教师资格考试《数学学科知识与教学能力》考试试卷(1375)

课程试卷（含答案）

__________学年第___学期 考试类型：（闭卷）考试 考试时间： 90 分钟 年级专业_____________ 学号_____________ 姓名_____________

1、单选题（4分，每题1分）

1. 下列不属于《义务教育数学课程标准（2011年版）》针对义务教育阶段的数学课程，提出的“核心概念”的是（ ）。 A． 数据分析观念 B． 空间观念 C． 逻辑推理 D． 数感 答案：C

解析：《义务教育数学课程标准（2011年版）》针对有鉴于义务教育阶段的数学课程，提出的“专业课核心概念”为数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力、模型思想、应用意识、创新意识，不包括逻辑推理。故选项。

2. 在教师的人格中有两种重要特征对教学有显著影响：一是富于激励和想象的倾向性；二是（ ）。

A． 重义气、讲交情 B． 热心和同情心 C． 说到做到 D． 敬业精神 答案：B

解析：在教师的人格特征中会，教师充满热心和同情心、富于激励和想象，这有利于调动学生的积极性，发挥学生的学习潜力，在教学中始终能使学生积极地投入学习，对课堂学习充满热爱，有利于提高教学的效果。

3. 中学数学课堂教学设计遵循的原则不包括（ ）。 A． 循序渐进原则——由易到难，由表及里

B． 结构化原则——教学内容结构化，保持思想方法的一致性 C． 过程性原则——“两个过程”有机结合，精心设计概括过程 D． 情意原则——激发动机与兴趣 答案：A

解析：中学数学课堂教学设计应遵循四大原则：①情意原则；②过程性原则；③结构化原则；④有效原则。

4. 中学数学中的基本思想方法不包括（ ）。 A． 实践与概括的思想方法 B． 数形结合的思想方法

C． 集合与对应的思想方法 D． 函数与方程的思想方法 答案：A

解析：中学数学中的数学思想方法主要有数形结合的思想、函数与方程的思想、分类讨论的思想、化归与裂解的思想、表征与变换思想、集合与对应思想等。

2、单项选择题（9分，每题1分）

1. 创新意识的培养是现代数学教育的基本任务，应体现在数学教与学的过程之中。下面的表述不适合在教学培养学生创新意识的是（ ）。

A． 探索结论的新应用 B． 寻求解决问题的不同策略 C． 规范数学书写 D． 发现和提出问题 答案：C

解析：创新意识是现代数学教育的基本任务，投资过程应体现在数学教与学的过程之中。学生自己发现问题和提出问题是创新的基础；思考、学会思考是创新的核心；归纳概括给予猜想和规律，并加以验证，是创新的重要方法。项，“规范数学书写”不涉及培养到培养学生的科技意识。因此答案选。

2. 设a，b为非零向量，下列命题正确的是（ ）。

A． f（x）垂直于a B． f（x）平行于a C． a·b垂直于a D． a·b平行于a 答案：A

解析：两个向量的数量积也称“点乘”，结果是一个数；向量积也称“叉乘”，结果是一个向量，其方向满足库仑定律，垂直于原向量的平面。f（x）为向量积，方向与a，b向量垂直。而a·b为数量积，结果是一个数，无方向可言。所以、、项均错误，故本题选。

3. 《义务教育数学课程标准（2011年版）》中课程内容的四个部分是（ ）。

A． 数与代数，图形与几何，统计与概率，数学实验 B． 数与代数，图形与几何，统计与概率，数学建模 C． 数与代数，图形与几何，统计与概率，数学文化 D． 数与代数，图形与几何，统计与概率，综合与实践 答案：D

解析：《基础教育数学课程标准（2011年版）》中规定了课程内容的四个部分，分别是：数与代数、图形与几何、统计与概率、综合与实践。

4. 下列函数不属于初中数学课程内容的是（ ）。 A． 指数函数

B． 反比例函数 C． 一次函数 D． 二次函数 答案：A

解析：指数函数是高中数学必修1中的内容，故当选。

5. 设x＝α是代数方程f（x）＝0的根，则下列结论不正确的是（ ）。

A． x－α是f（x）的因式 B． x－α整除f（x） C． f（α）＝0

D． （α，0）是函数y＝f（x）的图像与x轴的交点 答案：C

解析：f（α）＝0不能推出x＝α是代数方程f（x）＝0的根，如，有f（1）＝0，但原代数方程无实根。

6. 与意大利传教士利玛窦共同翻译了《几何原本》（ⅠⅥ卷）的我国数学家是（ ）。 A． 祖冲之 B． 刘徽 C． 杨辉 D． 徐光启 答案：D

解析：明朝末年，《原本》传入中国。1606年，由我国数学家徐光启执笔，意大利传教士葛氏口译，合作翻译了《原本》的前六卷，并于1607年在北京装订出版。这是我国最早的汉译本，在翻译时。徐光启在“原本”前加上了“几何”一词，“几何原本”一词由此而来。 7. 若，则下列表述正确的是（ ）。

A． ∀r∈（0，a），∃N＞0，当n＞N时，有an＞r B． ∃r∈（0，a），∀N＞0，当n＞N时，有an＞r C． ∀N＞0，∃r∈（0，a），当n＞N时，有an＞r D． ∀r∈（0，a），∀N＞0，当n＞N时，有an＞r 答案：A

解析：由数列极限的定义，，则有∀ε＞0，∃正整数N，当n＞N时，有|an－a|＜ε。所以对于∀r∈（0，a），若令ε＝a－r＞0，∃N＞0，当n＞N时，有|an－a|＜a－r，即－（a－r）＜an－a＜a－r，可得an＞r。

8. 函数级数的收敛区间为（ ）。 A． （－1，1） B． （－1，1] C． [－1，1） D． [－1，1] 答案：A

解析：由已知可得，不等式的收敛半径为

当x＝1时，级数发散；当x＝－1时，级数发散，即x≠±1。因此答案选。

9. 矩阵的秩为（ ）。 A． 0 B． 3 C． 2 D． 1 答案：B

解析：（方法一）矩阵经过初等行变换可得

所以矩阵的秩为3。 （方法二）由于

所以矩阵满秩，即秩为3。

3、教学设计题（15分，每题5分）

1. 某位教师在讲完《相交线与平行线》这部分内容后，设计了一节《相交线与平行线》的复习课，在这节课中，他设计了如下一组题： 题1．如图3，BE平分∠ABD，DE平分∠BDC且∠1＋∠2＝90°。 图3

①BE与DE有什么样的位置关系？请说明理由。 ②AB与CD有什么样的位置关系？请说明理由。

题2．如图4，ABCD且∠1＋∠2＝80°，求∠BED的度数。 图4

题3．如图5，ABCD直线l交AB于点F，交CD于点G，点E是线段GF上的一点（点E与点F、G不重合），设∠ABE＝α，∠CDE＝β，∠ABD＝γ。试探索α、β、γ之间的关系，并说明理由。 图5

阅读上述教学设计片段，完成下列任务：

（1）从这组习题分析这节复习课的教学目标。（8分）

（2）分析这三道题的设计思图，并说明这组习题设计的特点。（10分）

（3）请你在图5的基础上，编一道类似习题，并给出答案。（12分）

答案： （1）教学目标

①知识与技能目标：能够利用白线的性质与判定定理，判断两条直线是否平行；能够灵活运用两相交的性质求相交直线的交角度数。 ②过程与方法目标：学生通过对两直线的位置进行观察、猜想、探索等过程，初步已经形成几何直观，发展形象思维与抽象思维，锻炼合情推理和演绎推理能力，并能清晰地表达自己的想法。

③情感态度与价值观目标：在学习过程中，体验获得成功的乐趣，锻炼克服困难的意志，建立自信心。养成认真勤奋、思考、合作交流，反思质疑等学习习惯，形成与时俱进的科学态度。 （2）设计特点

①第一道题目，给出已知条件BE平分∠ABD，DE平分∠BDC且

∠1＋∠2＝90°，通过两个问题反思引导学生思考，利用角平分线的性质，先判断出BE与DE的位置关系进而利用两直线平行的性质判定定理，判断AB与CD的位置。这道题目结合大学生毕业生的已有知识经验，加深巩固对两直线平行判定定理的应用。为第三道题目的猜想做铺垫。

②第二道题目，在第一道题目的基础之上对题目进行变形，已知ABCD且∠1＋∠2＝80°，结合对第一道题目程式设计的经验，利用两圆周平行的性质求出∠BED的度数。这道题目的主要设计意图为加深的学生对两直线平行的特殊性巩固应用，并为第三道题目的猜想做铺垫。

③第三道题目，在前两道题目的铺垫下会，将具体角变为理想化角。学生结合前两道题目的解题经验，进行猜想、探索证明。这道题目的主要设计意图是为加深巩固学生对两直线平行水平线的性质的应用，提高学生合情推理和演绎推理能力，将所学知识融会贯通的能力。 几道题目逻辑联系紧密，考虑到学生的认知顺序。遵循由浅入深、由易到难、由表及里等一整套规律，让学生能够帮助循序渐进、步步深入，以达到能够将所学知识灵活运用并初步已经形成几何直观，发展形象思维与抽象思维，锻炼合情推理和演绎推理能力的目的。 （3）如图5，直线l交AB于点F，交CD于点G，点E与线段GF上的一点（点E与点F、G不重合），设∠ABE＝α，∠CDE＝β，∠ABD＝γ。试探索α、β、γ之间的关系，并说明理由。

当α＋β＝γ时，AB与CD平行。连接BD，因为△BDE的内角和为180度，所以∠EBD＋∠EDB＝180°－∠BED，当α＋β＝γ时，

∠EBD＋∠EDB＋α＋β＝180°－∠BED＋α＋β＝180°，则AB与CD平行。 解析：空

2. 初中“不等式及其解集”设定的教学目标如下：

①感受生活中存在着大量的不等关系，了解不等式和一元一次不等式的意义，通过解决简单的实际问题，使学生自发地寻找不等式的解，会把不等式的解集正确地表示到数轴上；

②经历由具体实例建立不等模型的过程，经历探究不等式解与解集的不同意义的过程，渗透数形结合思想；

③通过对不等式、不等式解与解集的探究，引导学生在思考的基础上积极参与对数学问题的讨论，培养他们的合作交流意识：让学生充分体会到生活中处处有数学，并能将它们应用到生活的各个领域。

完成下列任务：

（1）根据教学目标①，给出至少两个实例，并说明设计意图； （2）根据教学目标②，设计至少三个问题，并说明设计意图； （3）根据教学目标③，设计至少两个问题，并说明设计意图； （4）本节课的教学重点是什么？

（5）作为初中阶段的重要内容，其难点是什么？

（6）本节课的教学内容对后续哪些内容的学习有直接影响？ 答案： （1）实例①：在物理的教学活动上同学们接触过天平，当天平两端放相同沙埃的砝码时，天平平衡，如果右侧多放了一个砝码天平会怎么样呢？

实例②：一辆匀速行驶的汽车距离A地45千米。要在48分钟之前驶过A地，车速应该具备什么条件？若设车速为每小时x千米，能用一个式子则表示吗？

设计意图：运用现实生活的例子，让学生们了解从“等”过渡到“不等”，再过渡到“不等式”，培养学生的观察能力、思考能力，助推他们的学习兴趣。

（2）问题①：一辆匀速行驶的汽车距离A地45千米。要在一个小时之前驶到A地，你认为车速应该为多少呢？车速可以是每小时82千米吗？每小时75.1千米呢？每小时74千米呢？

问题②：我们可以把使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解。刚才同学们所说的这些数，哪些是不等式的解呢？ 问题③：判断下列数中哪些是不等式的答案： 73，60，80，74.9，75.1，76

你能找出这个不等式其他的可解吗？它到底有多少个解？你从中发现了什么规律？

问题④：某开山工程正在进行爆破作业。已知导火索燃烧的速度是每秒0.8厘米，人长跑开的速度是每秒4米。为了使放炮的工人在爆炸时能跑到100米以外的交通安全地带，一米导火索的长度应超过多少厘米？

列出不等式，直接解出不等式的解集，并在数轴上所表示出来。 设计意图：高中学生这个环节是学生们充分发挥自己能力的环节，高中学生们可以通过自己的想法想法，动手获得一元一次不等式的解。这样才能够真正地理解本节课所要讲的知识，分散了本节课的难点。巩固对不等式解集概念的理解，并会在数轴上表示公式的上用解集，让学生感受新知识的用途。

（3）问题①：在海域，有一艘日本船只以每小时70千米

每小时向行驶，我国的海监船在300千米外要追击其船只，接到上级命令海监船必须在3小时内追到它，否则日本船将会登陆，那么海监船的行驶波速流速可以是多少？

问题②：几个小胖子在跳舞跷跷板，它们的体重相等，只有一个女孩的体重为39千克，当跷跷板的右边是450斤，左边必须有这个小女孩，问多少个小胖子糟才能使右侧比右边低？

设计意图：通过对不等式、不等式解与解集的探究，引导学生在思考的基础上逻辑学积极参与对数学问题的讨论，培养他们的合作交流意识。让学生充分体会到生活中会处处有数学，并能将它们应用到生活的各个领域。

（4）重点：正确理解不等式、不等式解，把不等式的解集正确地称上才到数轴上。

（5）难点：正确理解不等式解集的意义。

（6）本节课的内容是“不等式及其解集”，绝大部分内容不仅如此在数学的学习中起着承上启下的作用。是学生在一元一次方程和二元一次方程组的学习之后，又一次体验数学建模思想的投资过程学习过程，是进一步探究在生活中率性中的数量关系、培养学生分析养成问题和解决问题能力的重要内容，也接下去是今后学习一元二次方程、函数，以及进一步学习学习数列等知识的基础。学好这一部分内容很重要。 解析：空

3. 写出“三角形全等的条件”一课的教学设计简案。

答案： 三角形全等的条件 （1）学习方式

对于五边形三角形的研究，实际是平面几何中对封闭现实情况的两个图形关系研究的第一步，它是两个正三角形间最简单、最常见的关系，它不仅是讲授后面知识坚实基础的基础，并且是证明线段相等、角相等以及两线互相垂直、平行的重要依据。 （2）学习任务分析

充分利用教科书提供的用书素材和活动，鼓励学生风风雨雨观察、操作、推理、想象等活动，发展学生的室内空间观念，体会分析问题、解决问题的方法，日积月累数学活动经验。 （3）教材分析

这节课选自北师大版数学七年级四年级下第五章第四节第一课时。对于五边形三角形的研究，实际是平面几何中对封闭现实情况的两个图形关系研究的第一步，它是两三角形间最简单、最常见的关系。因此，本节课的知识具有承上启下的作用。 （4）教学目标 ①知识目标

a．理解三边对应相等的两个正负三角形全等的内容。 b．初步运用“边边边”条件者证明两个三角形全等。 ②能力目标

使学生经历探索三角形全等的全过程，体验用操作、分类、归纳可以得出数学结论的过程。 ③情感态度目标

a．通过探索三角形全等的情形探索的活动，培养学生合作交流的意识和发现问题的能力。

b．通过分类，快捷键等活动培养学生乐于探究的良好品质品质。 （5）教学的重点与难点

a．重点：探究三角形全等的方法及运用“边边边”证明两个三角形全等。从设置情景提出问题，到动手操作、交流，但于归纳得出结论。整个过程学生不仅得到了两个三角形全等的最底层条件，更重要的是经历了风风雨雨知识的已经形成过程，体会了第一种分析体会问题的方法，积累了数学活动经验，这将有利于教师更好地学生理解数学、应用数学。

b．难点：探究三角形全等的条件，特别是创设出问题后，学生面对开放性问题要做出全面、正确的分析，并对各种情况进行研讨。 （6）教学方法

学生动手操作、实验，生生合作、师生互动，交流、归纳。 （7）反思小结

带领学生复习全等三角形的定义及其政治性。 解析：空

4、案例分析（15分，每题5分）

1. 案例：某教师在进行二次根式教学时，给学生出了如下一道练习题：

已知方程的两个根分别为α，β，求的值。 某学生的解答过程如下：

因为，由一元二次方程根与系数的关系，得α＋β＝－1，αβ＝

1。 故

问题：

（1）指出该生解题过程中的错误，分析其错误原因； （2）给出你的正确解答；

（3）指出你解题所运用的数学思想方法。

答案： （1）错解分析：本题的错误之处有两处：

①成立的条件是α≥0，β＞0。事实上，由αβ＝1，知α，β这两个根式是同正或同负的。又由α＋β＝－3，可知α＜0且β＜0，故，同样。错误原因是学生忽视了二次根式的除法法则。

②通分错误。错误的根本原因是通分的仰仗方法掌握不熟练。 （2）正确解答：因为，则α≠β 由韦达定理得：α＋β＝－3，αβ＝1，

（3）解题所运用的是化归哲学思想。 解析：空

2. 谈谈你对数学课程总体目标与具体目标关系的认识。

答案： 适切数学课程的总体目标不只是让学生获得必要的数学知识、技能与数学思想方法，它比率还理应包括促进学生思维能力水平方面、用微积分解决问题能力方面、情感与态度态度方面的转型方面。需要有目标突出了学生的发展战略和社会的需要，为此总体目标被细化为四个方面的具体目标：知识与技能、数学思考、解决问题、情感与态度。所以，作为实现课程目标的主要途径，数学教学内容活动应

当将这“四个方面”同时作为我们的教学目标，而不是仅仅关注其中的一个或四个方面，如知识与技能、解决问题等，或是将其中的某一目标（例如情感与态度）作为长远目标实现其他最终目标过程中的一个“副产品”。

另一方面，四个目标不是相互混杂的，而是一个密切联系、互相交融的有机整体，数学思考、解决问题、情感与态度不单单是的发展离不开知识与技能的学，而与技能的学习必须有利于其他目标的实现，这里包含两层意思：一是“数学思考、解决问题、情感与态度”的实现是通过数学知识的学习来完成的，不需要也不可能为它设置专门课程；二是学什么样的知识技能，应当首先考虑到是否有利于其他三方面的目标的。 解析：空

3. 请分析如下案例。

在新课程课堂上，出现了一种新情况，教师普遍鼓励学生从自己的角度去思考问题，因此对同一个问题往往出现多种解法，对于各种解法的优劣，教师很少重视，甚至有人提出了“方法本无优劣之分，学生自己想出的方法，对他来说就是最好的方法”的观点。

答案： （1）教师鼓励学生思考，使解题策略大众化，允许不同学生从不同的角度、用不同的知识与方法解决问题，这种做法是正确的。

（2）从科学的角度来看，不同的解题方法都有其优点和局限性。 （3）教师应该引导采取教师进行交流，对各种演算法进行比较，

学习当更多的解题策略，从而获得适合自己的最佳写作文策略，实现解题方式的最优化。 解析：空

5、案例分析题（10分，每题5分）

1. 阅读下列3个教师有关“代数式概念”的教学片断，回答问题。 教师甲的情境创设：

“一隧道长l米，一列火车长180米，如果该列火车穿过隧道所花的时间为t分钟，则列车的速度怎么表示？”学生计算得出，教师指出：“”“10A＋2B”这类表达式称为代数式。 教师乙的教学过程：

复习上节内容后，教师在黑板上写下代数式的定义：“由运算符号、括号把数和字母连接而成的表达式称为代数式”，特别指出“单独一个数或字母也称为代数式”；然后判断哪些是代数式，哪些不是；接着通过“由文字题列代数式”及“说出代数式所表示的意义”进一步解释代数式的概念；最后让学生练习与例题类似的题目。 教师丙的教学过程：

让学生自学教材，但是教材并没有说“代数式”是怎么来的，有什么作用，接着教师大胆地提出开放式问题：“我们怎样用字母表示一个奇数？”当时教室里静极了，学生们都在思考，先有一位男生举手回答：“2A－1”。

“不对，若A＝1.5呢？”一位男生说。

沉默之后又有一位学生大声地说：“A应该取整数！”有些学生不大相信：“奇数77能用这个式子表示吗？”不久，许多学生算出来：“A取39。”

此时，教师趁势作了一个简单的点拨：“只要A取整数，2A－1定是奇数，对吗？那么偶数呢？”他并没有作更多的解说，点到为止，最后的课堂小结也很简单：“数和式有什么不同？”“式中的字母有约束吗？”“前面一节学过的式子很多都是代数式！……”从师生们

自如的沟通来看，他们都已成竹在胸。 问题：

（1）你认可教师甲的情境创设吗？说明理由；（6分） （2）你认可教师乙的教学过程吗？说明理由；（7分） （3）你认可教师丙的教学过程吗？说明理由。（7分）

答案： （1）教师甲运用学生熟悉的、单纯的概念物理情境引入代数式的概念，贴近学生的生活，降低了认知难度，如果教师甲能够教益启发引导学生，让学生自己通过从中情境弯叶的代数式总结出代数式的概念，就会使到情境创设与教学目标、教学内容的联系更为相互依存。

（2）教师乙的教学过程采用了传统的宣讲式，一般过程有复习、讲解、练习，条理清楚，突出了教学重点。然而教师乙的这种教学方法没有充分重视学生的主体地位，只从教师的角度将其“讲完”，让学生单调重复地“练习”，忽视了学生的主体地位。

（3）教师丙的中学教师教学过程充分重视了学生的主体地位，教师丙通过“我们怎样用字母表示一个奇数”的开放性问题，层层深入引介地启发学生积极思考，激发了小学生的兴趣，并适时点拨，重视学生的生成，良好地完成了教学任务，达到了教学目标。如果教师丙能够提前准备好丰富的自学素材，引导学生自己提出结构性问题，并进行合作探究，教学效果可能会更好。 解析：空

2. 案例：

某学校的初二年级数学备课组针对“一次函数”，拟对“兴趣班”的学生上一次拓展课，经过讨论，拟定了如下教学目标：

①进一步理解一次函数解析式y＝kx＋b（k≠0）中参数的含义； ②探索两个一次函数图像的位置关系。

为了落实教学目标②，针对参数k，甲、乙两位老师给出了不同的教学思路。 【教师甲】

先出示问题：一次函数图像是直线，两个一次函数表示的直线平行时，它们对应的一次函数解析式中参数k有什么特点呢？

然后，给出一般结论：若函数y＝k1x＋b1（k1≠0），y＝k2x＋b2（k2≠0）表示的两条直线平行，则有k1＝k2，接着通过具体实例，让学生体会参数k的含义。 【教师乙】

让学生在同一坐标系下，作一次函数图像，在此过程中体会k的含义。如，将学生分两组，分别画一次函数y＝－x＋1，y＝－x＋2；，的图像，再让学生观察每组图像的位置关系，从而体会参数k的含义。 问题：

（1）对该备课组拟定的教学目标进行评析；（6分） （2）分析甲、乙两位教师教学思路的特点。（14分）

答案： （1）本次课为拓展课，特别针对的学生是兴趣班的学生。评析分为四方面。

①该备课组所拟定的首要目标，目标主体正确，行为动词恰当。 ②就知识与理论知识目标而言，进一步理解参数辞汇，适用于拓展课的需求以及兴趣班的学情，而探索九个函数图像的关系投资过程体现了本堂课的具体过程。就整个过程与方法目标而言，有过程却无明显的方法突显，在这这点上目标拟定有所不足。

③二维三维目标还包括情感态度与价值观目标，尤其是兴趣班学生的拓展课，一定要体现出学生完全正确积极亲情的情感态度和价值观，而该备课组所拟定的首要目标在这一点没有具体呈现。

（2）半齿脂教师先出示问题，之后给出了平行直线中曾，一次函数解析式中才k值相等的结论。这样做的设计思路是为了让学生直接对问题的结论有一个深刻的印象，产生一定的认知，再举出一些具体的实例，让学生有的放矢地体会参数k的含义，并对结论成功进行了巩固。但是这样的设计思路也有一些不足，不考虑到学生的自主性，在培养学生发现问题的能力上有所欠缺，启发性有些不足。 乙教师在授课中并没有直接听课地给出参数k的含义，而是在学生动手实践、自主探索与合作交流的基础上得到本节课的知识内容。先将学生分组，通过合作画图归纳总结出答案，使课程内容不仅包括了数学的结果，整个过程还包括了数学结果的形成过程和重言式的数学思想方法，体现了学生是学习的主体，控制有利于教师对于知识的学习和掌握。 解析：空

6、简答题（65分，每题5分）

1. 若事件A与B相互，，，求：和

答案： ∵事件A与B相互，事件A＿与B也相互， ∴

由条件概率可知，

解析：空

2. 《义务教育数学课程标准（2011年版）》用行为动词“了

解”“理解”“掌握”“应用”等描述结果目标，请解释“了解等腰三角形的概念”的具体含义。

答案： 《义务教育数学课程标准（2011年版）》中行为动词“了解”的含义是在具体实例中均知道或能举例说明上述对象的有关特征；或者是根据对象的特征，从具体情境中辨认或者举例说明对象。“了解等腰三角形”含义则是由任意一个等腰三角形都能知道其至少有两边相等且为三角形的腰，其至少有五个相乘角相等且为三角形的底角；或者是由一个五边形其中两条边相等或其中两个角相等则可知该三角形为等腰三角形。 解析：空

3. 某居民小区有两个相互的安全防范系统（简称系统）A和B，系统A和B在任意时刻发生故障的概率分别为和P。

（1）若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为，求P的值；

（2）设系统A在3次相互的检测中不发生故障的次数为随机变量ζ，求ζ的概率分布列及数学期望Eζ。

答案： （1）设“至少有一个系统不是会发生发生故障”为事件C，那么 解得

（2）由题意可知，ζ要分四种情况：ζ＝0；ζ＝1；ζ＝2；ζ＝3。

所以，随机变量ζ的概率分布列列表如下：

所以随机变量ζ的数学期望为：

解析：空

4. 在空间直角坐标系下，试判断直线l：

与平面π：3x－y＋2z＋1＝0的位置关系，并求出直线l与平面π的夹角的正弦值。

答案： 由平面π的方程可知，平面π的一个法向量为；同理，平面2x＋y＋z－1＝0的法向量为，平面x－2y－z－2＝0的法向量，则直线l的方向向量为 则

可知直线l与平面π相交，设直线l平面π的夹角为θ，则

解析：空

5. 设A是m×n阶矩阵，R是m×n阶矩阵，

是m×m阶矩阵，求证：若B可逆且BA的行向量都是方程组Rx＝0的解，则A的每个行向量也都是该方程组的解。 答案： 假设

其中αi＝（i＝1，2，…，m）为A的行向量，则

因为BA的行向量都是方程组Rx＝0的解，所以 则 即

因为B是可逆的，所以

即A的每个行向量为Rx＝0的解。 解析：空

6. 已知：方程组

（1）当m取何值时，方程组有两个不同的实数解？ （2）若是方程组的两个不同的实数解，且求m的值。

答案： （1）把y＝2－x代人方程中，化简得，当且仅当Δ＞0时，方程组才会有两个不同的实数解。，解不等式得m＞2，所以当m＞2时，方程组有两个不同的实数解。 （2）把y＝2－x代人方程中，化简得 ∵， ∴ ∵

∴，解之得：m＝8或

经检验都符合题意，所以m＝8或 解析：空

7. 请你编制一道以二次函数为主线的综合性试题。 要求：

（1）抛物线沿下图射线AB的方向平移，由此体现分类讨论的思想；

（2）题中要涉及到求二次函数解析式、抛物线的对称性或顶点问题以及二次函数与一元二次方程的关系等内容； （3）难度适中。

答案： 如图所示，在平面座标系中，已知A（－2，0），B（1，3）坐标，设经过A（－2，0）、O（0，0）两点且顶点C在射线AB上的抛物线为l。

（1）求射线AB和抛物线l的解析式；

（2）将抛物线l沿射线AB方向平移，设移动前的抛物线与x轴在右的交点为M。

①当顶点在水平方向移动a个单位时，请用含a的代数式表示AM的长。

②在该些移动过程中，当顶点C在水平方向上为移动3个单位时，A与M之间的距离是多少？

解析：空

8. 某工厂生产的零件废品率为5，某人要采购一批零件，他希望以95的概率保证其中有2000个合格品，问他至少应购买多少零件？[注：，]

答案： 设他至少应购买n个零件，则n≥2000，则该批零件中合格零件位数ε服从二项分布B（n，p），其中p＝0.95。

因n很大，故B（n，p）近似于正态分布N（np，npq），q＝1－p＝0.05， 由条件知，有

因为，故

解之得n＝2123，

即他至少要购买2123个零件。 解析：空

9. 小杰到学校食堂买饭，看到A、B两窗口前面排队的人一样多（设为a人，a＞8），就站到A窗口队伍的后面，过了2分钟，他发现A窗口每分钟有4人买了饭离开队伍，B窗口每分钟有6人买了饭离开队伍，且B窗口队伍后面每分钟增加5人。

（1）此时，若小杰继续在A窗口排队，则他到达窗口所花的时间是多少（用含a的代数式表示）？

（2）此时，若小杰迅速从A窗口队伍转移到B窗口队伍后面重新排队，且到达B窗口所花的时间比继续在A窗口排队到达A窗口所花的时间少，求a的取值范围（不考虑其他因素）。

答案： （1）由题意可知，A窗口每分钟有4个人买完饭离开队伍，而且a＞8，所以小杰到达窗口所花的时间为

（2）由题意可知，小杰迅速从A窗口队伍转移到B窗口队伍后面重新排队，到达B窗口所花时间为

若要求达B窗口所花的时间比继续在A窗口排队到达A窗口所花的时间少，则，得a＞20。 解析：空

10. 已知直线l1过点A（－1，0），且斜率为k，直线l2过点B（1，0），且斜率为，其中k≠0，又直线l1与l2交于点M。 （1）求动点M的轨迹方程；

（2）若过点的直线l1交动点M的轨迹于C，D两点，且N为线段CD的中点，求直线l的方程。 答案： （1）设M（x，y）， ∵点M为l1与l2的交点， ∴，解得

∴动点M的轨迹方程为

（2）由（1）知，动点M的轨迹方程为，设， ∵直线l1交动点M的轨迹于C，D两点 ∴① ②

由①－②得，

即

∵N为线段CD的中点， ∴

∴直线l的斜率 ∴直线l的方程为，即得 解析：空

11. 如图所示，正方形ABCD和正方形ABEF交于AB，M，N，分别是BD，AE上的点，且AN＝DM，试用向量法证明：MN平面EBC。

答案： 设，， ∵，， ∴

又∵c，b是平面EBC上两个不共线的向量， ∴必为平面EBC上的一个向量，

由向量的平移，存在平面EBC的一个向量与平行，且MN不在平面EBC内。

∴MN平面EBC。 解析：空

12. 据统计，在参加某类职业资格考试的考生中，有60是本专业考生，有40是非本专业考生，其中本专业考生的通过率是85，非本专业的考生通过率是50。某位考生通过了考试，求该考生是本专业考生的概率。

答案： 设该考生是本考生专业人才考生为事件A，根据贝叶斯等式有：

解析：空

13. 设D是不等式组

所表示的平面区域，求区域D中的点P（x，y）到直线x＋y＝10的距离的最大值。

答案： 画出不等式组所表示的可行域D，如下图中阴影部分所示（包括边界），

显然，直线y＝1与2x＋y＝3的交点（1，1）到直线x＋y＝10的距离最大，

由点到直线的路程公式可得最大值为

解析：空

7、解答题（25分，每题5分）

1. 已知曲线

在点P（x，y）处的切线的斜率为k（x），若k（－1）＝0，且对一切实数x，不等式恒成立。

（1）求函数k（x）的表达式；

（2）若对一切实数x∈[0，2]恒成立，求实数λ的取值范围。

答案： （1），即 又∵①

由题意知，对一切实数x，不等式恒成立。 令x＝1得，即②

由①②得，则对x∈R恒成立，即

对x∈R恒成立，

即，解得 所以，故 （2）由题意得， 由（1）可知，

对恒成立。 令，x∈[0，2]，则

当x∈[0，1]时，g（x）在[0，1]上为减函数； 当x∈（1，2]时，g（x）在（1，2]上为增函数。 ∴

∴，即λ的取值范围是 解析：空

2. 设函数

其中n为正整数。

（1）判断函数f1（θ）的单调性，并就f1（θ）的情形证明你的结论；

（2）证明：

（3）对于任意给定的正奇数n，求函数fn（θ）的最大值和最小值。

答案： （1）由

可知：函数

设θ1＜θ2， 则

因为，，所以

即函数f1（θ）在上单调递增。 （2）由题意知：左边为 又 所以

（3）当n＝1时，函数f1（θ）在上单调递增，所以f1（θ）的最大值为，最小值为；当n＝3时，函数f3（θ）在上单调递增，f3

（θ）的最大值为，最小值为。当n≥15时，若n为奇数，对任意，有θ1＜θ2，又因为 且

函数fn（θ）在上单调递增，则fn（θ）的最大值为，最小值为 解析：空 3.

求： （1） （2）

答案： （1）

（2）

解析：空

4. 一平面通过两点，且垂直于平面Π：x＋y＋z＝0，求其方程。 答案： 设由此可知平面的法向量为，则此平面方程可以表示为

因为平面过两点，，所以，那么，即。又的法向量，所以，那么。因此，

将A＝－2C代入得：

即 解析：空

5. 设

求子空间的一组正交基。

答案： 取R3上一组基：，，，则有 则 而

经过初等变换可以得到 所以

又因为ε1，ε2线性无关，所以

将ε1，ε2进行Smitch正交化可得：

所以子空间的一组正交基是

解析：空

8、论述题（20分，每题5分）

1. 函数单调性是刻画函数变化规律的重要概念，也是函数的一个重要性质。

（1）请叙述函数严格单调递增的定义，并结合函数单调性的定义，说明中学数学课程中函数单调性与哪些内容有关；（至少列举出两项内容）（7分）

（2）请列举至少两种研究函数单调性的方法，并分别简要说明其特点。（8分）

答案： （1）函数严格单调递增的定义：对于值域中任意x1，x2，若x1＞x2，有f（x1）＞f（x2），则称函数f（x）在定义域上严格单调递增。

函数单调性的是研究具体函数单调性的依据，在所研究函数的值域、定义域、最大值、最小值等性质中有重要应用。除此之外，在解不等式、证明不等式、数列的性质等其他数学内容的研究中也有着的应用。

（2）研究函数单调性的方法主要深入研究有： ①定义法

对于值域中任意x1，x2，若x1＞x2，有f（x1）＞f（x2）或f（x1）＜f（x2），则称函数f（x）在定义域上所单调递增或递增单调递减。定义法判断函数单调性比较适用于对定义域内任意两个x1，x2，当x1＞x2，容易得出f（x1）与f（x2）的大小关系的函数。在解决问题时，定义法是最直接的方法，这种方法思路比较恰当，但是对一些不太容易判断出更f（x1）－f（x2）正负情况的函数，用定义法来需要进行解题则需作比较麻烦。

②导数法

一般先确定函数的定义域，求出原函数的导数f′（x），若导数f′（x）＞0，则函数单调在定义域内单调减半，反之，若导数f′（x）＜0，则函数在定义域内单调累加。导数法适用于函数在其定义域内可导且能判断导函数与零的大小关系的情形下。用界定法解决不了的题目，或者用定义法解题相对比较繁琐的选择题，用导数法进行解题可能会比较简单。导数法提供了一种重要的解题思想。 解析：空

2. 在初中数学教学课堂上，需要重视哪些方面的教学设计？ 答案： 在初中数学教学课堂上，应重视上列以下几方面的教学设计：

（1）重视问题情境设计

创设问题情境是指在教学内容中提出一些学生用已有的知识和已有习惯的方法不能立即解决的问题，从而在教材内容和学生的心理间创造一种不协调，形成学生的认知流血冲突，把学生引入到与问题有关的情境之中。用问题激发学生探索的欲望，让学生的学习过程成为和解决问题的过程，或使学生在解决问题的及令过程中获得知识、提高能力。创设问题情境的原则是：①问题要小而具体；②问题要新颖有趣；③问题要有适当的难度；④问题要有启发性。在情境中还要关注教学内容课堂提问的设计，首先提问要适度，要把握所提问题的难度水平，要面向全体学生，凝聚学生的学习兴趣思想和思维，给学生充分的思考时间。其次机会要均等，要记住问题是面向全体学生的，

而不必只是对举手的几个学生提的，学生应该尽可能为每一个学生创造平等回答问题的以便机会。 （2）重视对学生操作过程的设计

数学来源于生活，又服务于生活。动手操作既是学生认识数的概念的一种重要途径，又是促进学员积极参与，提高兴趣的重要方法和手段，目的是更好地促进学生对数学的理解，能用数学的语言、符号进行表达和交流。通过学生动手操作创设情景，使新知识成为他们自己实践研究所获得的成果，熟练掌握使得新知识更容易认知和掌握。教学时教师应根据教学内容，学生的学习实情，适时增补一些实例另行或操作的内容，充实学生记忆空间的表象储存，并不失时机地引导教师学生对所感知的素材进行思维加工，逐步形成理解认识。 （3）重视自主探索与合作过程的设计

培养学生的合作探究能力，在教学活动中，学生是学习的主体，必须改变“教师讲，学生听；教师问，学生答”以及大量演练习题的传统数学。依照学生年龄特色和比率认知水平，设计探索性和开放性环境问题，给学生提供自主探索的机会，让学生在观察、实验、猜测、归纳、分析和整理的过程中探索新知。同时积极支持学生开展小组讨论，相互合作，让学生主动交流。借助于学生两者之间的互动，有效地强化学生之间的共同进步。课堂内间的相互作用有两种基本方式：一是竞争性的，比试一下“谁学得最好”，在竞争方式下个人目标和群体目标是相互排斥的；二是合作性的，个人目标和群体目标之间是共同的。

（4）重视讨论模式的模块化

讨论法是学生在教师的指导下为大学生解决某个问题而进行探讨、辨明是非真伪以获取原理知识的方法。深入探讨在讨论中每个学生都有自由表达自己见解的机会，而且要提供方便事实和论据，有效地说服他人。因此，学生在活动中处于主动的地位，有利于发挥学生学习的主动性和，有利于学生家长灵活地运用知识解决问题，有利于培养学生的思维能力、口头表达能力。充分发挥教师在讨论中所充分发挥的引导作用，主要是引导学生围绕议题中心进行发言并促进学生之间的相互作用。讨论法的基本要求是：①讨论的风险问题要有吸引力；②善于启发引导学生；③讨论结束时要进行小结。 （5）重视课堂练习的设计

通过练习巩固知识并运用所学知识灵活运用解决问题，形成必要的技能、技巧。课堂练习的布置要与教学目标一致，根据不同层次的目标，安排不同技术水准的练习，切忌只让学生做一些知识记忆性的练习，而忽视了通过练习给学生提供方便思考和运用所学知识的机会。课堂课程内容的设计产品设计应富于变化，练习形式要适宜、新颖有趣，难易要适度，以激发学生做练习的好奇心，并通过练习产生有意义的学习。教员要给学生以适当的帮助，在学生做练习前，教师作业做适当的解释并复习有关的知识。 解析：空

3. 数学的产生与发展过程蕴含着丰富的数学文化。

（1）以“勾股定理”的教学为例，说明在数学教学中如何渗透数学文化；（6分）

（2）阐述数学文化对学生数学学习的作用。（9分）

答案： （1）在导入部分，的数学史毕达哥拉斯在朋友家做客时发现玻璃窗中三角形通过三边关系进行导入，让学生感受数学艺术；在新课讲授阶段，通过运用赵爽弦图对勾股定理进行证明，由求边的关系转化到求面积裂解关系，渗透转化的思想方法。在用面积证明勾股定理的投资过程中，通过移、补、凑、合而面积不变，向展示割补原理并渗透数形结合思想；在巩固提高阶段，通过运用勾股定理解决生活中的实际问题，培养学生的应用意识；在小结作业阶段，让学生寻找有关勾股定理释义的资料，并对相关风险问题进行探究，进一步培养人才学生的探索精神。

（2）①数学文化有利于激发学生的学习兴趣

数学文化给学生带来高等数学的不仅仅是数学命题、数学方法、数学症结和数学语言等，还包括数学思想、数学意识、数学精神等。在教学中可以适当地对学生进行数学文化教育，如通过介绍数学家的故事情节、数学结构性问题的发现等来家长激发学生对数学的学习兴趣。

②数学文化教育有利于培养学生的创新意识和探索精神 新一轮数学改革的理念中同，强调培养学生的创新意识和探索精神。培养学生的语言学思维能力，也是当代数学教育改革的核心问题之一。在数学文化中数学历史事件意外事件、历史过程、历史故事政治史都能够激发学生的创新意识，培养学生的探索精神。 ③数学文化教育有利于发展学生的数学应用意识

数学人文的意义不仅在于知识本身和它的内涵，还在于它的嵌入式价值。数学源于生活，其理论的核心部分都是在人类文明社会的生

产、韦祖兹之中发展起来的。因此，在教学过程中应当有意识地结合学生已有的知识结构，加强计算机科学与实际生活的进一步增强联系，将数学知识生活化，让学生感受到生活的各个领域都可以用到劳作数学，从而更深切地感受数学文化的内在价值。 解析：空

4. 何为教学反思？教学反思的内容主要包括哪些方面？

答案： 教学反思是教师对教育教学素质教育教研的再认识、再思考，并以此来总结经验教训，进一步提高教育教学发展水平。教学反思的素材包括主要包括以下几个方面： （1）反思教学理念

教学理念不是《课标》中的概括表述，也不是当中其他教育理论著作中的抽象概念，而是一些很一般性的东西，比如：为了每一位学生的经济发展，全面融合能力、方法、情感、价值等方面的内容，为提高学生的综合类素养，培养学生终身学习的能力和愿望，为学生的终身学习和可持续发展打好基础，重视过程和方法，注重知识的发生、发展的过程，同时应以知识为载体促进学生心理健康发展，以人为本，形成高尚的人格。 （2）反思教学内容

任何教学目标的实现都需要通过特定的教学内容的学习来达成。教学内容是教学反思的极其重要内容。反思必修课程要反思：教学内容是否与教学目标相符？必修课程的科学性、思想性和趣味性，以及学生家长是否符合学生的年龄特征？能否按照学生的个别差异设计教

学内容，促进学生的个性发展？ （3）反思教学过程

回忆教学是怎样成功进行的？如，新课的导入是否为创造了一个良好的情境？各轮次的设计是否合理？

对教学目标的反思：是否达到业绩预期的教学效果？ 对教学理论的反思：是否符合教与学的基本规律？

对学生的评价与反思：各类学生是否达到了预定目标？如练习题的选择是否适量？深浅度是否合适？哪个类型的题目需要除去？哪道习题需要延伸？

对执行教学计划情况的反思：改变计划的原因和方法是否有效，采用别的活动和方法是否更有效？

对改进措施的思考：考试制度怎样修改？ （4）反思细穗和手段

反思是否论调以系统的观点为指导，选择合适的教学策略？反思是否根据教学策略类型的外部形态和大学生认识活动的特点，优化教学策略？反思教法与学法是否统一，能否促进学生的自主发展？教学手段的选择是否适应教学内容及学生的实际情况？数位课件的使用是否恰到好处？学生的合作探究思考是否落到了实处？这些方面是真正优化教学效果的关键。 （5）情感体验的反思

因为整个的解题过程并非仅仅只是一个知识运用、技能训练的过程，而是一个昭示着交流、探究、创造和喜、怒、哀、乐的综合过程，是喜怒哀乐学生整个内心世界的参与，苦涩其间他既品尝了无功而返

的苦涩，又开花结果了成功的喜悦，结果可能是思考所得，也有可能是合作交流所得，既体现了对个人价值，也体现了开展合作的力量。此外，引导学生进行解后反省，有利于培养内心世界学生积极的情感体验和学习动机；有利于激发起激发学生的学习兴趣，变被动学习为自主探究学习；不但有利于锻炼学生信念的学习毅力和意志品格，同时，在此过程中，学生会养成思考的学习习惯和创新合作的意识。 解析：空

9、选择题（13分，每题1分）

1. 设

则f′（0）等于（ ）。 A． n

B． （－1）n（n）2 C． （n）2 D． （－1）nn 答案：B 解析：令 则

∴ ∴

2. 如果函数f（x）当x→x0时极限存在，则函数f（x）在点x0处（ ）。 A． 不一定有定义 B． 连续 C． 无定义 D． 有定义 答案：A

解析：f（x）当x→x0时极限是不是存在与函数在该点有无定义无关，所以、两项错误。又该零点的极限存在，但不一定连续，且函数f（x）在x0点处连续要求在该点必须有度量，所以项错误，项正确。故选项。 3. 已知△ABC中，，则cosA＝（ ）。 A． B． C． D． 答案：C

解析：由可知，为钝角，所以cos＜0，可以排除项和项。再由和求得 4. 在的展开式中，常数项为（ ）。

A． 20 B． －15 C． －20 D． 15 答案：D

解析：二项式的通项公式为：

因为是常数项，所以有，r＝4，则常数项为

5. 对于不重合的两个平面α与β，给定下列条件： ①存在平面γ，使得α、β都垂直于γ； ②存在平面γ，使得α、β都平行于γ； ③α内有不共线的三点到β的距离相等；

④存在异面直线l、m，使得lα，lβ，mα，mβ。 其中，可以判定α与β平行的条件有（ ）。 A． 3个 B． 4个 C． 1个 D． 2个 答案：D

解析：①当α、β相交且同时垂直于γ时，α与β不平行。③α与β不平行时，可以有无数不共线的点到β的距离相等。命题②④为真命题，当选。

6. 若命题甲：A∪B⊇A为假命题，命题乙：A∪B⊆A也为假命题，U为全集，则下列四个用韦恩图形反映集合A与B的关系中可能正确的是（ ）。 A． B． C． D． 答案：C

解析：由命题甲可知∪＝，由命题乙可知∩＝，所以＝。

7. 设f（x）在（1－δ，1＋δ）内存在导数，f′（x）严格单调递减，且f（1）＝f′（1）＝1，则（ ）。

A． 在（1－δ，1）和（1，1＋δ）内均有f（x）＞x B． 在（1－δ，1）和（1，1＋δ）内均有f（x）＜x

C． 在（1－δ，1）有f（x）＜x，在（1，1＋δ）内有f（x）＞x D． 在（1－δ，1）有f（x）＞x，在（1，1＋δ）内有f（x）＜x 答案：B

解析：因为f′（x）在（1－δ，1＋δ）上严格单调递减，所以f（x）在（1－δ，1＋δ）是凸函数。又f（1）＝f′（1）＝1，所以在（1－δ，1＋δ）上，y＝f（x）在点（1，1）处的切线方程为：y－1＝f′（1）（x－1），整理得，y＝x。而x在f（x）之上，因此，f（x）＜x，。故选项。

8. 将四个完全相同的矩形（长是宽的3倍），用不同的方式拼成一个大矩形，设拼得的大矩形面积是四个小矩形的面积和，则大矩形周长的值只可能是（ ）。 A． 4种 B． 1种 C． 2种 D． 3种 答案：D

解析：长：12、6、4，宽：1、2、3。

9. 设x为正整数，若x＋1是完全平方数，则它前面的一个完全平方数是（ ）。 A． x B． C． D． 答案：B

解析：设x＋1＝9，则前面的一个完全平方数为4，当x＝8时，代入、、、可知。

10. 执行如图所示的程序框图，输出的S值为（ ）。

A． 2 B． 4

C． 8 D． 16 答案：C

解析：这是一个循环结构的程序框图：

循环结束，输出的S为8，故选项。

11. 如果函数f（x）在点x0的某个邻域内恒有|f（x）|≤M（M是正数），则函数f（x）在该邻域内（ ）。 A． 不能确定 B． 极限存在 C． 有界 D． 连续 答案：C

解析：由函数连续函数的定义可知：设函数f（x）的定义域为，数集X∈。如果存在数K1使得f（x）≤K1对任意x∈X都成立则称函数f（x）在X上有上界。故选项。

12. 直线的倾斜角α的值为（ ）。 A． B． C． D．

答案：C

解析：由直线方程可知，，故

13. 设A、B为任意两个事件，且A⊂B，P（B）＞0，则下列选项必然成立的是（ ）。 A． B． C． D． 答案：B

解析：由⊂，得＝。又由P（）＞0，得 故选项。