高三物理天体

第4单元 万有引力与航天

一．开普勒行星运动定律：

⑴ 开普勒第一定律：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个 上． ⑵ 开普勒第二定律：从太阳到行星的连线在相等的时间内扫过相等的 ．

⑶ 开普勒第三定律：所有行星的轨道的 的三次方跟它的 的二次方的比值都相等．

【例1】．【2013·江苏卷】火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行，根据开普勒行星运动定律可知 （ ）

A．太阳位于木星运行轨道的中心 B．火星和木星绕太阳运行速度的大小始终相等 C．火星与木星公转周期之比的平方等于它们轨道半长轴之比的立方

D．相同时间内，火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫过的面积

二．万有引力定律：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的 上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成 ，与它们之间距离r的平方成 ． ⑴ 表达式：F = G为引力常量，G = 6.67×10－11 ； ⑵ 适用条件：① 公式适用于 间的相互作用．当两个物体间的距离远远大于物体本身的大小时，物体可视为质点．② 质量分布均匀的球体可视为质点，r是两球心间的距离． 三．宇宙速度：

a3/T2 = k，k是一个与行星无关的常量

,.

1. 第一宇宙速度：又叫 速度，它是人造地球卫星在地面附近环绕地球做匀速圆周运动时具有的速度；它又是人造卫星的 环绕速度，也是人造地球卫星的 发射

速度．推导过程为：由mg = mv2/R = GMm/R2得v =

GMR = gR = km/s．

2. 第二宇宙速度：又叫 速度，使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度；v2 = km/s．

3. 第三宇宙速度：又叫 速度，使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度；v3 = km/s．

【例2】如图所示是牛顿研究抛体运动时绘制的一幅草图，以不同速度抛出的物体分别沿a、

b、c、d轨迹运动，其中a是一段曲线，b是贴近地球表面的圆，c是椭圆，d是双曲线的

一部分．已知引力常量为G、地球质量为M、半径为R、地球附近重力加速度为g．以下说法中正确的是 （ ） A．沿a运动的物体初速度一定小于B．沿b运动的物体速度等于

的

gR

GMRC．沿c运动的物体初速度一定大于第二宇宙速度 D．沿d运动的物体初速度一定大于第三宇宙速度 四．卫星问题：

1. 模型：某一天体周围有绕其做圆周运动的物体，该物体叫做该天体的卫星．在研究过程中，一般仅考虑两者之间的万有引力，其忽略其他星体对它们的作用，且视为匀速圆周运动．

,.

ma―→a＝r―→a∝rvGM1m―→v＝ ―→v∝rrrGMm2. 基本原理： ＝越高越慢 rGM1

mωr―→ω＝ r―→ω∝r4π4πrmTr―→T＝ GM―→T∝r

2

2

2

2

2

3

3

2

23

2

3

GM1

天体对其表面的物体的万有引力近似等于重力，即

GMmR2

＝mg或gR2＝GM(R、g分别

是天体的半径、表面重力加速度)，公式gR2＝GM，应用广泛，称“黄金代换”。

【例3】“探路者”号宇宙飞船在宇宙深处飞行过程中，发现A、B两颗均匀球形天体，两天体各有一颗靠近其表面飞行的卫星，测得两颗卫星的周期相等，以下判断正确的是( ) A．天体A、B的质量一定不相等 B．两颗卫星的线速度一定相等 C．天体A、B表面的重力加速度之比等于它们的半径之比 D．天体A、B的密度一定相等

【例4】2012年6月24日，“神舟九号”飞船与“天宫一号”飞行器成功手动对接，“神舟

九号”与“天宫一号”对接前按如图所示的轨道示意图运行，下列说法中正确的是（ ） A．“神舟九号”的加速度比“天宫一号”小 B．“神舟九号”运行的速率比“天宫一号”小 C．“神舟九号”运行的周期比“天宫一号”长 D．“神舟九号”运行的角速度比“天宫一号”大 3.同步卫星：相对地球静止的卫星．其特点：

,.

① 周期一定：与地球自转周期相同，即T = h； ② 角速度一定：与地球自转的角速度相同；

③ 高度一定：卫星离地面的高度h = ； ④ 速率一定：v = ；

⑤ 轨道平面一定：轨道平面与 共面． ⑥绕行方向一定：与地球自转的方向 。

【例5】我国在西昌卫星发射中心，将巴基斯坦通信卫星1R（Paksat – 1R）成功送入地球同步轨道，发射任务获得成功．关于成功定点后的“1R”卫星，下列说法正确的是 （ ） A．运行速度大于第一宇宙速度，小于第二宇宙速度 B．离地面的高度一定，相对地面保持静止 C．绕地球运行的周期比月球绕地球运行的周期大

D．向心加速度与静止在赤道上物体的向心加速度大小相等

4. 三个物体：求解卫星运行问题时，一定要认清三个物体(赤道上的物体、近地卫星、同步卫星)之间的关系。

比较内容 向心力来源 赤道表面的物体 万有引力的分力 近地卫星 万有引力 同步卫星 v3＝ω3(R＋h)＝线速度 v1＝ω1R v2＝GM RGMR＋h v1 Tb C．线速度的大小关系为va < vc < vb D．向心加速度的大小关系为aa > ab > ac 5.卫星的变轨问题

Mmv22π

（1）圆轨道上的稳定运行：G2＝m＝mrω2＝mr()2

rrT（2）变轨运行分析：

v2

①当v增大时，所需向心力m增大，即万有引力不足以提供向心力，卫星将做离心运动，

r脱离原来的圆轨道，轨道半径变大，但卫星一旦进入新的轨道运行，由v＝ 行速度要减小，但重力势能、机械能均增加。

GMr知其运

,.

②当卫星的速度突然减小时，向心力

mv2r减小，即万有引力大于卫星所需的向心力，因此卫

星将做向心运动，同样会脱离原来的圆轨道，轨道半径变小，进入新轨道运行时由v＝

GMr知运行速度将增大，但重力势能、机械能均减少。

【例7】航天飞机在完成对哈勃空间望远镜的维修任务后，在A点从圆形轨道Ⅰ进入椭圆轨道Ⅱ，B为轨道Ⅱ上的与地球相切的一点，如图所示．关于航天飞机的运动，下列说法中正确的有 （ ）

A．在轨道Ⅱ上经过A的速度小于经过B的速度

B．在轨道Ⅱ上经过A的动能小于在轨道Ⅰ上经过A的动能 C．在轨道Ⅱ上运动的周期小于在轨道Ⅰ上运动的周期

D．在轨道Ⅱ上经过A的加速度小于在轨道Ⅰ上经过A的加速度

6.双星：在天体运动中，将两颗彼此相距较近且在相互之间万有引力作用下，绕两者连线上的某点做周期相同的匀速圆周运动的行星称为双星。

(1)两颗行星做匀速圆周运动所需的向心力是由它们之间的万有引力提供的，故两行星做匀速圆周运动的向心力大小相等。

(2)两颗行星均绕它们连线上的一点做匀速圆周运动，因此运行周期和角速度是相等的。 (3)两颗行星做匀速圆周运动的半径r1和r2与两行星间距L的大小关系：r1＋r2＝L。 【例8】(2012·重庆高考)冥王星与其附近的另一星体卡戎可视为双星系统，质量比约为7∶1，同时绕它们连线上某点O做匀速圆周运动。由此可知，冥王星绕O点运动的( )

,.

11

A．轨道半径约为卡戎的 B．角速度大小约为卡戎的

77C．线速度大小约为卡戎的7倍 D．向心力大小约为卡戎的7倍

练习题

1．(2012·山东高考)2011年11月3日，“神舟八号”飞船与“天宫一号”目标飞行器成功实施了首次交会对接。任务完成后“天宫一号”经变轨升到更高的轨道，等待与“神舟九号”交会对接。变轨前和变轨完成后“天宫一号”的运行轨道均可视为圆轨道，对应的轨道半径分别为R1、R2，线速度大小分别为v1、v2。则等于( )

v1v2

A.

R1 3

3R 2

B.

R2R1

C.

R2 2

2R 1

D.

R2R1

2．(2012·广东高考)如图所示，飞船从轨道1变轨至轨道2。若飞船在两轨道上都做匀速圆周运动，不考虑质量变化，相对于在轨道1上，飞船在轨道2上的( ) A．动能大 B．向心加速度大 C．运行周期长 D．角速度小

3．地球的公转轨道接近圆，但彗星的运动轨道则是一个非常扁的椭圆。天文学家哈雷曾经在1662年跟踪过一颗彗星，他算出这颗彗星轨道的半长轴约等于地球公转半径的18倍，并预言这颗彗星将每隔一定时间就会再次出现。这颗彗星最近出现的时间是1986年，它下次飞近地球大约是哪一年( )

A．2042年 B．2052年 C．2062年 D．2072年

,.

4. (2012·江苏高考)2011年8月，“嫦娥二号”成功进入了环绕“日地拉格朗日点”的轨道，我国成为世界上第三个造访该点的国家。如图2所示，该拉格朗日点位于太阳和地球连线的延长线上，一飞行器处于该点，在几乎不消耗燃料的情况下与地球同步绕太阳做圆周运动，则此飞行器的( ) A．线速度大于地球的线速度 B．向心加速度大于地球的向心加速度 C．向心力仅由太阳的引力提供 D．向心力仅由地球的引力提供

5．质量为m的探月航天器在接近月球表面的轨道上飞行，其运动视为匀速圆周运动。已知月球质量为M，月球半径为R，月球表面重力加速度为g，引力常量为 G，不考虑月球自转的影响，则航天器的( )

A．线速度 v＝

GMR B．角速度ω＝gR GmR2

C．运行周期 T＝2π

Rg D．向心加速度 a＝

6．甲、乙为两颗地球卫星，其中甲为地球同步卫星，乙的运行高度低于甲的运行高度，两卫星轨道均可视为圆轨道。以下判断正确的是( )

A．甲的周期大于乙的周期 B．乙的速度大于第一宇宙速度 C．甲的加速度大于乙的加速度 D．甲在运行时能经过北极的正上方

7.探月卫星沿地月转移轨道到达月球附近，在P点进行第一次“刹车制动”后被月球捕获，进入椭圆轨道绕月飞行，如图所示，若卫星的质量为m，远月点Q距月球表面的高度为h，运行到Q点时它的角速度为ω，加速度为a，月球的质量为M、半径为R，月球表面的重力加速度为g，引力常量为G，

,.

则卫星在远月点时，月球对卫星的万有引力大小为( )

A.

GMmR2

B．ma

C.

mgR2R＋h2

D．m(R＋h)ω2

8．人造地球卫星可以绕地球做匀速圆周运动，也可以沿椭圆轨道绕地球运动。对于沿椭圆轨道绕地球运动的卫星，以下说法正确的是( )

A．近地点速度一定等于7.9 km/s B．近地点速度一定大于7.9 km/s，小于11.2 km/s C．近地点速度可以小于7.9 km/s D．远地点速度一定小于在同高度圆轨道上的运行速度

9．(2012·北京高考)关于环绕地球运动的卫星，下列说法正确的是( )

A．分别沿圆轨道和椭圆轨道运行的两颗卫星，不可能具有相同的周期 B．沿椭圆轨道运行的一颗卫星，在轨道不同位置可能具有相同的速率 C．在赤道上空运行的两颗地球同步卫星，它们的轨道半径有可能不同 D．沿不同轨道经过北京上空的两颗卫星，它们的轨道平面一定会重合

10．“探路者”号宇宙飞船在宇宙深处飞行过程中，发现A、B两颗均匀球形天体，两天体各有一颗靠近其表面飞行的卫星，测得两颗卫星的周期相等，以下判断正确的是( )

A．天体A、B的质量一定不相等 B．两颗卫星的线速度一定相等

C．天体A、B表面的重力加速度之比等于它们的半径之比 D．天体A、B的密度一定相等

11．我国成功发射了“神舟九号”载人飞船，假设飞船绕地球做匀速圆周运动，下列正确的是( )

A．飞船的运行速度小于地球的第一宇宙速度

,.

B．若知道飞船运动的周期和轨道半径，再利用引力常量，就可算出地球的质量 C．若宇航员从船舱中慢慢“走”出并离开飞船，飞船速率将减小

D．若有两个这样的飞船在同一轨道上，相隔一段距离一前一后沿同一方向绕行，只要后一飞船向后喷气加速，则两飞船一定能实现对接

12． 2011年8月26日消息，英国曼彻斯特大学的天文学家认为，他们已经在银河系里发现一颗由曾经的庞大恒星转变而成的体积较小的行星，这颗行星完全由钻石构成。若已知引力常量，还需知道哪些信息可以计算该行星的质量( )

A．该行星表面的重力加速度及绕行星运行的卫星的轨道半径 B．该行星的自转周期与星体的半径

C．围绕该行星做圆周运动的卫星的公转周期及运行半径 D．围绕该行星做圆周运动的卫星的公转周期及公转线速度

13．(2012·天津高考)一人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动，假如该卫星变轨后仍做匀速圆1

周运动，动能减小为原来的，不考虑卫星质量的变化，则变轨前后卫星的( )

4

A．向心加速度大小之比为4∶1 B．角速度大小之比为2∶1 C．周期之比为1∶8 D．轨道半径之比为1∶2

14．一位同学为了测算卫星在月球表面附近做匀速圆周运动的环绕速度，提出了如下实验方案：在月球表面以初速度v0竖直上抛一个物体，测出物体上升的最大高度h，已知月球的半径为R，便可测算出绕月卫星的环绕速度。按这位同学的方案，绕月卫星的环绕速度为( )

A．v02h

B．v0 2R 2hhRC．v0

2R

hD．v0R,.

15.如图所示，是某次发射人造卫星的示意图，人造卫星先在近地圆周轨道1上运动，然后改在椭圆轨道2上运动，最后在圆周轨道3上运动，a点是轨道1、2的交点，b点是轨道2、3的交点，人造卫星在轨道1上的速度为v1，在轨道2上a点的速度为v2a，在轨道2上b点的速度为v2b，在轨道3上的速度为v3，则各速度的大小关系是( ) A．v1>v2a>v2b>v3 B．v1v1>v3>v2b D．v2a>v1>v2b>v3

16．同步卫星离地心距离r，运行速度为v1，加速度为a1，地球赤道上的物体随地球自转的加速度为a2，第一宇宙速度为v2，地球半径为R，则以下正确的是( )

A.＝ B.＝(

a1ra1ra2Ra2R)2 C.

v1

1

＝ D.＝()－ v2Rv2R2

rv1r17． [2014·天津卷] 研究表明，地球自转在逐渐变慢，3亿年前地球自转的周期约为22小时．假设这种趋势会持续下去，地球的其他条件都不变，未来人类发射的地球同步卫星与现在的相比( )

A．距地面的高度变大 B．向心加速度变大 C．线速度变大 D．角速度变大 18．[2014·新课标Ⅱ卷] 假设地球可视为质量均匀分布的球体．已知地球表面重力加速度在

两极的大小为g0，在赤道的大小为g；地球自转的周期为T，引力常量为G.地球的密度为( ) 3πg0－g3πg03π3πg0

A.2 B.2 C.2 D.2 GTg0GTg0－gGTGTg19. （2013高考山东理综）双星系统由两颗恒星组成，两恒星在相互引力的作用下，分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动。研究发现，双星系统演化过程中，两星的总质量、距离和周期均可能发生变化。若某双星系统中两星做圆周运动的周期为T,，经过一段时间演化后，两星总质量变为原来的k倍，两星之间的距离变为原来的n倍，则此时圆周运动的周期为

,.

n3n3A．T B．T C．

k2kn2T D． knT k20． [2014·浙江卷] 长期以来“卡戎星(Charon)”被认为是冥王星唯一的卫星，它的公转轨道半径r1＝19 600 km，公转周期T1＝6.39天.2006年3月，天文学家新发现两颗冥王星的小卫星，其中一颗的公转轨道半径r2＝48 000 km，则它的公转周期T2最接近于

A．15天 B．25天 C．35天 D．45天

21． [2014·福建卷] 若有一颗“宜居”行星，其质量为地球的p倍，半径为地球的q倍，则该行星卫星的环绕速度是地球卫星环绕速度的( )

A.

pq倍 B.qp倍 C.

pq倍 D.pq3倍

22．[2014·江苏卷] 已知地球的质量约为火星质量的10倍，地球的半径约为火星半径的2倍，则航天器在火星表面附近绕火星做匀速圆周运动的速率约为( )

A．3.5 km/s B．5.0 km/s C．17.7 km/s D．35.2 km/s

23.(2011广东).已知地球质量为M，半径为R，自转周期为T，地球同步卫星质量为m，引力常量为G。有关同步卫星，下列表述正确的是 A.卫星距离地面的高度为

3GMT2 B.卫星的运行速度小于第一宇宙速度 24Mm 2RC.卫星运行时受到的向心力大小为GD.卫星运行的向心加速度小于地球表面的重力加速度

24.（2013全国新课标理综） 2012年6曰18日，神州九号飞船与天宫一号目标飞行器在离地面343km的近圆轨道上成功进行了我国首次载人空间交会对接。对接轨道所处的空间存在极其稀薄的空气，下面说法正确的是

A.为实现对接，两者运行速度的大小都应介于第一宇宙速度和第二宇宙速度之间 B.如不加干预，在运行一段时间后，天宫一号的动能可能会增加 C. 如不加干预，天宫一号的轨道高度将缓慢降低

D.航天员在天宫一号中处于失重状态，说明航天员不受地球引力作用

,.

25．[2014·山东卷] 2013年我国相继完成“神十”与“天宫”对接、“嫦娥”携“玉兔”落月两大航天工程．某航天爱好者提出“玉兔”回家的设想：如图所示，将携带“玉兔”的返回系统由月球表面发射到h高度的轨道上，与在该轨道绕月球做圆周运动的飞船对接，然后由飞船送“玉兔”返回地球．设“玉兔”质量为m，月球半径为R，月面的重力加速度为g“玉兔”在月．以月面为零势能面，

h高度的引力势能可表示为Ep＝

GMmhR（R＋h）

，其中G为引力常量，M为月球质量．若忽略月球的自转，

从开始发射到对接完成需要对“玉兔”做的功为( ) A.

mg月RR＋h(h＋2R) B.2

mg月RR＋h(h＋2R)

1

h＋R C.h＋R D.

R＋hR＋h22

26．(2012·新课标全国卷)假设地球是一半径为R、质量分布均匀的球体。一矿井深度为d。已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零。矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为( )

A．1－ B．1＋ C．(

mg月R

mg月R

ddR－dRRR)2 D．(

RR－d)2