实验2-LTI系统的时域分析

作为基础性实验部分，实验2使我们了解和掌握利用MATLAB对系统进行时域分析的方法，掌握了连续时间系统和离散时间系统下对零状态响应、单位抽样响应的方法，以及求卷积积分和卷积和的方法。

二，实验原理

（1）连续时间系统时域分析的MATLAB实现。 ①连续时间系统的MATLAB表示。

用系统微分方程描述LTI连续系统，然后在matlab中建立模型：

b=[b1,b2,……] a=[a1,a2,……] sys=tf(b,a)

②连续时间系统的零状态响应。

调用函数lsim(sys,x,t)绘出信号及响应的波形。

③连续时间系统的冲击响应与阶跃响应。

描述系统的单位冲击响应调用impulse函数：

impulse(sys)在默认时间范围内绘出系统冲激响应的时域波形。 impulse(sys，T)绘出系统在0~T范围内冲激响应的时域波形。

impulse(sys，ts:tp:te)绘出系统在ts~te范围内，以tp为时间间隔取样的冲击响应波形。

描述系统的单位阶跃响应调用step函数： impulse(sys) impulse(sys，T)

impulse(sys，ts:tp:te)

（2）离散时间系统时域分析的MATLAB实现。 ①离散时间系统的MATLAB表示。

用向量b=[b1,b2,……]，a=[a1,a2,……]可以表示系统。

②离散时间系统对任意输入的响应。

可以调用函数filter（b,a,x）

③离散时间系统的单位抽样响应。

可以调用函数impz:

impz（b,a）在默认时间范围内绘出系统单位抽样响应的时域波形。 impz(b,a,N绘出系统在0~N范围内单位抽样响应的时域波形。 impz(b,a,ns:ne)绘出系统在ns~ne范围内的单位抽样响应波形。

（3）卷积与卷积积分 ①离散时间序列的卷积和

可以调用函数conv求得两个离散序列的卷积和。

②连续时间信号的卷积积分

在取样间隔足够小的情况下，由卷积和近似求得卷积积分。

三，实验内容

（1）已知描述模拟低通、高通、带通和带阻滤波器的微分方程如下，试采用MATLAB绘出各系统的单位冲激响应和单位阶跃响应波形。 ①𝑦′′ 𝑡 + 2𝑦′ 𝑡 +𝑦 𝑡 =𝑥(𝑡) b=[1]

a=[1 2^(1/2) 1] sys=tf(b,a) subplot(121) impulse(sys) xlabel('t(s)') ylabel('y(t)') title('单位冲击波形') subplot(122) step(sys) xlabel('t(s)') ylabel('y(t)') title('阶跃响应波形') 输出

②𝑦′′ 𝑡 + 2𝑦′+𝑦 𝑡 =𝑥′′(𝑡) b=[1 00] a=[1 2^(1/2) 1] sys=tf(b,a) subplot(121) impulse(sys) xlabel('t(s)') ylabel('y(t)')

title('单位冲击波形') subplot(122) step(sys) xlabel('t(s)') ylabel('y(t)') title('阶跃响应波形')

输出

③𝑦′′ 𝑡 +𝑦′) 𝑡 +𝑦 𝑡 =𝑥′(𝑡) b=[1 0] a=[111] sys=tf(b,a) subplot(121) impulse(sys) xlabel('t(s)') ylabel('y(t)') title('单位冲击波形') subplot(122) step(sys) xlabel('t(s)') ylabel('y(t)') title('阶跃响应波形') 输出

④𝑦′′ 𝑡 +𝑦′ 𝑡 +𝑦 𝑡 =𝑥′′’ 𝑡 +𝑥(𝑡) b=[1 01] a=[1 1 1] sys=tf(b,a)

subplot(121) impulse(sys) xlabel('t(s)') ylabel('y(t)') title('单位冲击波形') subplot(122) step(sys) xlabel('t(s)') ylabel('y(t)') title('阶跃响应波形') 输出

（2）已知某系统可以有如下微分方程描述：

𝑦′′ 𝑡 +𝑦′ 𝑡 +6𝑦 𝑡 =𝑥(𝑡)

①请利用MATLAB绘出该系统冲击响应和阶跃响应的时域波形 b=[1] a=[1 1 6] sys=tf(b,a) subplot(121) impulse(sys) xlabel('t(s)') ylabel('y(t)') title('单位冲击波形') subplot(122) step(sys) xlabel('t(s)') ylabel('y(t)') title('阶跃响应波形')

输出

②根据冲击响应的时域波形分析系统的稳定性

答：该系统为稳定系统，由①中输出的时域波形可以看出，系统的输出是有界的，随着时间的增加逐渐趋于一固定值，故是稳定系统。

③如果系统的输入为x t =𝑒−𝑡𝑢(𝑡)，求系统的零状态响应 b=[1] a=[116] sys=tf(b,a) t=0:0.01:10 x=exp(-t) lsim(sys,x,t) xlabel('t(s)') ylabel('y(t)') title('零状态响应')

（3）已知描述离散系统的系统微分方程如下，试着采用MATLAB绘出各系统的单位抽样响应，并根据单位抽样响应的时域波形分析系统的稳定性。 ①y n +3y n−1 +2y n−2 =x n b=[1] a=[132] impz(b,a,0:10) xlabel('n(s)') ylabel('y(n)') title('单位抽样响应') 输出

根据输出时域波形，随时间的增加，系统输出趋于无穷，故该系统为不稳定系统。

②y n −0.5y n−1 +0.8y n−2 =x n −3x(n−1) b=[1 -3] a=[1-0.50.8] impz(b,a,0:10) xlabel('n(s)') ylabel('y(n)') title('单位抽样响应') 输出

根据输出的时域波形，输出信号随时间增长逐渐减下，收敛与0，故该系统为稳定系统。

（4）已知系统可以由如下差分方程描述：

y n +y n−1 +0.25y n−2 =x n

试采用MATLAB绘出该系统的单位抽样响应波形和单位阶跃响应波形。 b=[1] a=[1 1 0.25] subplot(211) impz(b,a,0:10) xlabel('n(s)') ylabel('y(n)') title('单位抽样响应') subplot(212)

stepz(b,a) xlabel('n(s)') ylabel('y(n)') title('单位阶跃响应') 输出

（5）采用MATLAB计算如下两个序列的卷积，并绘出图形

1,−2≤𝑛≤2

0,其他

X1(n)={1,2,1,1}𝑥2(𝑛)

n1=-3:4 n2=-2:2 x1=[1,2,1,1] subplot(221) stem(x1) xlabel('n') ylabel('x1') title('x1') x2=[1,1,1,1,1,] subplot(222) stem(n2,x2) xlabel('n') ylabel('x2') title('x2') c=conv(x1,x2) M=length(c)-1 subplot(223) stem(n1,c) xlabel('n') ylabel('y(n)')

title('x1与 x2 的卷积积分')

输出

（6）已知某LTI离散系统，其单位抽样响应h(n)=sin(0.5n),n≥0,系统的输入为x(n)=0.2n，n≥0，计算当n=0,1,2,…，40时系统的零状态响应y(n),绘出x(n),h(n)和y(n)时域波形。 n=0:1:40 x=sin(0.2*n) subplot(311) stem(n,x,'filled') xlabel('n') ylabel('x(n)') title('输入') h=sin(0.5*n) subplot(312)

stem(n,h,'filled') xlabel('n') ylabel('h(n)') title('单位抽样响应') c=conv(x,h) M=length(c)-1 subplot(313) stem(c) xlabel('n') ylabel('y(n)') title('零状态响应')

输出

（7）已知两个连续时间信号如图所示，试采用MATLAB求这两个信号的卷积。

t=-3:0.01:3

x1=2*heaviside(t+1)-2*heaviside(t-1) x2=heaviside(t+2)-heaviside(t-2) y=0.01*conv(x1,x2) subplot(221) plot(t,x1) grid on

title('Signal x1(t)') subplot(222) plot(t,x1) grid on

title('Signal x2(t)') subplot(212) t=-6:0.01:6 plot(t,y) grid on

title('x1(t)与x2(t)的卷积') xlabel('Time t sec')

输出

四，心得体会

在课上所学习的，求两个信号卷积的方法十分繁琐易错、难以理解，而通过MATLAB的帮助，可以轻松得到答案并直观绘出图像，对我在这方面的学习和理解起了很大帮助。