一次函数知识梳理、典型例题、针对训练

（一）函数

1、变量：在一个变化过程中可以取不同数值的量。 常量：在一个变化过程中只能取同一数值的量。

2、函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，

y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y是x的函数。

*判断Y是否为X的函数，只要看X取值确定的时候，Y是否有唯一确定的值与之对应 3、定义域：一般的，一个函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域。 4、确定函数定义域的方法：

（1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数； （2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零； （3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零； （4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；

（5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。

5、函数的解析式：用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做函数的解析式 6、函数的图像

一般来说，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象． 7、描点法画函数图形的一般步骤

第一步：列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值）；

第二步：描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点）；第三步：连线（按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来）。 8、函数的表示方法

列表法：一目了然，使用起来方便，但列出的对应值是有限的，不易看出自变量与函数之间的对应规律。

解析式法：简单明了，能够准确地反映整个变化过程中自变量与函数之间的相依关系，但有些实际问题中的函数关系，不能用解析式表示。

图象法：形象直观，但只能近似地表达两个变量之间的函数关系。 （二）一次函数 1、一次函数的定义

一般地，形如

ykxb

（k，b是常数，且k0）的函数，叫做一次函数，其中x是自变

ykxbykx量。当b0时，一次函数，又叫做正比例函数。

⑴一次函数的解析式的形式是能化成以上形式．

，要判断一个函数是否是一次函数，就是判断是否

ykx⑵当b0，k0时，仍是一次函数．

⑶当b0，k0时，它不是一次函数．

⑷正比例函数是一次函数的特例，一次函数包括正比例函数． 2、正比例函数及性质

一般地，形如y=kx(k是常数，k≠0)的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数. 注：正比例函数一般形式 y=kx (k不为零) ① k不为零 ② x指数为1 ③ b取零

当k>0时，直线y=kx经过三、一象限，从左向右上升，即随x的增大y也增大；当k<0时，

1

•直线y=kx经过二、四象限，从左向右下降，即随x增大y反而减小． (1) 解析式：y=kx（k是常数，k≠0） (2) 必过点：（0，0）、（1，k）

(3) 走向：k>0时，图像经过一、三象限；k<0时，•图像经过二、四象限 (4) 增减性：k>0，y随x的增大而增大；k<0，y随x增大而减小 (5) 倾斜度：|k|越大，越接近y轴；|k|越小，越接近x轴 3、一次函数及性质

一般地，形如y=kx＋b(k,b是常数，k≠0)，那么y叫做x的一次函数.当b=0时，y=kx＋b即y=kx，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.

注：一次函数一般形式 y=kx+b (k不为零) ① k不为零 ②x指数为1 ③ b取任意实数

k它可以看作由直线y=kx平移|b|个单位长度得到.（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移）

（1）解析式：y=kx+b(k、b是常数，k0) （2）必过点：（0，b）和（-（3）走向： k>0，图象经过第一、三象限；k<0，图象经过第二、四象限 b>0，图象经过第一、二象限；b<0，图象经过第三、四象限

一次函数y=kx+b的图象是经过（0，b）和（-

b，0）两点的一条直线，我们称它为直线y=kx+b,

bk，0）

k0k0直线经过第一、三、四象限 直线经过第一、二、三象限 b0b0k0k0直线经过第二、三、四象限 直线经过第一、二、四象限 b0b0（4）增减性： k>0，y随x的增大而增大；k<0，y随x增大而减小. （5）倾斜度：|k|越大，图象越接近于y轴；|k|越小，图象越接近于x轴. （6）图像的平移： 当b>0时，将直线y=kx的图象向上平移b个单位；

当b<0时，将直线y=kx的图象向下平移b个单位.

一次 函数 k，b kkxbk0 k0 b0 b0 b0 b0 k0 b0 符号 b0 y图象 OyOOyOyOyOyx x x x x x 性质

y随x的增大而增大 y随x的增大而减小 4、一次函数y=kx＋b的图象的画法.

根据几何知识：经过两点能画出一条直线，并且只能画出一条直线，即两点确定一条直线，所以画一次函数的图象时，只要先描出两点，再连成直线即可.一般情况下：是先选取它与两坐

2

标轴的交点：（0，b），

b>0 .即横坐标或纵坐标为0的点.

b<0 经过第一、三、四象限 b=0 经过第一、三象限 经过第一、二、三象限 k>0 图象从左到右上升，y随x的增大而增大 经过第一、二、四象限 经过第二、三、四象限 经过第二、四象限 k<0 图象从左到右下降，y随x的增大而减小 5、正比例函数与一次函数之间的关系：一次函数y=kx＋b的图象是一条直线，它可以看作是由直线y=kx平移|b|个单位长度而得到（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移） 6、正比例函数和一次函数及性质 概 念 正比例函数 一般地，形如y=kx(k是常数，k≠0)的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数 自变量 范 围 图 象 必过点 走 向 一条直线 （0，0）、（1，k） k>0时，直线经过一、三象限； k<0时，直线经过二、四象限 （0，b）和（-X为全体实数 一次函数 一般地，形如y=kx＋b(k,b是常数，k≠0)，那么y叫做x的一次函数.当b=0时，是y=kx，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数. bk，0） k＞0，b＞0,直线经过第一、二、三象限 k＞0，b＜0直线经过第一、三、四象限 k＜0，b＞0直线经过第一、二、四象限 k＜0，b＜0直线经过第二、三、四象限 增减性 倾斜度 图像的 平 移 k>0，y随x的增大而增大；（从左向右上升） k<0，y随x的增大而减小。（从左向右下降） |k|越大，越接近y轴；|k|越小，越接近x轴 b>0时，将直线y=kx的图象向上平移b个单位； b<0时，将直线y=kx的图象向下平移b个单位. 3

6、直线yk1xb1（k10）与yk2xb2（k20）的位置关系 （1）两直线平行k1k2且b1b2 （2）两直线相交k1k2

（3）两直线重合k1k2且b1b2 （4）两直线垂直k1k21 7、用待定系数法确定函数解析式的一般步骤：

（1）根据已知条件写出含有待定系数的函数关系式；

（2）将x、y的几对值或图象上的几个点的坐标代入上述函数关系式中得到以待定系数为未

知数的方程；

（3）解方程得出未知系数的值；

（4）将求出的待定系数代回所求的函数关系式中得出所求函数的解析式. 1下列函数中，自变量x的取值范围是x≥2的是（ ）

A．y=2x B．y=1x2 C．y=4x D．y=2x2·x2 2 正比例函数y(3m5)x，当m 时，y随x的增大而增大. 3 函数y=(k-1)x，y随x增大而减小，则k的范围是 ( )

A.k0 B.k1 C.k1 D.k1 4 若m＜0, n＞0, 则一次函数y=mx+n的图象不经过 （ ）

A.第一象限 B. 第二象限 C.第三象限 D.第四象限

5 用图象法解某二元一次方程组时，在同一直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图象（如图所示），则所解的二元一次方程组是【 】

4

A．xy20，3x2y10

B．2xy10，3x2y10 C．2xy10，3x2y50 D．xy20，2xy10

6.若一次函数ykxb的图象经过第一象限，且与y轴负半轴相交，那（ ） A．k0，b0

B．k0，b0

C．k0，b0

D．k0，b0

7.一次函数y=kx+b（k,b是常数，k≠0）的图象如图9所示，则不等式kx+b＞0的解集是（ ） A．x＞-2 B．x＞0 C．x＜-2 D．x＜0

8.如图，一次函数图象经过点A，且与正比例

函数yx的图象交于点B，则该一次函数的表达式为（ ） A．yx2

B．yx2 C．yx2

D．yx2

y(千米)160快艇80轮船y 2 ykxb

2 0

x yx y A 2 B 1 O x o x(小时)2468第4题 9.如图表示一艘轮船和一艘快艇沿相同路线从甲港出发到乙港行驶过程随时间变化的图象.根据图象下列结论错误的是（ ）

A.轮船的速度为20千米/时 B.快艇的速度为40千米/时 C.轮船比快艇先出发2小时 D.快艇不能赶上轮船 10.一次函数y1kxb与y2xa的图象如图，则下列结论①

y y2xa

k0；②a0；③当x3时，y1y2中，正确的个数是（ ）

D、a＜0

O

3 x y1kxb

11.函数y=ax+b与y=bx+a的图象在同一坐标系内的大致位置正确的是（ ）

12、一次函数y=kx＋b的自变量的取值范围是－3 ≤x ≤6，相应函数值的取值范围是 －5≤y≤－2，求这个一次函数的解析式。

5

13函数y=5x中自变量x的取值范围是___________．

14．函数y=kx+b（k≠0）的图象平行于直线y=2x+3，且交y轴于点（0，-1），•则其解析式是_________ ．

1、 若直线y=－x+k不经过第一象限，则k的取值范围为 。 2、 把直线y=

23x1向下平移3个单位得到的函数解析式为 。

3、 若y=kx+（2k－1）的图象经过原点，则k= ；当时k= 时，这个 函

数的图象与轴交于（0，1）

1、甲、乙两家体育用品商店出售同样的乒乓球拍和乒乓球，乒乓球拍每付定价20元，乒乓球每盒定价5元.现两家商店搞促销活动，甲店:每买一付球拍赠一盒乒乓球；乙店:按定价的9折优惠。某班级需购球拍4付，乒乓球若干盒(不少于4盒)。

(1)设购买乒乓球盒数为x(盒)，在甲店购买的付款数为y甲(元)，在乙店购买的付款为y (元)，分别写出在这两家商店购买的付款数与乒乓球盒数x之间的函数关系式； (2)就乒乓球盒数讨论去哪家商店买合算。 2 求下列一次函数的解析式：

（1）图像过点（1，－1）且与直线 （2）图像和直线 3：已知一次函数

平行；

在y轴上相交于同一点，且过（2，－3）点.

.求：（1）m为何值时，y随x的增大而减小；（2）

m，n满足什么条件时，函数图像与y轴的交点在x轴下方；（3）m，n分别取何值时，函数图像

经过原点；（4）m，n满足什么条件时，函数图像不经过第二象限. 4 已知一次函数

轴围成的三角形的面积．

4、网络时代的到来，很多家庭都拉入了网络，电信局规定了拨号入网两种收费方式，用户可以任选其一：A：计时制0.05元/分；B：全月制：54元/月（限一部分人住宅电话入网）此个B种上网方式要加收通信费0.02元/分。

（1） 某用户月上网的时间为x小时，两种收费方式的费用分别为y1（元）y2（元），写出y1 、

y2与x之间的函数关系式；

（2） 在上网时间相同的条件下，请你帮该用户选择哪一种方式上网更省钱？

的图象经过点

及点

（1，6），求此函数图象与坐标

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