函数与方程练习题和答案

函数与方程

1．函数的零点 (1)函数零点的定义

一般地，如果函数y＝f(x)在实数α处的值等于零，即__________，则α叫做这个函数的________． (2)几个等价关系

方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与_______有交点⇔函数y＝f(x)有_____． (3)函数零点的判定(零点存在性定理)

如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是f(x)＝0的根．

2．二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象与零点的关系

Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 与x轴的交点 无交点 零点个数 3.二分法 对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．

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[难点正本 疑点清源]

1．函数的零点不是点

函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，也就是函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标，所以函数的零点是一个数，而不是一个点．在写函数零点时，所写的一定是一个数字，而不是一个坐标．

2．零点存在性定理的条件是充分而不必要条件

若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图象是连续不间断的，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)·f(b)<0，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)使f(c)＝0，这个c就是方程f(x)＝0的根．这就是零点存在性定理．满足这些条件一定有零点，不满足这些条件也不能说就没有零点．如图，

f(a)·f(b)>0，f(x)在区间(a，b)上照样存在零点，而且有两个．所以我们说零点存在性定理的条件是充分条件，但并不必要．

1．设f(x)＝3x＋3x－8，用二分法求方程3x＋3x－8＝0在x∈(1,2)内近似解的过程中得f(1)<0，f(1.5)>0，f(1.25)<0，则方程的根落在区间________．

2．若函数f(x)＝x2－ax－b的两个零点是2和3，则函数g(x)＝bx2－ax－1的零点是_____． 3．已知函数f(x)＝ln x－x＋2有一个零点所在的区间为(k，k＋1) (k∈N*)，则k的值为________． 4．若函数f(x)＝ax－x－a(a>0，且a≠1)有两个零点，则实数a的取值范围是________． 5．已知函数f(x)＝x2＋x＋a在区间(0,1)上有零点，则实数a的取值范围是________.

题型一 判断函数在给定区间上零点的存在性

例1 函数的零点存在性问题常用的办法有三种：一是用定理，二是解方程，三是用图象．

函数与方程练习题和答案

(1)函数f(x)＝2x＋3x的零点所在的一个区间是

( )

A．(－2，－1) B．(－1,0) C．(0,1) D．(1,2)

(2)设函数f(x)＝1

3x－ln x (x>0)，则y＝f(x) ( )

A．在区间1e，1

，(1，e)内均有零点 B．在区间1e，1，(1，e)内均无零点

C．在区间1e，1内有零点，在区间(1，e)内无零点 D．在区间1e，1内无零点，在区间(1，e)内有零点 题型二 二次函数的零点分布问题

例3 已知关于x的二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0.

(1)若方程有两根，其中一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求m的范围； (2)若方程两根均在区间(0,1)内，求m的范围．

数形结合思想在函数零点问题中的应用

试题：(12分)已知函数f(x)＝－x2

＋2ex＋m－1，g(x)＝x＋e2

x (x>0)．若y＝g(x)－m有零点，求

m的取值范围；

A组 专项基础训练题组

一、选择题

1．已知函数f(x)＝log12x－3x

，若实数x0是方程f(x)＝0的解，且02．已知三个函数f(x)＝2x＋x，g(x)＝x－2，h(x)＝log2x＋x的零点依次为a，b，c，则 ( ) A．ax2

3．函数f(x)＝

＋2x－3，x≤0，的零点个数为 

－2＋ln x，x>0

( )

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A．3 B．2 C．1 D．0 二、填空题

4．定义在R上的奇函数f(x)满足：当x>0时，f(x)＝2 012x＋log2 012x，则在R上，函数f(x)零点的个数为________． 三、解答题

5．是否存在这样的实数a，使函数f(x)＝x2＋(3a－2)x＋a－1在区间[－1,3]上与x轴有且只有一个交点．若存在，求出a的范围；若不存在，说明理由．

6．已知函数f(x)＝4x＋m·2x＋1有且仅有一个零点，求m的取值范围，并求出该零点．

B组 专项能力提升题组

一、选择题

1．已知函数y＝f(x)和y＝g(x)在[－2,2]上的图象如图所示，给出下列四个选项，其中不正确的是

( )

A．函数f[g(x)]的零点有且仅有6个 B．函数g[f(x)]的零点有且仅有3个 C．函数f[f(x)]的零点有且仅有5个 D．函数g[g(x)]的零点有且仅有4个

二、填空题

4．已知函数f(x)＝x2＋(1－k)x－k的一个零点在(2,3)内，则实数k的取值范围是________．

三、解答题 8．m为何值时，f(x)＝x2＋2mx＋3m＋4.

有且仅有一个零点；②有两个零点且均比－1大；

函数与方程练习题和答案

答案 要点梳理

1．(1)f(α)＝0 零点 (2)x轴 零点 2．(x1,0)，(x2,0) (x1,0) 两个 一个 无 基础自测

1．(1.25,1.5) 2.－11

2，－3

3．3 4.a>1 5.(－2,0) 题型分类·深度剖析

例1 解 (1)方法一 ∵f(1)＝12－3×1－18＝－20<0， f(8)＝82

－3×8－18＝22>0， ∴f(1)·f(8)<0，

故f(x)＝x2－3x－18，x∈[1,8]存在零点．

方法二 令f(x)＝0，得x2－3x－18＝0，x∈[1,8]． ∴(x－6)(x＋3)＝0，∵x＝6∈[1,8]， x＝－3∉[1,8]，

∴f(x)＝x2－3x－18，x∈[1,8]存在零点．

(2)方法一 ∵f(1)＝log23－1>log22－1＝0，f(3)＝log25－3故f(x)＝log2(x＋2)－x，x∈[1,3]存在零点．

方法二 设y＝log2(x＋2)，y＝x，在同一直角坐标系中画出它们的图

象，从图象中可以看出当1≤x≤3时，两图象有一个交点， 因此f(x)＝log2(x＋2)－x，x∈[1,3]存在零点． 变式训练1 (1)B (2)D 例2 4

变式训练2 B

例3 解 (1)由条件，抛物线f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1

与x轴的交点分别在区间(－1，0)和(1,2)内，如图(1)所示，得

m<－12

，

f0＝2m＋1<0，

f－1＝2>0，

f1＝4m＋2<0，f2＝6m＋5>0.



m∈R，⇒m<－1

2

，m>－56.

即－56.

(2)抛物线与x轴交点均落在区间(0,1)内，如图(2)所示 列不等式组

m>－1f0>0，

2

，

f1>0，⇒

m>－12，

Δ≥0，0<－m<1.



m≥1＋2或m≤1－2，

－1即－1

2

变式训练3 解 方法一 若a＝0，则f(x)＝2x－3，f(x)＝0⇒x＝3

2∉[－1,1]，不合题意，故a≠0.

下面就a≠0分两种情况讨论：

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函数与方程练习题和答案

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(1)当f(－1)·f(1)≤0时，f(x)在[－1,1]上至少有一个零点，即(2a－5)(2a－1)≤0，解得2≤a≤2

. 

f－1

2a

f1≤0，(2)当f(－1)·f(1)>0时，f(x)在[－1,1]上有零点的条件是－1<－12a

<1，

f－1·f1>0，

解得a>5

2

.

综上，实数a的取值范围为1

2，＋∞

. 方法二 函数y＝f(x)在区间[－1,1]上有零点等价于方程2ax2＋2x－3＝0在区间[－1,1]上有实根．显然0不是y＝f(x)的零点，由题意转化为x∈[－1,1]时求a＝3111

2·x2－x的值域．∵x∈(－

∞，－1]∪[1，＋∞)，∴a＝312x－132－16在1x＝1时取得最小值1

2. ∴实数a的取值范围为1

2，＋∞. 课时规范训练 A组

1．C 2.B 3.B 4.3

5．解 ∵Δ＝(3a－2)2－4(a－1)>0， ∴若存在实数a满足条件， 则只需f(－1)·f(3)≤0即可．

f(－1)·f(3)＝(1－3a＋2＋a－1)·(9＋9a－6＋a－1)＝4(1－a)(5a＋1)≤0. 所以a≤－1

5

或a≥1.

检验：①当f(－1)＝0时，a＝1. 所以f(x)＝x2＋x. 令f(x)＝0，即x2＋x＝0.

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得x＝0或x＝－1.

方程在[－1,3]上有两根，不合题意， 故a≠1.

②当f(3)＝0时，a＝－1

5，

此时f(x)＝x2－135x－6

5，

令f(x)＝0，即x2－136

5x－5＝0，

解之得x＝－2

5

或x＝3.

方程在[－1,3]上有两根，不合题意， 故a≠－1

5

. 综上所述，a<－1

5

或a>1.

6．解 ∵f(x)＝4x＋m·2x＋1有且仅有一个零点， 即方程(2x)2＋m·2x＋1＝0仅有一个实根． 设2x＝t (t>0)，则t2＋mt＋1＝0. 当Δ＝0时，即m2－4＝0，

∴m＝－2时，t＝1；m＝2时，t＝－1(不合题意，舍去)，∴2x＝1，x＝0符合题意．当Δ>0时，即m>2或m<－2时， t2＋mt＋1＝0有两正或两负根， 即f(x)有两个零点或没有零点． ∴这种情况不符合题意．

综上可知：m＝－2时，f(x)有唯一零点，该零点为x＝0. B组

函数与方程练习题和答案

1．B 4.(2,3)

8．解 ①f(x)＝x2＋2mx＋3m＋4有且仅有一个零点⇔方程f(x)＝0有两个相等实根⇔Δ＝0，即4m2－4(3m＋4)＝0，即m2－3m－4＝0，∴m＝4或m＝－1.

②方法一 设f(x)的两个零点分别为x1，x2，则x1＋x2＝－2m，x1·x2＝3m＋4.

Δ＝4m2－43m＋4>0

由题意，知

x1＋1x2

＋1>0

⇔

x1

＋1＋x2

＋1>0



m2－3m－4>0

3m＋4－2m＋1>0m>－5，－2m＋2>0

m>4或m<－1，

⇔

m<1，

∴－5故m的取值范围为(－5，－1)． 方法二 由题意，

Δ>0，知

－m>－1，

m2－3m－4>0，

即

m<1，

f－1>0，

1－2m＋3m＋4>0.

∴－5∴m的取值范围为(－5，－1)． 5 / 5