2009年湖南高考数学文科卷及答案

数学（文史类）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.log22的值为 【 D 】

112 C.  D.

22A．-2 B.

2. 抛物线y2=-8x的焦点坐标是 【 B 】

A．（2，0） B. （- 2，0） C. （4，0） D. （- 4，0） 3．设sn是等差数列｛an｝的前n项和，已知a1=3，a5=11，则s7等于 【 C 】 A．13 B. 35 C. 49 D. 63

4．如图1 D，E，F分别是ABC的边AB，BC，CA的中点，则 【 A 】

A．AD+ BE+ CF=0 B．BDCEDF=0 C．ADCECF=0

D．BDBEFC=0 图1

5．某地召集5家企业的负责人开会，其中甲企业有2人到会，其余4家企业各有1人到会，会上有3人发言，则这3人来自3家不同企业的可能情况的种数为【 B 】 A．14 B. 16 C. 20 D. 48

6．平面六面体ABCD- A既与AB共面也与CC1共面的棱的条数为【 C 】 1中，1 B1 C1DA．3 B. 4 C.5 D. 6

7．若函数y=f(x)导函数在区间［a,b］是增函数，则函数y=f(x)在区间［a,b］上的图象可能是（A）

8. 设函数yf(x)在(,)内有定义，对于给定的正数K，定义函数

fk(x)取函数f(x)2xf(x),f(x)kk,f(x)k

。当K=

1时，函数fk(x)的单调递增区间为 【C】 2A (,0) B (0,) C (,1) D (1,)

二 填空题：本大题共七小题，没小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号后的

横线上。

9 . 某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运都

不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为 12 .

10. 若x0，则x 11. 在(12的最小值为22. xx)4的展开式中，x的系数为 6 (用数字作答)。

12 . 一个总体分为A.B两层，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为10的样本。已

知B层中每个个体被抽到的概率都为

1，则总体中的个体数为 120 12x2y2 13. 过双曲线C：221(a0,b0)的一个焦点作圆x2y2a2的两条切线，

ab切点分别为A.B，若AOB120（O是坐标原点），则双曲线线C的离心率为 2 。

14. 在锐角ABC中，b6xlyB则 为 (2,3)。

15. 如图2，两块斜边长相等的直角三角板在一起，若

AC的值等于 2 ，AC的取值范围 cosAADxAByAC，则

x133,y 22 图2

三 解答题：每小题共6小题，共75分，解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤。 16 （每小题满分12分）

以知向量a(sin,cos2sin),b(1,2)。 （Ⅰ）若a//b，求tan的值； （Ⅱ）若ab,0,求的值。

cos解（Ⅰ） 因为a//b，所以2sincos2sin，于是 asin，故

tan=

1 42（Ⅱ）由 a=b知，sin+（cos -2sin)2=5，所以

21-2sin2+4sin=5.

从而-2sin2+2（1-cos2=4，即sin2+cos2 = -1，于是

Sin（2+

又由0<<知，

2）= - 42957<2+<，所以2 +=，或2-= 44444443因此 =，或=

4217.（本小题满分12分）

为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分别为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类，这三类工程所含项目的个数分别占总数的.地从中任意一个项目参与建设要求： （I）他们选择的项目所属类别互不相同的概率； （II）至少有1人选择的项目属于民生工程的概率。

解:记第1名工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程分别为事件

111、、，现在3名工人236A1,B1,C1，i=1，2，3.由题意知A1A2A3相互，B1B2B3相互，C1C2C3相互

，A1,B1,C1（i，j，k=1，2，3，且i，j，k互不相同）相互， 且P（A1）=，p（B1）=

11，p（C1）= 36（1）他们选择的项目所属类别互不相同的概率

P=3！p（A1B2C3）=6p（A1）p（B2）p（C3）

=6x

1111xx = 2366

（1I）至少有1人选择的项目属于民生工程的概率

 P=1-p（B1B2B3）

=1-p（B1）p（B2）p（B3）

=1-（1-

1219 )=

32718.（本小题满分12分）

如图3，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=4, AA1=7,点D是BC的中点，点E在AC

平面ACC1A1; 上，且DEA1E（Ⅰ）证明：平面A1DE（Ⅱ）求直线AD和平面A1DE所成角的正弦值。

平面ABC 解 （Ⅰ）如图所示，由正三棱柱ABC-A1B1C1的性质知AA1又DE平面ABC，所以DEAA1.

而DEAA1A1EA1,所以DE⊥平面ACC1A1 1，AA又DE 平面A1 1DE，故平面A1DE⊥平面ACC1AF （Ⅱ）解法 1过点A作AF垂直A1E于点

连接DF.由（Ⅰ）知，平面A1， 1DE⊥平面ACC1AADF直线AD和 所以AF平面A1DE,故

平面A1DE所成的角。

因为DEACC1A1所以DEAC而

ABC是边长为4的正三角形，于是AD=2

又因为AA1= AF3 AE=4-CE=4-

1CD=3 27 所以A1E=

AA12AE2=(7)23= 4

AF21AEAA137 , sinADF AD8A1E421 8即直线AD和平面A1DE所成的角的正弦值为解法2 如图所示，设O是AC的中点，以O为原点建立空间直角坐标系，则相关各点的坐标分别是A(2,0,0,), A1.(2,0,

7), D(-1, 3), E(-1,0.0)

易知A1B=（-3，3，-7），DE=（0，-3，0），AD=（-3，3，0）

设n=（x，y，z）是平面A1DE的一个法向量，则

{uuuvnDE3y0uuuuvnA1D3x3y7z0

解得x7z,y0 3故可取n=（7,0,-3，）于是

uuuruuurnAD

cosn,ADuuurnAD=3721 842321 8由此即知，直线AD和平面A1DE所成的角是正弦为

19．（本小题满分13分）

已知函数f(x)=x+bx+cx的导函数中图象关于直线x=2对称。

（1） 求b的值；

（2） 若f(x)在x=1处取得最小值，记此极小值为g(1)，求g(1)的定义域和值域。 解（1）f(x)=3x+2bx+c；因为函数f1（x）的图象关于直线x=2对称，所以是b6

3222b=2，于6（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f(x)=x-6x+cx；f1（x）=3x-12x+c=3(x2)2+c-12. （ⅰ）当c  12时，f'（x）0，此时f(x)无极值。

（ii）当c12时，f'（x）=0有两个互异实根x1·x2，不妨设x1＜x2，则x1＜2＜x2 当x＜x1时，f'（x）>0， f(x)在区间（，x1）内为增函数； 当x1＜x＜x2时，f'（x）＜0，f(x)在区间（x1，2）内为减肥函数 当x1＜x2时，f'（x）>0，f(x)在区间（+，2）内为增函数 所以f(x)在x =x1处取极大值，在x=x1处取极小值

因此，当且仅当c12时，函数f(x)在xx2处存在唯一极小值，所以tx22 于是g(t)的定义域为(2,)

/2由 f(t)3t12tc0得c3t12t 于是

2322xxg(t)f(t)t36t2ct2t36t2,t(2,)

/2当t2时，g(t)6t12t6t(2t)0,所以函数g(t)在区间(2,)内是减函数，

故g(t)的值域为(,8). 20 （本小题满分13分）

已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的圆边形是一个面积为8的正方形（记为Q）

（1） 求椭圆C的方程：

（2） 设点P是椭圆C的左准线与x轴的交点，过点P的直线L与椭圆C相交

于M.N两点，当线段MN的中点落在正方形Q内（包括边界）时，求直线L的斜率的取值范围。

x2y2解 （1） 依题意，设椭圆C的方程为221(ab0),焦距为2c，由题设条件

ab知，a28,bc, 所以 b212a4. 2x2y21 故椭圆C的方程式为84（3） 椭圆C的左准线方程为x4,所以点P的坐标(4,0)，显然直线l的斜

率k存在，所以直线l的方程为yk(x4)。

如图，设点M，N的左边分别为(x1,y1),(x2,y2),线段MN的中点G(x0,y0)，

yk(x4)得 x2y2184 由(12k2)x216k2x32k280 ……①

由(16k)4(12k)(32k8)0解得222222k ……② 2216k2因为x1,x2是方程①的两根，所以x1x2，于是

12k2x1x24k8k2yk(x4) x0=， 0022212k12k8k2因为x00，所以点G不可能在y轴的右边，有直线F1B2,F1B1方程分

12k2

别为yx2,yx2,所以点G在正方形Q内（包括边界）的充要条件为

{y0x02y0x02

4k8k222k22212k12k既 亦即222k4k8k212k212k2解得2k102k10

3131，此时②也成立 k223131,) 22故直线l斜率的取值范围是[21.（本小题满分13分）

对于数列un若存在常数M＞0,对任意的nN，恒有

un1ununun1u2u1M

则称数列un为B数列

1的等比数列是否为B-数列？请说明理由; 2(I) 首项为1，公比为(II) 设Sn是数列xnA组：①数列xn③数列Sn的前n项和。给出下列两组判断：

是B-数列。 ②数列xn不是B-数列。 是B-数列。 ④数列Sn不是B-数列

请以其中一组的一个论断条件，另一组中的一个论断为结论组成一个命题 判断所给命题的真假，并证明你的结论；

(Ⅲ)若数列{an}是B数列，证明：数列{a2n}也是B数列。

1解（I）设满足题设的等比数列为an,则an()n1，于是

21131anan1()n1()n2*()n2,n2

2222｜an1- an｜+｜an-an1｜+…+｜a2-a1｜

=

31121n-1 1（）（）222212n=3×1（）<3

所以首项为1，公比为1的等比数列是B-数列 2（Ⅱ）命题1：若数列｛xn｝是B-数列，则数列｛sn｝是B-数列 此命题为假命题

事实上设xn=1，nN，易知数列｛xn｝是B-数列，但sn=n， ｜sn1- sn｜+｜sn-sn1｜+…+｜s2-s1｜=n 由n有的任意性知，数列｛sn｝不是B-数列。

命题2：若数列｛sn｝是B-数列，则数列｛xn｝不是B-数列。

此命题为真命题。事实上，因为数列｛sn｝是B-数列，所以存在正数M，对任意的nN，有

｜sn1- sn｜+｜sn-sn1｜+…+｜s2-s1｜M

既xn1xn...x2M,于是

xn1xnxnxn1...x2x1

xn12xn2xn1...2x22x12Mx1

所以数列xn是B数列。

（注：按题中要求组成其它命题解答时，阐述解法）

③若数列an是B数列，则存在正数M，对任意的nN,有

 an1ananan1....a2a1M 因为ananan1an1an2...a2a1a1 anan1an1an2...a2a1a1Ma

22KMa1，则有an1an(an1an)(an1an)

1

(an1an)an1an2Kan1an

2222因此 an1ananan1...2故数列an是B数列

2a22a2K M1