矩阵分析复习题

一、 单项选择题（答案AAB）

Akf(A)k1k收敛，则A可以取为 1. 设

0091 B. A. 0091 C.

1011 D. 100.11

xk注：A的特征值为0，-1，而k1k的收敛区间为[1,1)

2. 设M是n阶实数矩阵，若M的n个盖尔圆彼此分离，则M

A. 可以对角化 B. 不能对角化 C. 幂收敛 D. 幂发散

注：由定理M有n个不同特征值，故可以对角化

3. 设3阶矩阵A222(A4E)(A3E)O, 且其最小多项式满足多项式

m(x)满足条件

m(1)m(3)1,则A可以相似于

2200MM13000002A. B.

020022

C.

2M1002202000M0302013 D.

注：B中矩阵的最小多项式为

x22

二、填空题

1． 设A的最小多项式为2A2A0，则cos2A＝ [ E+2cos11A ]。

kkAnn2．已知AC,并且(A)1,则矩阵幂级数k02A(EA)=［ ］。

A3．设矩阵

1432214332144321，则A的谱半径

(A)＝［ 323 ］。

22f()(1)(2) [ 20 ]. 4． 设5阶复数矩阵A的特征多项式为,则

三、设V是由函数

ex,xex,x2ex,e2x的线性组合生成的线性空间，定义V的一个线性算

子如T(f)f'. 求T的Jordan标准形及Jordan基。

证明：1由定义

1 1 0 00 1 2 0xx2x2xxx2x2xTe,xe,xe,ee,xe,xe,e0 0 1 00 0 0 2



=

ex,xex,x2ex,e2xA，

2．计算出A的特征值为1，2；

3．用最小多项式或初等因子判断Jordan块形状

4． 给出A的Jordan标准形

1000110001100002； 5．写出过渡矩阵与基变换正确公式； 6．给出Jordan基。 注：Jordan基不唯一

四、设

1 1 2A0 1 11 3 4求A的两个相关子空间：N(A),R(A).

，

0.9 0.01 0.12A0.01 0.8 0.130.01 0.02 0.4的孤立盖尔圆盘四、 求矩阵（即对矩阵作适当的相似变换后求得

的盖尔圆盘是孤立的）。

解法一、

1． 求相似矩阵；

2． 算出分离的盖尔圆。

解法二、

直接计算A的列盖尔圆并指出他们是分离的给满分。

五、 已知正交矩阵

2 1 311 2 232 2 1表示一个旋转，求其旋转轴与旋转角。

1．指出特征值1， （2分）

2．求出1对应的特征向量（1，1，0）并指出其为旋转轴， （2分）

3．指出旋转角度和另两个共轭特征值关系，

或指出旋转角与矩阵迹的关系； （2分）

4．求出旋转角

arccos13， （2分）

注：思想正确但没算1的特征向量或算错特征向量至多扣一分；旋转角的各种表示均可（如

arcsin223）；全题中的计算错误总共至多扣一分。

100,A101n010求证：A六、 （8分）设

An2AE32.

证法一、

1．算出特征多项式

f112，

2．指出fA0，

3．使用定理“两个矩阵函数相等当且仅当函数在A的谱上数值相等”正确证明结论，

解法二、

1．算出特征多项式

f112，

fA02．指出，

3．使用归纳法或直接从多项式nn21分解出因子

2f112从而证明

结论。

解法三、

1．直接计算出

A3AA2E30，

2．使用归纳法或直接从多项式nn21分解出因子

2f112从而证明

结论。

解法四、

1．求出A的Jordan标准形；

2．用Jordan标准形计算出结论。

Ate七、 对下面矩阵A求矩阵函数：

2 2 31 1 11 3 1。

解法一、

1．求出特征值多项式并指出其为最小多项式，

ga0a1a222．设，

3．列出线性方程组

eAtgAeta0a1a22tea02a14a23tea03a19a2，其

4．算出

解法二、

1．求出特征值多项式并指出其为最小多项式，

2．算出A的相似对角形及过渡矩阵，

3．写出e，

At八、 证明矩阵范数||A||1, ||A||2和||A||分别是向量范数l1, l2和l导出的算子范数。

1．

||A||1max|aij|1jni1n，

2．

||AX||1|aijxj|(|xj||aij|)i1j1j1i1nnnn

|xj|max|aij|j11jni1nn=

||X||1max|aij|1jni1n，

3．

||A||1sup||AX||1X0||X||1，

4．设j是使1 中的最大值达到的列，令

X0,,0,1,0, 第j个,0T||AX||1||A||1||X||1，则。