６０ ｈ槭 第２９卷第ｌ２期－２０１０年ｌ２月 氧鄙 ． ． ＪＩ虽 。槽礴 数静衙髓Ｊｔ酾 ‘ 馒 ，， 番墩≤ 黎 曼Ｓ ｌ理的推广及应用 肃兰州 ７，１ 、 ，・瞰 ｐ≮ 螋毁磷髅印靛 鼬簧建 ｈ ∈ 漕 容内 吨基整 ． 懿 薅 穗 ｆ －关键词｛黎受耕．理 广，；虚度… 。 ｝、｝鹋 中圈分类号：ｔ】】７２ ｋ ．耕 辩且 黼＞ｌｖ 辅 小只 一出３ｌｊｊ｝建 一助 蒋ｆｄ１辑 遘’祷・整 数 正，函 ． 一镪醉 ． １一’ ・一，、 ’＼ｉ １ ＿， －耷㈠ 辫术出豁 讯，错术 ｎ。 小只 ±ｌ蛏坐 瑟 ． 撄墨 式盘警 ． 斡§： ：其 小出 数 …，其证明思想在各种 ，Ｉ ‘ ： 推广的黎曼引理：漩函数 ）在ｉ“，６］ ，一１ｘ……虽如孵 ， 雕摩潜 散热 瓶。思粕 协 ，ｆ、‘Ａ 翡斟木蝌… 。 ＿褂一 繇．瑚 嘲 ・ 鳖 ． 蝥壅堂骛墨 夔苤 ？龋思 刽 可 鞋ｉ：连 盘 黎小、瑚料永 黥 文拟对其进行一些推广 并 西实－衡桌 说嘲 其应用的广泛 性． 卜 曲史 出 躜：Ｆ￣ａｔ＂ ｌ ．上可积并绝对面积，函数－ （ ．以 童’（＞ｏ）为 周期，且在 Ｏ，１１］上可积，则 ｒ＾ ｝ 』一 Ｆ。 ＩＴ ｔ‘ ’ｃ。 （。ｔ ）ｄ． ａ： ・．，・’ ， ｑ’ （Ｆ 、 辖 感 鹳 显 臣 然． ｇ ） 积 ｌｉｍ Ｉ ｆＣｃ）ｇ（村 ）ｄｘ ０十０－Ｊ“ ｔ｝ ＇ Ｏ Ｌ －．ｉ．镩黎 ≥ 礴 ｌ ｛ （ ． ｒ ＿＝ ” ０． ） （ｎｘ）ｄ ． 、， － ＋（１） 羚 小 ≥ Ｏ 和 ｇ． ｝ 、 、＝糍 走 广６ 、 ；一 。 ， （ ） 避 一 ～～ －、 ）ｚ ＾． （ｊ ｊ先｜没 一 ’・ １、 。 基￡； 支可 ，一． 在 ．Ｉ 使 有上确界Ｍ 与下确界Ｍ ，由第一积分中 Ｆｃ 一，｛Ｉ ．。０ ≤首喜∈ 一 ≥ 。６ｍ Ｔ ，ｍ。Ｔ： ａ］．［，，鲫．白］ ．，定理，有 ∈ｌ［ ¨ ］，使 ． ， ．．Ｉ Ｉ ．易翔 再 积 分 。“ ？。。“ ： ’ 。‘． 。谶 ｆ－厂（Ｉｆ，，ｇ（，灯，（妇≯．一 ．ｊ， 一Ｉ Ｆ（ ）鬟（ｗ，（｛ ， —ｌ。２ …， ㈩ｄ ｄｘ ‘ｊ√｜ｌ 舔ｉ！ 是存 Ｌ： 代入＜１）中即得 ， ） 踌： ．‘。 蠓抽詹 息ｌｌ：ｉ：＇ｌｌｔ－ 弄始坼 氧 一冬． 立 雌 淤 收捣１日觏：２０Ｊ ０ ａ Ⅲ？， 豫 ｅ翳默 耩鼬 镧愚拉 ｆ 攥、嚏‘ 铃 潍 举中夼 辫个壹蝼函嫠变蛳． 恩 睁 斡 第２９卷第ｌ ２期 ２０１０年ｌ２月 数学教学研究 。 由ｆ 荟 Ｃ 砉介于Ｆ ）在分法Ｌ下的 上、下达布和之间，故当ｎ一＋。。时， ） ｄｘＪ１ ． ，’（ ） ＜ ．＜麦．厶Ｌ Ａ 因－厂（ ）在［“，＋。。）上可积，从而在［ｎ， ｌｉｍ Ｉ ｆ（ｚｃ）ｇ（ｒａｖ）ｄｘ ，ｒ 十 Ｊ“ 一 ・ｌｉ ｍ 一蓦。ｃｔ Ｔ ：｛』：‘ｇ ｃ ｄ ・ｊ．“ Ｆ ｃ ｄｚ 一｝ ）ｄ．ｒ・ ， （ ，）ｄｚ． Ｆ面去掉 （－ｒ）≥Ｏ这个．设 ）： 生 ９ （ ）一 ：（ｙ一 ‘ 显然， ’。为 （ ）与 ｚ（ ）的一‘个周期， ．（ｚ）及 ｚ（ ）在［０， ］上可积且非负， ∈ ［Ｏ，７’］．引用上面已证的事实便有 ｒ６ ｌｉｍ Ｉ．ｆ（ｘ）ｇ（ｎｘ）ｄｚ 坤－’寸“、ＪⅡ 一ｌｉｍ １．厂（１ｚ）（ ｌ（ｎｘ）一 （， ））ｄｘ —ｌｉｎｌ ｌ／’（ ’ （， ）ｄｘ —ｌ 【Ｊ１ Ｉ ｆ（ ） （ ）ｄｘ 一｛ 。（ ）ｄ ・ 厂（ ）ｄ 一 ， －）（ 一｛．ｆ：ｃ ．ｃ ，一 ｃｚ，，ｄ ‘・ｊ＾：－，’ｃ ，ｄ 一｛ ：ｇｃ ｄ ・－ｒ：－厂 ｄｚ． （ｉｉ）设．，‘（ｚ）在［“，＋。。）上可积且绝对 可积（非常义），其它假设如前． 由于ｇ（ｘ）为一般可积函数，故有界．设 ！ｇ（ ）Ｉ＜Ｍ ∈（一ｏ。．＋。。），并记 ｃ 十 ｒ ， 因Ｉ ｉ ，（．ｒ）！ｄ 存在，故任给ｅ＞０，必 有Ａ＞（ｆ＇使 Ａ］上常义可积，由（１）知 ｒ＾ ｌｉａｒ ｌ厂（ｚ）ｇ（ｎｘ）ｄｘ ”一’十∞ＪⅡ 一亭Ｊ．：’ｇｃｚ ｄ ・ＪＩ －厂ｃ ｄｚ． 故存在正整数Ｎ，当，ｚ＞Ｎ后，恒有 ｆｒ＇，’（ ）ｇ（ ｄ 一｛ ：’ｇ ｃ ，ｄ ・．ｆ： ｃ ，ｄ ，ｌ＜—｝． 于是，只要，Ｉ＞Ｎ就恒有 ，’（ｚ）ｇ（村）【Ｉ。－ ．一｛．『：ｇｃ ｄ ・ｆ“ ，ｃ ，ｄｚｌ ≤ＩＪ＝ 一｛Ｊ． ｇｃｚ ｄ ・ ： 厂ｃ ｄ ｌ 十 ｍ （眦 ｆ ＋｝｛』＝＿ ，ｃ ｄ ・．『：’ｇｃｚ ｄ ５ ≤ ＋ＭｌＪ Ａ Ｉ．厂（ ）｝ｄ．ｚ・ ＋｛｛ ： ｃ ｄ ｛・ 。 ．厂ｃ．ｒ ｄ．ｒ ≤ ｛Ｍ十 ・Ｊ） ．Ｊ＾ ｒ ｌ‘，’（ｚ）ｌ ｄ ≤号＋ｃ ｅ． 由此 ｒ＋∞ ｌｉｍ １ ．厂（ ）ｇ（， ）ｄｘ “。・十∞Ｊ“ 一毒 ｃ ，ｄ ・ ：～，ｃ ｄ ． 例１证明黎曼引理：设厂（ ・）在［ｎ，６］上 町积和绝对可积，则ｌｉｎｌ １．ｒ ，’（ｘ）ｓｉｎ ｄｚｒ一０． …． ｒ、 Ｊ， 攀学，教学研究 证明 令 （ ｆ） ｓｉｎ ，则由推厂的黎曼 第：｜ｊ咎 ｊ：蝴 ：ｔＪ ｊ ０年ｊ：月 Ｊ ｒ ｌ， Ｊ¨ 引理知 ．． １１１１１…ｌｉｍ ｒｆ（ｘ）ｓｉｎ眦ｄｘ 一 ・ 。 － －－ …＋ 删－ ≥ ｉ“ｌ Ｊｌ ） 一（ｄｔ—ｏ ． 例３ 设ｇ（ ）一４ ］—‘２［２ ］一－７－ｌ，．厂（ ） ：＿０・１．厂（ ）（１ 一０ ． 可积，则 例２设 ｉ 盟ｉ ｄｒ存在坝０一．， ‘１ｉＩＩＩ Ｉｆ（、ｒ）ｇ（，ｎ’）ｄ．ｒ一０． ．．．ｔｉｍ＿ｌ—ｆ 堡 ． ～ 证明 因为 （ 十１）一４ ｒ ｌ 一２：２（ ｌ ｒ Ｊ Ｉ 一＝｛■ 一 ７ ９’］＿｝ｌｌｌ— （』）。 ｓｉｎ ‘ｒ ） ｄ一０． 绝对可积，从而 １ 所以ｇ（ ）是以ｌ为周期的岗期函数．于是由 推广的黎曼・ｊｌ理有 证明 因为函数 ｌ ｌｉｎ１ Ｉ．，’（ ）ｇ－（７ ）ｄｘ ＝ 堡（３２ －Ａ－ ｔ ｝屿 ． ． ｍ 专 ｄ ２ …ｈ胁她 ０・ｌ 厂（、ｒ）（］．ｒ一０． 一， 也绝对可积，于是由推广的黎曼引理有 参考文献 ｌｉｍ ｆ一． １ ［１＝］ 费定珲．数学分析习题集题解 Ｍ ．济，ｉｎ：山东 科学技术出版社，ｌ ９８３． ／２］ｒ 陈传律．教学分析Ｉ ＿北京：高等教育出版 １…—９－ 一 （ 一一丢） 社．１９ ｊ５． ７＿３１］ 樊映川．高等数学 Ｍ ．北京：人民教育出版 社．】９ｑ８． （上接第５９页， 年级，学生会轻 易举地自己总结出变化 规律． 参考文献 帮助学生把乘法口诀表背得更熟练。运用更 灵活． 通过观察进行对比，让学生体会差和积 变化规律．当然结沦性语言在低年级不需要 告许学生，更不需要去背，只要学生有一种体 ［１］ 孙芬．尝紧浪．嫩学启蒙教育对教学思维发展 的影响ｆ Ｊ ．数学教学研究．２０１０．２９（５）：４９— ５Ｏ，５９． 会，形成一个思想即可。其实这些规律都渗透 ＿ｒ函数关系，即 ＝＝＝．ｉＥ一“， ＝ ～ ， ＝“十 ， Ｅｚ］课程教材研究所．小学数学课程教材研究开发 中・ ．义务教育课程标准教科书・数学（第２ 版）ＬＭ ．北京：人民教育出版社．２００９． ３ｊ任樟辉．数学思维理论ｒＭ ７．南宁：广西教育龃 版社。２００１． 一 “等等．在整个小学阶段类似安排反 复出现，教师应经常渗透这种变量的思想，学 生是可以接受的，但不要求掌握．这样到了高
