初三数学二次函数练习题

二次函数

基础达标验收卷 一、 选择题：

1. （3大连）抛物线y(x2)23的对称轴是（ ） A. 直线x3 直线x2

B. 直线x3

C.

y D. 直线x2

O x 2. （4重庆）二次函数yax2bxc的图象如右图，则点M(b,c)在（ ）

aA. 第一象限 C. 第三象限

B. 第二象限 D. 第四象限

3. （4天津）已知二次函数yax2bxc，且a0，abc0，则一定有（ ） A.

b24ac0

B. b24ac0 C. b24ac0 D. b24ac≤

4. （3杭州）把抛物线yx2bxc向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式是（ ） A. C.

b3，c7 b3，c3

yx23x5，则有

O y x

B. D.

b9，c15 b9，c21 x5. （3南通）已知反比例函数yk的图象如右图所示，则二次函数

y2kx2xk2的图象大致为（

）

y y y y O x O B x O C x O D x

A

6. （3哈尔滨）下面所示各图是在同一直角坐标系内，二次函数

yax2(ac)xc与一次函数yaxc的大致图象，有且只有一个是

正确的，正确的是（ ）

y y y y O x O B x O C x O D x

A

7. （5甘肃）抛物线yx22x3的对称轴是直线（ ） A.

x2

B. x2 C. x1 D. x1

8. （5南京）二次函数y(x1)22的最小值是（ ） A.

2

B. 2 C.

1

y D. 1

9. （5江苏）二次函数yax2bxc的图象如图所示，若M4a2bcNabc，P4ab，则（ ）

-1 O 1 2 x A. B. C. D.

M0，N0，P0 M0，N0，P0 M0，N0，P0 M0，N0，P0

二、填空题：

10. （4河北）将二次函数yx22x3配方成y(xh)2k的形式，则

y=______________________.

11. （3甘肃）已知抛物线yax2bxc与x轴有两个交点，那么一元二次方程ax2bxc0的根的情况是______________________. 12. （3黑龙江）已知抛物线yax2xc与x轴交点的横坐标为1，则ac=_________.

13. （3新疆）请你写出函数y(x1)2与yx21具有的一个共同性质：_______________.

14. 有一个二次函数的图象，三位同学分别说出它的一些特点： 甲：对称轴是直线x4；

乙：与x轴两个交点的横坐标都是整数；

丙：与y轴交点的纵坐标也是整数，且以这三个交点为顶点的三角形面积为3.

请你写出满足上述全部特点的一个二次函数解析式：

15. （4武汉）已知二次函数的图象开口向上，且与y轴的正半轴相交，请你写出一个满足条件的二次函数的解析式：_____________________.

16. （5宁夏）如图，抛物线的对称轴是x1，与x轴交于A、B两点，若B点坐标是(3,0)，则

A点的坐标是________________.

17. （5江苏）已知抛物线yx26x5的部分图象如图，则抛物线的对称轴为直线x=____________，满足y0的x的取值范围是______________，将抛物线yx26x5向________平移_________

个单位，可得到抛物线yx26x9.

y 1 A O 1 7题图 B x

三、解答题：

1. （3安徽）已知函数yx2bx1的图象经过点（3，2）. （1）求这个函数的解析式；

（2）画出它的图象，并指出图象的顶点坐标； （3）当x0时，求使y≥2的x的取值范围.

2. 如右图，抛物线yx25xn经过点A(1,0)，与y轴交于点B. （1）求抛物线的解析式； （2）P是y轴正半轴上一点，且△

y PAB是以AB为腰的等腰三角

O A -1 B 1 x

形，试求点P的坐标.

3. （3辽宁）某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到赢利的过程，下面的二次函数图象（部分）刻画了该公司年初以来累积利润s（万元）与销售时间t（月）之间的关系（即前t个月的利润总和s与t之间的关系）. （1）由已知图象上的三点坐标，求累积利润

s（万元）与销售时间t（月）之间的函

数关系式；

（2）求截止到几月累积利润可达到3万元；

（3）求第8个月公司所获利润是多少万元？

4. （3上海）卢浦大桥拱形可以近似地看作抛物线的一部分. 在大桥截面1:11的比例图上去，跨度AB=5cm，拱高OC=.9cm，线段

DE表示大桥拱内桥长，DE∥AB，如图（1）. 在比例图上，以直

线AB为x轴，抛物线的对称轴为y轴，以1cm作为数轴的单位长度，建立平面直角坐标系，如图（2）.

（1）求出图（2）上以这一部分抛物线为图象的函数解析式，写

出函数定义域；

（2）如果DE与AB的距离OM=.45cm，求卢浦大桥拱内实际桥

长（备用数据：

2≈1.4，计算结果精确到

1米）.

0.9cm D A C M O 5cm E B A D C M O E B （1） （2）

5. （5武汉）已知二次函数yax2axm的图象交x轴于A(x1,0)、

交B(x2,0)两点，x1x2，tan∠ABC=1.

（1）求此二次函数的解析式；

（2）在第一象限，抛物线上是否存在点P，使S△PAB=6？若存在，．．．．．

请你求出点P的坐标；若不存在，请你说明理由.

y轴的负半轴与C点，且AB=3，tan∠BAC=

能力提高练习 一、学科内综合题

1. （4天津）已知抛物线yx2bxc与x轴只有一个交点，且交点为

A(2,0).

（1）求b、c的值；

（2）若抛物线与y轴的交点为B，坐标原点为O，求△OAB的面

积（答案可带根号）.

二、实际应用题

2. （3山西）启明星、公司生产某种产品，每件产品成本是3元，售价是4元，年销售量为1万件. 为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告. 根据经验，每年投入的广告费是x（万元）时，产品的年销售量将是原销售量的yx2倍，且y7x7，

101010如果把利润看作是销售总额减去成本费和广告费：

（1）试写出年利润S（万元）与广告费x（万元）的函数关系式，

并计算广告费是多少万元时，公司获得的年利润最大，最大年利润是多少万元？

（2）把（1）中的最大利润留出3万元做广告，其余的资金投资

新项目，现有6个项目可供选择，各项目每股投资金额和预计年收益如下表： 项 A 目 每股（万元） 5 2 .4 6 .6 4 .5 6 .9 8 1 B C D E F 收益（万元） .55 如果每个项目只能投一股，且要求所有投资项目的收益总额不得低于1.6万元，问有几种符合要求的投资方式？写出每种投资方式所选的项目.

3. （3吉林）如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面AB的宽为2m，如果水位上升3m时，水面CD的宽是1m. （1）求此抛物线的解析式；

（2）现有一辆载有救援物资的货车从甲地出发需经过此桥开往乙

地，已知甲地距此桥28km（桥长忽略不计）. 货车正以每小时4km的速度开往乙地，当行驶1小时时，忽然接到紧急通知：前

方连降暴雨，造成水位以每小时.25m的速度持续上涨（货车接到通知时水位在CD处，当水位达到桥拱最高点O时，禁止车辆通行）. 试问：如果货车按原来速度行驶，能否安全通过此桥？若能，请说明理由；若不能，要使货车安全通过此桥，速度应超过每小时多少千米？

4. （5河北）某机械租赁公司有同一型号的机械设备4套. 经过一段时间的经营发现：当每套机械设备的月租金为27元时，恰好全部租出. 在此基础上，当每套设备的月租金提高1元时，这种设备就少租出一套，且未租出的一套设备每月需要支出费用（维护费、管理费等）2元，设每套设备的月租金为x（元），租赁公司出租该型号设备的月收益（收益=租金收入－支出费用）为y（元）. （1）用含x的代数式表示未租出的设备数（套）以及所有未租出

设备（套）的支出费用；

（2）求y与x之间的二次函数关系式；

（3）当月租金分别为43元和35元时，租赁公司的月收益分别

是多少元？此时应该租出多少套机械设备？请你简要说明理由；

b24acb2（4）请把（2）中所求的二次函数配方成y(x)2a4a的形

式，并据此说明：当x为何值时，租赁公司出租该型号设备

的月收益最大？最大月收益是多少？

三、开放探索题

5. （3济南）某校研究性学习小组在研究有关二次函数及其图象性质的问题时，发现了两个重要的结论：一是发现抛物线．．．．

yax22x3（a≠），当实数

a变化时，它的顶点都在某条直线上；．．

yax22x3的顶点的横坐二是发现当实数a变化时，若把抛物线．．．．

标减少1，纵坐标增加1，得到A点的坐标；若把顶点的横坐标

aa增加1，纵坐标增加1，得到B点的坐标，则A、B两点一定仍在

aa抛物线yax22x3上.

（1）请你协助探求实数a变化时，抛物线yax22x3的顶点所．．

在直线的解析式；

（2）问题（1）中的直线上有一个点不是该抛物线的顶点，你能

找出它来吗？并说明理由；

（3）在他们第二个发现的启发下，运用“一般——特殊——一般”

的思想，你还能发现什么？你能用数学语言将你的猜想表述出来吗？你的猜想成立吗？若能成立，请说明理由.

6. （4河南）某市近年来经济发展速度很快，根据统计，该市国内生产总值199年为8.6亿元人民币，1995年为1.4亿元人民币，2年为12.9亿元人民币.

经论证，上述数据适合一个二次函数关系. 请你根据这个函数关系，预测25年该市国内生产总值将达到多少？

参考答案

基础达标验收卷 一、选择题：

题号 答案 1 D 2 D 3 A 4 A 5 D 6 D 7 D 8 B 9 D 二、填空题： 1.

y(x1)22

2. 有两个不相等的实数根 3. 1

4. （1）图象都是抛物线；（2）开口向上；（3）都有最低点（或最小值） 5. 6. 7. 8.

y128181818xx3或yx2x3或yx2x1或yx2x1 55557777yx22x1等（只须a0，c0） (23,0)

x3，1x5，1，4

三、解答题：

1. 解：（1）∵函数yx2bx1的图象经过点（3，2），∴93b12. 解得b2.

∴函数解析式为yx22x1.

（2）yx22x1(x1)22.

图象略.

图象的顶点坐标为(1,2).

（3）当x3时，y2.

根据图象知当x≥3时，y≥2.

∴当x0时，使y≥2的x的取值范围是x≥3.

2. 解：（1）由题意得15n0. ∴n4. ∴抛物线的解析式为

yx25x4.

（2）∵点A的坐标为（1，），点B的坐标为(0,4). ∴OA=1，OB=4. 在Rt△OAB中，AB上.

①当PB=PA时，PB17OA2OB217，且点P在y轴正半轴

. ∴OPPBOB174).

174.

此时点P的坐标为(0,②当PA=AB时，OP=OB=4. 此时点P的坐标为（，4）.

3. 解：（1）设s与t的函数关系式为sat2btc，

abc1.5,4a2bc2,或25a5bc2.5；abc1.5,4a2bc2,c0. 由题意得 解得

1a,2b2, c0.∴

1st22t. 2（2）把s=3代入s1t22t，得301t22t. 解得t110，t26（舍

22去）

答：截止到1月末公司累积利润可达到3万元. （3）把t7代入，得s1722710.5.

2

把t8代入，得s1822816.

2 1610.55.5.

答：第8个月获利润5.5万元.

4. 解：（1）由于顶点在y轴上，所以设这部分抛物线为图象的函数的解析式为yax29. 1025 因为点A(5,0)或B(5,0)在抛物线上，所以0a·()2229，10得a18.

125 因此所求函数解析式为y182955x（≤x≤）.

2212510（2）因为点D、E的纵坐标为9，所以9189，得x52.

2012510420 所以点D的坐标为(52,9)，点E的坐标为(52,9).

420420 所以DE52(52)52.

442 因此卢浦大桥拱内实际桥长为5211000.0127523852（米）.

5. 解：（1）∵AB=3，x1x2，∴x2x13. 由根与系数的关系有x1x21.

∴x11，x22.

m∴OA=1，OB=2，x1·x22. a∵tanBACtanABC1，∴OCOC1.

OAOB∴OC=2. ∴m2,a1.

∴此二次函数的解析式为yx2x2.

（2）在第一象限，抛物线上存在一点P，使S△PAC=6.

解法一：过点P作直线MN∥AC，交x轴于点M，交y轴于N，连结PA、PC、MC、NA. ∵MN∥AC，∴S△MAC=S△NAC= S△PAC=6. 由（1）有OA=1，OC=2. ∴1AM21CN16. ∴AM=6，

22A O C B M x y N P CN=12.

∴M（5，），N（，1）.

∴直线MN的解析式为y2x10. 由y2x10,2yxx2, 得x13x24,（舍去） y18y4；21∴在 第一象限，抛物线上存在点P(3,4)，使S△PAC=6. 解法二：设AP与y轴交于点D(0,∴直线AP的解析式为ymxm.

yx2x2, ymxm.m)（m>）

∴x2(m1)xm20. ∴xAxPm1，∴xPm2.

11又S△PAC= S△ADC+ S△PDC=1CD·AOCD·xP=CD(AOxP).

222∴1(m2)(1m2)6，m25m60

2∴m6（舍去）或m1.

∴在第一象限，抛物线上存在点P(3,4)，使S△PAC=6. 能力提高练习

1. 解：（1）∵抛物线yx2bxc与x轴只有一个交点，

∴方程x2bxc0有两个相等的实数根，即b24c0. ① 又点A的坐标为（2，），∴42bc0. ② 由①②得b4，a4.

（2）由（1）得抛物线的解析式为yx24x4. 当x0时，y4. ∴点B的坐标为（，4）. 在Rt△OAB中，OA=2，OB=4，得AB∴△OAB的周长为1425625.

OA2OB225.

x22. 解：（1）S10(7x7)(43)xx26x7.

1010104(1)762616. 当x3时，S最大4(1)2(1) ∴当广告费是3万元时，公司获得的最大年利润是16万元.

（2）用于投资的资金是16313万元.

经分析，有两种投资方式符合要求，一种是取A、B、E

各一股，投入资金为52613（万元），收益为.55+.4+.9=1.85（万元）>1.6（万元）；

另一种是取B、D、E各一股，投入资金为2+4+6=12（万

元）<13（万元），收益为.4+.5+.9=1.8（万元）>1.6（万元）.

3. 解：（1）设抛物线的解析式为yax2，桥拱最高点到水面CD的距

离为h米，则D(5,h)，B(10,h3).

25ah,∴ 100ah3.1a,解得25

h1.

∴抛物线的解析式为y12x. 25 （2）水位由CD处涨到点O的时间为1÷.25=4（小时）， 货车按原来速度行驶的路程为4×1+4×4=2<28， ∴货车按原来速度行驶不能安全通过此桥. 设货车的速度提高到x千米/时， 当4x401280时，x60.

∴要使货车安全通过此桥，货车的速度应超过6千米/时. 4. 解：（1）未出租的设备为x270套，所有未出租设备的支出为

10(2x540)元.

（2）y(40x270)x(2x540)1012x65x540. 10 ∴y12.说明：此处不要写出x65x540（

10x的取值范围）

（3）当月租金为3元时，租赁公司的月收益为114元，此时

出租的设备为37套；当月租金为35元时，租赁公司的月收益为114元，此时出租的设备为32套.

因为出租37套和32套设备获得同样的收益，如果考虑

减少设备的磨损，应选择出租32套；如果考虑市场占有率，应选择出租37套. （4）y121x65x540(x325)211102.5. 1010 ∴当x325时，y有最大值1112.5. 但是，当月租金为325

元时，租出设备套数为34.5，而34.5不是整数，故租出设备应为34套或35套. 即当月租金为为33元（租出34套）或月租金为32元（租出35套）时，租赁公司的月收益最

大，最大月收益均为111元.

5. 解：（1）当a1时，yx22x3的顶点坐标为(1,2)；当a1时，

yx22x3的顶点坐标为(1,4).

设抛物线yx22x3的顶点在直线ykxb上，将(1,2)、(1,4)代入，得

2kb, 4kb.解得k1, b3.即抛物线yx22x3的顶点在直线yx3上. （或由抛物线yax22x3的顶点坐标为(1,a13)，得其顶a点在直线yx3上）

（2）直线yx3上有一个点（，3）不是抛物线的顶点. 抛物线yax22x3的顶点坐标为(1,a13)， a当a≠时，顶点横坐标1≠.

a∴点（，3）不是抛物线的顶点.

（3）得出猜想：对于抛物线yax2bxc（a≠），将其顶点的横

坐标增加或减少1，纵坐标增加1，所得到的两个点一定

aa仍在抛物线上. （其他猜想，只要合理也对）

b4acb2理由：∵抛物线yaxbxc的顶点坐标为(,)，

2a4a211b24acb24∴将其横坐标减少，纵坐标增加，得A(,).

2a4aaab24acb24同理可得B(,).

2a4a把xb2代入yax2bxc，

2ab22b24acb24得ya(. )b()c2a2a4a

∴点A在抛物线yax2bxc上. 同理可证点B在抛物线yax2bxc上.

∴所提出的猜想能够成立.（此问题可利用ya(xh)2k的形式进行证明，过程同上）

6. 解：由题意，可以把三组数据看成三个点：A0,8.6)，B(5,10.4)，

C(10,12.9).

设二次函数解析式为yax2bxc，把A、B、C三点坐标代入，得

c8.6,25a5bc10.4, 100a10bc12.9.a0.014,解得b0.29,

c8.6.∴二次函数解析式为y0.014x20.29x8.6. 当x15时，y16.1.

所以25年该市国内生产总值将达到16.1亿元人民币.