m－3． ……………………（2分） ∵

x1x22112，，即 ∴ 22m12（*） …………x1x23x1x23m2m332

2

2

2

2

（1分） 解

得

m＝0或m＝

5 ……………………（2分）

经检验：m＝0，m＝5都是方程（*）的解

∴ 所求二次函数的解析是y＝x＋2x－3或y＝x－8x＋12．……………………（1分） 24．证明：连结OC、OD． （1）∵

22

OC＝OD，∴ ∠OCD＝∠

ODC ……………………（1分）

∵ CD∥AB，∴ ∠COD＝∠COM，∠ODC∠DON． ∴

∠

COM＝∠

DON …………………

…（1分）

∵ CM、DN分别切半圆O于点C、D，∴ ∠OCM＝∠ODN＝90°． …（1分）

∴ △OCM≌△ODN．……………………（1分） ∴ OM＝ON． ……………………（1分） （2）由（1）△OCM≌△ODN可得∠M＝∠N．

∵ ∠M＝30°∴ ∠N＝30° ……………………（1分） ∴

OM＝2OD，ON＝2OD，∠COM＝∠DON＝

60°……………………（1分）

∴ ∠COD＝60°……………………（1分）

∴ △COD是等边三角形，即CD＝OC＝OD．……………………（1分）

∴ MN＝OM＋ON＝2OC＋2OD＝4CD． ……………………（1分）

25．解：设投进3个球的有x个人，投进4个球的有y个人……………………（1分）

3x4y52xy23.5,由题意，得（*）……………………0112273x4y2.5.127xy（4分）

xy6,整理，得

x3y18……………………（2分）

解得x9,y3 ……………………（2分）

x9,经检验：y3 是方程组（*）的解．

答：投进3个球的有9个人，投进4个球的有3个人． ……………………（1分） 26．解：

（1）由题意，得点C（0，2），点A（－4，0）． ……………………（2分）

设点P的坐标为（a，1a＋2），其中a＞0．

2由题意，得S△ABP＝1（a＋4）（1a＋2）＝9． ……………………

22（1分）

解得a＝2或a＝－10（舍去） ……………………（1分） 而当a＝2时，1a＋2＝3，∴ 点P的坐标为（2，

23）． ……………………（1分）

（2）设反比例函数的解析式为y＝k．

x∵ 点P在反比例函数的图象上，∴ 3＝k，k＝6

2∴ 反比例函数的解析式为y＝6，……………………（1分）

x设点R的坐标为（b，6），点T的坐标为（b，0）其中b＞2，

b那么BT＝b－2，RT＝6．

b①当△RTB～△AOCRTAO2， BTCO时，

RTBTAOCO，即

………………（1分）

∴

6b2，解得b2b＝3或b＝－1（舍去）．

∴ 点R 的坐标为（3，2）．……………………（1分） ①当△RTB∽△COARTCO1， BTAO2时，

RTBTCOAO，即

………………（1分）

∴

6b1，解得b22b＝1＋13或b＝1－13（舍去）．

∴ 点R 的坐标为（1＋（1分）

13，

131）． 2……………………

综上所述，点R的坐标为（3，2）或（1＋13，

131）． 2五、（本大题只有1题，满分12分，（1）、（2）、（3）题均为

4分） 27．

图1 图2 图3 （1）解：PQ＝PB……………………（1分）

证明如下：过点P作MN∥BC，分别交AB于点M，交CD于点

N，那么四边形AMND和四边形BCNM都是矩形，△AMP和△CNP都是等腰直角三角形（如图1）．

∴ NP＝NC＝MB． ……………………（1分） ∵ ∠BPQ＝90°，∴ ∠QPN＋∠BPM＝90°． 而∠BPM＋∠PBM＝90°，∴

∠QPN＝∠

PBM． ……………………（1分）

又∵ ∠QNP＝∠PMB＝90°，∴ △QNP≌△

PMB． ……………………（1分）

∴ PQ＝PB． （2）解法一

由（1）△QNP≌△PMB．得NQ＝MP． ∵ AP＝x，∴ AM＝MP＝NQ＝DN＝

2x， 2

2x，BM＝PN＝CN＝1－2

∴ CQ＝CD－DQ＝1－2·得S△PBC＝

122x＝1－2x． 212BC·BM＝×1×（1－

2x2）＝

12－

24x． ………………（1分） S△PCQ＝12CQ·PN＝1×（1－2x）（1－2x）＝12222

－32x＋142x2

（1分）

S1＝S＋S＝四边形PBCQ△PBC△PCQ2x－2x＋1．

22即

y＝12x－

2

2x＋1（0≤x＜）．……………………（1分，

1分） 解法二

作PT⊥BC，T为垂足（如图2），那么四边形PTCN为正方形． ∴ PT＝CB＝PN．

又∠PNQ＝∠PTB＝90°，PB＝PQ，∴△PBT≌△PQN．

S四边形PBCQ＝S△四边形PBT＋S四边形PTCQ＝S四边形PTCQ＋S△PQN＝S正方形PTCN

（2分）

＝CN＝（1－∴

2

2212

x）＝x－2x＋1 22…

y＝12x－

2

2x＋1（0≤x＜

22）．……………………（1分）

（3）△PCQ可能成为等腰三角形

①当点P与点A重合，点Q与点D重合，这时PQ＝QC，△

PCQ是等腰三角形，

此时x＝0 ……………………（1分）

②当点Q在边DC的延长线上，且CP＝CQ时，△PCQ是等腰三角形（如图3）

……………………（1分） 解法一 此时，QN＝PM＝

2x． 222x，CP＝2－x，CN＝22CP＝1－

∴ CQ＝QN－CN＝当

2－x＝2x－1

22x－（1－x）＝2x－1． 22时，得x＝1． ……………………（1分）

2解法二 此时∠CPQ＝1∠PCN＝22.5°，∠APB＝90°－22.5°＝67.5°，

∠ABP＝180°－（45°＋67.5°）＝67.5°，得∠APB＝∠ABP， ∴ AP＝AB＝1，∴ x＝1． ……………………（1分）