圆的标准方程与一般方程教案

圆的标准方程

【自主预习】

1、在平面直角坐标系中，确定一个圆的要素有哪些？

2、①若一个圆的圆心是（0，0），半径是2，圆的方程是什么？

②若一个圆的圆心是（-2，1），半径是3，圆的方程是什么？

③若一个圆的圆心是（a，b），半径是r(y>0)，圆的方程是什么？

3、分析圆的标准方程有何特点？

4、写出下列圆的方程 ⑴圆心在原点，半径为3

⑵圆心在点C(3,4),半径为5

⑶经过点P（5，1），圆心在点C(8，-3)

⑷已知点A(-4,-5),B(6,-1),求以AB为直径的圆的方程。 特殊的：过直径两端点A（x1，y1）、B(x2，y2)的圆的方程为(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0

5、根据圆的方程写出圆心和半径

（x2)(y3)5 ⑵（x2)y(2） ⑴

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【典例探究】

（点与圆的位置关系）例题1 已知圆心在C(-3,-4),且经过原点，求该圆的标准方程，并判断点

p1(1,0),p2(1,1),p3(3,4)和圆的位置关系。

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思考：点M(x0,y0)在圆（xa)2(yb)2r2(r0)内的条件是什么？在圆外的条件呢？

判定方法 1、几何法 2、代数法

（三角形外接圆）例题2、△ABC的三个顶点的坐标分别是A(-2，4),B(-1，3),C(2,6),求它的外接圆的方程。

变式：已知四点A（0,1）、B（2,1）、C（3,4）、D（-1,2），这四点是否在同一个圆上，为什么？

（圆的标准方程）例题3 已知一个圆C经过两个点A（2，-3），B（-2，-5），且圆心在直线l:x2y30上，求此圆的方程。

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思考： 比较例题2和例题3，你能归纳求任意△ABC外接圆的方程的两种方法吗？ 1、待定系数法

2、弦的垂直平分线过圆心这一性质

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（圆的对称性）例四 已知一个圆C：(x+2)+(y-6)=1和一条直线l：3x-4y+5=0,求圆C关于直线l对称的圆的方程。

圆的一般方程

【自主学习】

1下列方程分别表示什么图形

（1）xy2x4y10

(2) xy2x4y50

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(3) xy2x4y60

(4) xyDxEyF0 2222

只有满足条件 ，才是圆的方程！

2、圆的一般方程是什么？ 1、 圆的标准方程与圆的一般方程各有什么特点？

x、y二次项系数相同且不为0；没有关于xy的一次项

圆的一般方程表明了方程形式的特点

一般方程有三个待定系数D、E、F 3、由圆的一般方程如何确定点与圆的位置关系？

【典例探究】

（求圆的方程）例题1 △ABC的三个顶点的坐标分别是A(-1，5),B(-2，-2),C (5，5),求它的外接圆的方程，在平面直角坐标系中画出该圆的图形，并指出圆心和半径。

思考：用待定系数法求圆的方程的方法与步骤 1、选定方程形式

2、根据条件列出方程组 3、代入数值计算出待定系数

（确定圆的条件）例题3若方程ax+ay-4(a-1)x+4y=0表示圆，求实数a的取值范围，并求出其中半径最小的圆的方程。

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（x2)y1上运动，（轨迹方程）例题4已知O为为坐标原点，P在圆C：，求线段OP的中点M

的轨迹方程。

关于求轨迹问题注意的地方：1、一般步骤 建系、设点、找关系式、验证 2、注意对不符合题意的点的排除

3、求轨迹与求轨迹方程不一样，求轨迹需要说明轨迹的形状

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【拓展提高】一、与圆有关最值问题

1、与距离相关

已知P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA、PB是圆C：x+y-2x-2y+1=0的两条切线，A、B是切点，C是圆心，求四边形PACB面积的最小值。

2、与圆上点有关 已知实数x,y满足方程xy4x10 ，求：

（1）求y/x的最大值与最小值 （2）xy的最大值和最小值 （3）求y-x的最大值与最小值 3、与弦长有关

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已知P（-1,2）为圆C：x+y=8内一定点，求 （1）过点P且被圆所截弦最短的直线方程 （2）过点P且被圆所截弦最长的直线方程

2222二、圆的参数方程

圆的参数方程及应用

对于圆的普通方程(xa)2(yb)2R2来说，圆的方程还有另外一种表达形式

xaRcos(为参数），在解决有些问题时，合理的选择圆方程的表达形式，能给解决ybRsin源-于-网-络-收-集

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问题带来方便，本文浅谈圆的参数方程再解题中的应用。

一、求最值

例1 已知点（x，y）在圆x2y21上，求x22xy3y2的最大值和最小值。

解某些与圆的方程有关的条件制问题，可应用圆的参数方程转化为三角函数问题的方法解决。

二、求轨迹

B y 例2 在圆x2y24上有定点A（2，0），及

两个动

O C 图1 A x 点B、C，且A、B、C按逆时针方向排列，∠BAC=，

3的重心G（x，y）的轨迹方程。

求△ABC

用圆的几何性质，求出轨迹的参数方程，在消参后，要注意x的范围的限定。

三、求范围

例3 已知点P（x，y）是圆x2(y1)21上任意一点，欲使不等式x+y+c≥0恒成立，求c的取值范围。

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将恒成立的问题，转化为求最值问题，利用圆的参数方程求最值简洁易算。 四、求斜率 例4 求函数f()

sin1的最大值和最小值。

cos2y (2,1) O x

图2

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