数学函数零点问题及例题解析2018年高三专题复习-函数(3)

数学2017-2018高三专题复习 -函数（3）函数零点问题及例题解析

一、函数与方程基本知识点

1、函数零点：（变号零点与不变号零点）

（1）对于函数yf(x)，我们把方程f(x)0的实数根叫函数yf(x)的零点。

（2）方程f(x)0有实根函数yf(x)的图像与x轴有交点函数yf(x)有零点。 若函数f(x)在区间a,b上的图像是连续的曲线，则f(a)f(b)0是f(x)在区间a,b内有零点的充分不必要条件。

2、二分法：对于在区间[a,b]上连续不断且f(a)f(b)0的函数yf(x),通过不断地把函数

yf(x)的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点的近似

值的方法叫做二分法; 二、函数与方程解题技巧

零点是经常考察的重点，对此部分的做题方法总结如下：

（一）函数零点的存在性定理指出：“如果函数yf(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且f(a)f(b)0，那么，函数yf(x)在区间（a,b）内有零点，即存在c(a,b),使得f(c)0,这个c也是方程f(x)0的根”。根据函数零点的存在性定理判断函数在某个区间上是否有零点（或方程在某个区间上是否有根）时，一定要注意该定理是函数存在零点的充分不必要条件：如

例、函数f(x)ln(x1)2的零点所在的大致区间是（ ） x（A）（0，1）； （B）（1，2）； （C） （2，e）； （D）（3，4）。

2在区间[1,2]上是连续函数，且f(1)0,f(2)0，所x2以由根的存在性定理可知，函数f(x)ln(x1)的零点所在的大致区间是（1，2），选B

x分析：显然函数f(x)ln(x1)（二）求解有关函数零点的个数（或方程根的个数）问题。

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函数零点的存在性定理，它仅能判断零点的存在性，不能求出零点的个数。对函数零点的个数问题，我们可以通过适当构造函数，利用函数的图象和性质进行求解。如：

1．对于求一个陌生函数的零点个数，若能把已知函数分解成两个熟悉的函数，那么可利用构造函数法化归为求两个熟悉函数图象的交点个数求解,如： 例.求f(x)x22x零点的个数。

分析：本题直接求解，无法下手，由函数f(x)x22x的零点也是方程f(x)x22x0的根，即方程x22x的解，但这个方程不是熟悉的常规方程，由方程的解与两函数图象交点的关系，可构造函数y1x2、y22x,在同一坐标系中作出它们的图象，可得出它们有三个交点，所以f(x)x22x零点的个数有三个。

2.对于一元高次函数，可利用导数法研究函数图象的特征，作出函数的图象，确定图象与X轴交点的情况求解。（导数专题再续讲）

（三）求函数的具体零点或求方程的根。对于某些特殊类型的函数，可通过研究式子的特征，构造新函数,转化求解。如：

例、求函数f(x)(5x3)5x56x3的零点。

分析：考察f(x)(5x3)5x56x30的特点，直接求解难以入手，可转化为求

(5x3)5(5x3)(x5x)的解，根据式子特点构造函数g(x)x5x，显然g(x)为奇函数，

且在R上单调递增，由(5x3)5(5x3)(x5x)可化为g(5x3)g(x)g(x)，故利用函数g(x)的性质可得5x3

x，则x11，所以函数f(x)的零点为x 222

基础练习

1、下列函数中，不能用二分法求零点的是（ ）答案B

2、已知函数f(x)的图象是连续的，有如下表。函数f(x)在区间[1,6]上的零点至少有（ ） 答案C

x f(x) 1 123.56

2 21.45 B．3个

3 －7.82

4 11.57

5 53.76 D．5个

6 －126.49 A．2个 C．4个

3. 设、分别是方程log2xx40和2xx40的根，则案4

＋＝ 。答

x2(a,b为常数）4. 已知函数f(x)，且方程f(x)x120有两实根3和4 axb(1)求函数f(x)的解析式； (2)设k1，解关于x的不等式：f(x)x2x120有两根3和4，所以 解： （1）即方程

axb(k1)xk

2x9903ab 得 16804aba1x2所以f(x) 2xb2x2(k1)xk（2）即整理的(x2)(x1)(xk)0 2x2x1k2时，不等式的解集{x|1xk或x2}；k2时，不等式的解集{x|1x2或x2}；k2时，不等式的解集{x|1x2或xk}

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