专题03 一元二次方程-2019年初升高数学衔接必备教材(解析版)

高中必备知识点1：根的判别式

我们知道，对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），用配方法可以将其变形为b2b24ac(x)．①22a4a因为a≠0，所以，4a2＞0．于是（1）当b2－4ac＞0时，方程①的右端是一个正数，因此，原方程有两个不相等的实数根bb24acx1，2＝；2a（2）当b2－4ac＝0时，方程①的右端为零，因此，原方程有两个等的实数根x1＝x2＝－b；2ab2

)一定大于或等于零，因此，2a（3）当b2－4ac＜0时，方程①的右端是一个负数，而方程①的左边(x原方程没有实数根．由此可知，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的情况可以由b2－4ac来判定，我们把b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的判别式，通常用符号“Δ”来表示．综上所述，对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），有(1)当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根bb24acx1，2＝；2a

（2）当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根x1＝x2＝－b；2a（3）当Δ＜0时，方程没有实数根．典型考题

【典型例题】

关于的一元二次方程【答案】【解析】由题意得，，整理得，解得：，．．，其根的判别式为，求的值．【变式训练】

已知关于的一元二次方程若方程的一个根为，求的值及另一个根；若该方程根的判别式的值等于，求的值．【答案】(1)【解析】（1）设方程的另一根是x2．∵一元二次方程mx2﹣（m+2）x+2=0的一个根为3，∴x=3是原方程的解，∴9m﹣（m+2）×3+2=0，解得m=；；即原方程的另一根是．又由韦达定理，得3×x2=，∴x2=1，即原方程的另一根是1；（2）∵△=（m+2）2﹣4×m×2=1∴m=1，m=3．【能力提升】

方程（x﹣5）（2x﹣1）=3的根的判别式b2﹣4ac=．【答案】105【解析】先把方程（x﹣5）（2x﹣1）=3化为一元二次方程的一般形式，再求出根的判别式即可．方程（x﹣5）（2x﹣1）=3化为一元二次方程的一般形式为：2x2﹣11x+2=0，故△=b2﹣4ac=（﹣11）2﹣4×2×2=105．高中必备知识点2：根与系数的关系（韦达定理）

若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有两个实数根bb24acbb24ac，x2，x1

2a2a则有bb24acbb24ac2bb

x1x2；2a2a2aabb24acbb24acb2(b24ac)4acc

x1x22．2a2a4a24aa

所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：如果ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根分别是x1，x2，那么x1＋x2＝理．特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程x2＋px＋q＝0，若x1，x2是其两根，由韦达定理可知x1＋x2＝－p，x1·x2＝q，即p＝－(x1＋x2)，q＝x1·x2，所以，方程x2＋px＋q＝0可化为x2－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0，由于x1，x2是一元二次方程x2＋px＋q＝0的两根，所以，x1，x2也是一元二次方程x2－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0．bc

，x1·x2＝．这一关系也被称为韦达定aa典型考题

【典型例题】

如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．（1）请问一元二次方程x2﹣6x+8＝0是倍根方程吗？如果是，请说明理由．（2）若一元二次方程x2+bx+c＝0是倍根方程，且方程有一个根为2，求b、c的值．【答案】（1）该方程是倍根方程，理由见解析；（2）当方程根为1，2时，b＝﹣3，c＝2；当方程根为2，4时b＝﹣6，c＝8．【解析】（1）该方程是倍根方程，理由如下：x2﹣6x+8＝0，解得x1＝2，x2＝4，∴x2＝2x1，∴一元二次方程x2﹣6x+8＝0是倍根方程；（2）∵方程x2+bx+c＝0是倍根方程，且方程有一个根为2，∴方程的另一个根是1或4，当方程根为1，2时，﹣b＝1+2，解得b＝﹣3，c＝1×2＝2；当方程根为2，4时﹣b＝2+4，解得b＝﹣6，c＝2×4＝8．【变式训练】

求方程x2﹣2x﹣2＝0的根x1，x2（x1＞x2），并求x12+2x2的值．【答案】6【解析】方程x2﹣2x﹣2＝0的根x1，x2，x122x120，x1x22.

∴x122x22x122x22x1x222226.【能力提升】

已知关于x的一元二次方程x2+(2m+3)x+m2＝0有两根α，β(1)求m的取值范围；(2)若α+β+αβ＝0．求m的值．【答案】(1)m≥﹣；(2)m的值为3．【解析】(1)由题意知，(2m+3)2﹣4×1×m2≥0，解得：m≥﹣；(2)由根与系数的关系得：α+β＝﹣(2m+3)，αβ＝m2，∵α+β+αβ＝0，∴﹣(2m+3)+m2＝0，解得：m1＝﹣1，m1＝3，由(1)知m≥﹣，所以m1＝﹣1应舍去，m的值为3．专题验收测试题

1．已知x1，x2是关于x的方程x2﹣mx﹣3＝0的两个根，下面结论一定正确的是（A．x1+x2＞0B．x1≠x2

C．x1•x2＞0D．x1＜0，x2＜0【答案】B【解析】解：∵△＝（﹣m）2﹣4×1×（﹣3）＝m2+4＞0，∴方程x2﹣mx﹣3＝0有两个不相等的实数根，∴x1≠x2．故选：B．2．已知关于x的一元二次方程2x2+mx﹣3＝0的一个根是﹣1，则另一个根是（）A．1B．﹣1C．32D．

32【答案】C【解析】）设方程的另一根为x1，根据根与系数的关系可得：﹣1•x1＝﹣32，解得x1＝32．故选：C．3．用配方法解一元二次方程x2+4x﹣5＝0，此方程可变形为（）A．（x+2）2＝9B．（x﹣2）2＝9C．（x+2）2＝1D．（x﹣2）2＝1【答案】A【解析】解：x2+4x﹣5＝0，x2+4x＝5，x2+4x+22＝5+22，（x+2）2＝9，故选：A．4．有x支球队参加篮球比赛，共比赛了90场，每两队之间都比赛2场，则下列方程中符合题意的是（A．12x（x﹣1）＝90B．1

2x（x+1）＝90C．x（x﹣1）＝90D．x（x+1）＝90【答案】C【解析】解：由题意可得，x（x﹣1）＝90，故选：C．5．关于x的一元二次方程x2﹣23x+m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（）A．m≤3B．m＞3C．m＜3D．m≥3【答案】C【解析】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣23x+m＝0有两个不相等的实数根，∴△＝b2﹣4ac＝（﹣23）2﹣4×1×m＞0，解得m＜3．）故选：C．6．关于x的方程（m﹣2）x2﹣3mx+A．m≤5

且m≠22B．m＞521

＝0有实数根，则m的取值范围（）45C．m≤D．m≤3且m≠22【答案】C【解析】当m﹣2＝0，即m＝2时，关于x的方程（m﹣2）x2﹣当m﹣2≠0时，∵关于x的方程（m﹣2）x2﹣∴△＝3﹣m﹣4（m﹣2）•解得：m≤x+x+1

＝0有一个实数根，45，21

≥0，41

＝0有实数根，4∴m的取值范围是m≤故选：C．5，27．关于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+m＝0根的情况是（A．有两个不相等的实数根C．没有实数根【答案】A【解析】由关于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+m＝0，得到a＝1，b＝﹣（m+2），c＝m，△＝（m+2）2﹣4m＝m2+4m+4﹣4m＝m2+4＞0，则方程有两个不相等的实数根，故选A．8．下列一元二次方程中，没有实数根的是（A．2x2+3＝0【答案】A【解析】A、△＝0﹣24＝﹣24＜0，即方程没有实数根，符合题意；B．x2＝2x）C．x2+4x﹣1＝0）B．有两个相等的实数根D．无法确定D．x2﹣8x+16＝0B、△＝4﹣0＝4＞0，方程有两个不相等的实数根，不符合题意；C、△＝16+4＝20＞0，方程有两个不相等的实数根，不符合题意；D、△＝64﹣64＝0，方程有两个相等的实数根，不符合题意，故选：A．9．欧几里得的《原本》记载，形如x2+ax＝b2的方程的图解法是：画Rt△ABC，使∠ACB＝90°，BC＝AC＝b，再在斜边AB上截取BD＝a

．则该方程的一个正根是（2a，2）A．AC的长【答案】B【解析】B．AD的长C．BC的长D．CD的长欧几里得的《原本》记载，形如x2+ax＝b2的方程的图解法是：画Rt△ABC，使∠ACB＝90°，BC＝a，2aa

设AD＝x，根据勾股定理得：（x+）2＝b2+（）2，22＝b，再在斜边AB上截取BD＝整理得：x2+ax＝b2，则该方程的一个正根是AD的长，故选：B．a

，AC210．若关于x的一元二次方程ax2+2x﹣5=0的两根中有且仅有一根在0和1之间（不含0和1），则a的取值范围是（）A．a＜3【答案】B【解析】试题分析：当x=0时，y=－5；当x=1时，y=a－3，函数与x轴在0和1之间有一个交点，则a－3＞0，解得：a＞3．考点：一元二次方程与函数11．一元二次方程x（x+5）＝x+5的解为_____．【答案】x1＝﹣5，x2＝1B．a＞3C．a＜﹣3D．a＞﹣3【解析】解：方程整理得：x（x+5）﹣（x+5）＝0，分解因式得：（x+5）（x﹣1）＝0，解得：x1＝﹣5，x2＝1，故答案为：x1＝﹣5，x2＝112．一元二次方程x2﹣3x﹣2＝0的两根为x1，x2，则x12+3x2+x1x2﹣2的值为_____．【答案】7【解析】解：∵一元二次方程x2﹣3x﹣2＝0的两根为x1，x2，∴x12＝3x1+2，x1x2＝﹣2，x1+x2＝3，∴x12+3x2+x1x2﹣2＝3x1+2＝3（x1+x2）+x1x2＝7，故答案为：7．13．若关于x的一元二次方程x2﹣3x+2+m＝0无实数根，则m的取值范围是_____．【答案】m【解析】解：根据题意得△＝（﹣3）2﹣4（2+m）＜0，解得m＞1

41．4故答案为m＞1．411

）x﹣（x12+x22）不经x1x2

14．已知x1，x2是一元二次方程x2+3x﹣6＝0的两个实数根，那么直线y＝（过第_____象限．【答案】二【解析】∵x1、x2是一元二次方程x2+3x﹣6＝0的两个实数根，∴x1+x2＝﹣3，x1•x2＝﹣6，111

，∴

x1x22x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝32﹣2×（﹣6）＝21，∴y═(

1112)x(x12x2)x21，x1x22∴该函数经过第一、三、四象限，不经过第二象限，故答案为：二．15．已知x=-1是关于x的一元二次方程x2+(m+1)x-m2=0的一个实数根,则m=_____.【答案】0或－1【解析】由题意可知：将x1代入方程x

2m 1xm20可得(1)2(m1)(1)m20整理可得：m2m0

m(m1)0，即m0或m1

故答案为：0或1

16．已知α、β是一元二次方程x2﹣2019x+1＝0的两实根，则代数式（α﹣2019）（β﹣2019）＝_____．【答案】1【解析】∵α、β是一元二次方程x2﹣2019x+1＝0的两实根，∴α2﹣2019α＝﹣1，β2﹣2019β＝﹣1，αβ＝1，∴（α﹣2019）（β﹣2019）＝αβ-2019（α+β）+20192＝1．故答案为：1．17．已知关于x的一元二次方程x2+kx﹣k﹣2＝0．（1）求证：无论k取何值时，方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的两根之和等于3，求k的值以及方程的两个根．【答案】（1）见解析；（2）x1＝【解析】（1）证明：因为△＝k2﹣4（﹣k﹣2）＝k2+4k+8＝（k+2）2+4＞0，所以方程有两个不相等的实数根．（2）由题意，得﹣k＝3，所以k＝﹣3．当k＝﹣3时，方程为x2﹣3x+1＝0．所以x1＝，x2＝．，x2＝．根的判别式，解题的关键：（1）正确掌握判别式公式，（2）正确掌握根与系数的关系公式．18．四川雅安地震牵动着全国人民的心，扬州市教育局开展了“一方有难，八方支援”赈灾捐款活动，第一天收到捐款10000元，第三天收到捐款14400元(1)如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增长率；(2)按照(1)中收到捐款的增长速度，第四天该单位能收到多少捐款？【答案】(1)捐款增长率为10%；(2)第四天该单位能收到13310元捐款．【解析】(1)设第二天、第三天的增长率为x，由题意，得10000(1+x)2＝12100，解得：x1＝0.1，x2＝﹣2.1(舍去)．则x＝0.1＝10%．答：捐款增长率为10%；(2)第四天收到的捐款为12100×(1+10%)＝13310(元)．答：第四天该单位能收到13310元捐款．19．解方程或不等式：（1）解方程：（2）解不等式【答案】（1）【解析】（1）解：；．；（2）（2）解：由①得由②得故，，20．关于x的一元二次方程x2﹣(2k﹣1)x+k2+1＝0有两个不相等的实数根x1，x2．(1)求实数k的取值范围；(2)若方程的两实数根x1，x2满足|x1|+|x2|＝x1•x2，求k的值．【答案】(1)k＜﹣【解析】3

；(2)-2．4解：(1)根据题意得△＝(2k﹣1)2﹣4(k2+1)＞0，解得k＜﹣3；4(2)x1+x2＝2k﹣1，x1x2＝k2+1，∵k＜﹣3，4∴x1+x2＝2k﹣1＜0，而x1x2＝k2+1＞0，∴x1＜0，x2＜0，∵|x1|+|x2|＝x1•x2，∴﹣(x1+x2)＝x1•x2，即﹣(2k﹣1)＝k2+1，整理得k2+2k＝0，解得k1＝0，k2＝﹣2，而k＜﹣3，4∴k＝﹣2．21．关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+1=0有两个不等实根x1，x2．（1）求实数k的取值范围；（2）若方程两实根x1，x2满足x1+x2=－x1x2，求k的值．【答案】（1）k>；（2）2.【解析】（1）∵原方程有两个不相等的实数根，∴△=（2k+1）2-4（k2+1）＞0，解得：k＞，即实数k的取值范围是k＞；（2）∵根据根与系数的关系得：x1+x2=-（2k+1），x1•x2=k2+1，又∵方程两实根x1、x2满足x1+x2=-x1•x2，∴-（2k+1）=-（k2+1），解得：k1=0，k2=2，∵k＞，∴k只能是2．22．已知关于x的一元二次方程求k的取值范围；若k为负整数，求此时方程的根．【答案】（【解析】(1)由题意得Δ＞0，即9－4(1－k)＞0，解得k＞.；（时，．有两个不相等的实数根．(2)若k为负整数，则k＝－1，原方程为x2－3x＋2＝0，解得x1＝1，x2＝2.