例2 回归与回归分析

假定某个国家的家庭数(总体)由60户组成，即总体为60户，所要研究的问题是，家庭消费支出与家庭可支配收入的关系。用X表示收入，Y表示消费，即对于已知的每周各个家庭收入（X）的数据，要预测总体的消费（Y）支出。假定将收入不等的家庭分为10组，这10组构成了总体即60户家庭的消费。

表2.1 X为每周家庭收入，总体：Y为所有家庭每周消费支出 X Y Y ,(Y) 条件均值 i80 100 120 140 160 180 200 55 65 79 80 60 70 84 93 65 74 90 95 70 80 94 103 75 85 98 108 － 88 － 113 － － － 115 325 462445707 (÷((（（5 ÷6÷5÷7 ＝＝＝＝65） 77） ） 101 102 107 110 116 118 125 － 678（÷6＝113） 110 115 120 130 135 140 － 750（÷6＝125） 220 240 260 150 152 175 178 180 185 191 1211（÷7＝173） 120 135 137 136 137 145 140 140 155 144 152 165 145 157 175 － 160 1 － 162 － 6851043966（（÷（÷÷57＝6＝＝149） 161） 137） 表2.1，周收入为80美元的家庭有5户，这5户的每周消费支出分别为55，60，65，70，75.类似地，每周240美元的家庭有6户，其消费支出由150至1不等，这样，表

2.1的列给出的是，对应不同的收入水平，其消费支出的条件分布。所谓条件，是指给定收入水平，如第一列，给定收入水平为80，在这一收入水平下，消费支出分别为为55，另一户为60，还有一户为65，另有一户为70，只有一户为75，于是，这一组数给出了在收入为80下，消费支出的条件（给定收入为80美元）分布，其特点为5户有不同的支出，这个例子用于说明问题的方便。因为表2.1的家庭总数60为假定的家庭总数，而表2.1中Y的数据代表总体即所有家庭的消费支出,即所有不同的收入水平下,所有可能的消费支出。而对于X的不同水平,Y的全体构成了一个子总体,如对于X=80,在这一水平下,Y分别等于55、60、65、70和75共5个不同的值,这即是在X=80的条件下,Y 的条件分布，这5个值构成了一个子总体。类似的，对于X＝100、120，….,构成一个相应的子总体。所有子总体构成总体。

条件概率与条件期望。在不同的收入水平下，Y取任一个值的概率即为条件概率，如对于给定收入X＝80的条件下，Y共有5个不同的值，条件概率即为Y取任一个值的概率，由于随机样本的特征是Y取每一个值的概率相等，因此在X＝80的条件下，Y取每一个值的概率为1/5，即

P(Y=55/X=80)=1/5

类似地，在X＝100的条件下，Y共有6个值，所以取任意值的条件概率为1/6，以此类推。

P(Y=60/X=80)=1/5 P(Y=65/X=80)=1/5，

P(Y=70/X=80)=1/5 P(Y=75/X=80)=1/5 进而根据条件概率，我们可计算条件期望（均值），即

E(YXX1)Yip(YiXX1)Yip(YiX80)55(1/5)60(1/5)65(1/5)70(1/5)75(1/5)65相应的，有

E(YXX2)Yip(YiXX2)Yip(YiX100)77

E(YXX3)Yip(YiX120)

E(YXX4)Yip(YiX140)101，

E(YXX5)Yip(YiX160)113,E(YXX6)Yip(YiX180)125,E(YXX7)Yip(YiX200)137,E(YXX8)Yip(YiX220)149,E(YXX9)Yip(YiX240)161,E(YXX10)Yip(YiX260)137,上述所计算的条件均值列入表最下行。但是，从以上可知，随着收入水平的提高，平均消费变化即E(Y/X)呈现出从低至高的趋势，即

65(X=80)――77(X=100)――(X=120)――101(X=140)―113(X=160)――125(180)――137(X=200)－―149(220)－―161(X=240)－―173(X=260)

将上述条件分布绘作图且将Y的条件均值连接，即有图2.1.

Population of 60 families200 160 120 80 40 6080100120140160180200220240weekly income

图2.1 总体回归直线

weekly consumption260280从图2.1可以看出，对应X＝80，Y有5个可能的值，但条件均值为E（Y/X＝80）＝65，在X在不同水平下，将Y的条件均值连起来，构成图2.1中的直线，它所说明的是，对应X的不同水平，Y的条件期望（均值）的变化，由于Y的条件均值是对于给定X的值而对于相应的所有Y的值求条件均值，因此称为总体回归直线（PRL）。注意的是对应X的不同值（如X＝80），Y的所有值（在X＝80时，Y共有5个）的平均值（期望值）所连接的直线，故称为总体回归线。我们特别说明,这一总体是在假定总体已知时推出的,一般的,我们通常不知总体,在这种条件下,我们实际上是假定总体回归直线,由此导出计象经济学中的假设检验.

一般而言，连接这些Y在给定值下的期望值即条件期望（E(YXi)所形成的线可能为直线，也可能为曲线，我们首先讨论直线，即线性总体。至于曲线即非线性，将是我们以后

学习的内容。

PRL函数和线性的含义 从以上的讨论可知，Y的条件均值

65――77――――101――113――125－137――149－161－173

为Xi函数，因此将Y的条件均值表述为

E(YXi)f(Xi) （2.1）

称（2.1）为双变量总体回归函数，这一式子表示在给定X的不同值的条件下，Y的均值或期望随X的变动而变动。以上例子是对总体为60户的家庭而言，而且是一个线性关系，由图示，即

E(YXi)f(Xi)12Xi （2.2）

2为斜

称（2.2）中的1,2为回归参数，其中的1为截距， 率。

由于（2.2）关于变量和参数均为线性，故也称为线性总体回归直线。回归分析的目的即是通过样本（数据），估计和推断经济变量之间的关系即（2.2）。我们的例子是为了说明问题的方便，将总体假定为60个家庭，一般而言，总体是未知的，如我国家庭总数，不可能统计每一个家庭（成本太大），也没有必要（逐户统计也不可能产生精确的数据），因此总体一般未知，总体是否线性？这里是基于凯恩斯消费理论假定总体为线性函数。