风险决策法建模

一 模型解释

风险决策是指根据多种不同状态可能发生的概率作出的决策。决策通常是在多种方案中进行选择，每种方案又有多种不以人的意志为转移的自然状态。风险决策的前提是各种自然状态发生的概率是可估的，因此，可计算出各方案在不同状态下的益损值。风险决策是根据决策目标，如收益最大或是损失最小等，在各方案中进行选择。适用于多选择的决策分析，如：广告投资，股票，基金，债券的多决策的方案的选择。

二 期望值决策法

根据不同方案、不同状态下的益损值，我们可以得到下列收益（损失）矩阵表：

表2.1 收益（损失）矩阵表 状态 概率 方 案 a1 a2 … … … … … qm1 qm2 … qmn am θ1 θ2 … θn P1 P2 … Pn q11 q12 … q1n q21 q22 … q2n1）当表2.1为收益矩阵表时，决策者将希望期望收益越大越好。所以假设期望最大，得到决策方案，模型如下：

Eaiqijpj i=1，……m （2.1）

j1n EaimaxEai i=1，……m （2.2）

1im式中，ai——各不同的方案

qij——第i种方案在第j种状态下的益损值 pj——处于j种状态的概率 Eai——第i种方案的期望值 Eai——最大收益期望值

2）当表2.1为损失矩阵表时，决策者将希望期望损失越小越好。所以假设期望最小，得到决策方案，模型如下：

Eaiqijpj i=1，……m

j1n EaiminEai i=1，……m （2.3）

1im式中，ai——各不同的方案

qij——第i种方案在第j种状态下的益损值 pj——处于j种状态的概率 Eai——第i种方案的期望值 Eai——最小损失期望值

3）2和3扩展

一般情况下，益损值是不确定的，它与某些因素有关，可能是决策者对风险的态度曲线，因此，在这种情况下，我们可以将对待风险态度曲线作为益损函数，然后根据以上的方案得到最大指标或是最小指标时的决策方案。 引例：彩票中的数学问题

彩民的心理变化曲线作为益损函数

益损函数与各状态下的概率的乘积的总和为指标

二 决策树法

以上的风险决策中解决的都是各决策之间是平行的情况。实际当中很多决策往往是多步决策问题，每走一步选择一个决策方法，下一步的决策取决于上一步的决策及其结果，因而是个多阶段决策问题。这类问题不好用决策表来表示，所以提出了决策数法来解决此问题。 1）名词解释

决策树——将有关的方案、状态、结果、益损值和概率等用由一些节点和边组成的类似于“树”的图形表示出来，它的基本组成部分包括：

·决策点——方形节点表示，从这类节点引出的边表示不同的决策方案，边下数字为进行该项决策时的费用支出。

·状态点——圆形节点表示，从这类节点因出的边表示不同的状态，边下的数字表示对应状态出现的概率

·结果点——有圆心的圆形节点表示，位于树的末梢处 ，并在这类节点旁注明各种结果的益损值。

引例： （见POWRPOINT统计决策）

某汽车配件厂拟安排明年某零部件的生产。该厂有两种方案可供选择：方案一是继续利用现有的设备生产，零部件的单位成本是0.6万元。方案二是对现有设备进行更新改造，以提高设备的效率。更新改造需要投资100万元（假定其全部摊入明年的成本），成功的概率是0.7。如果成功，零部件不含上述投资费用的单位成本可降至0.5万元；如果不成功，则仍用现有设备生产。另据预测，明年该厂某零部件的市场销售价格为1万元，其市场需求有两种可能：一是2000件，二是3000件，其概率分别为0.45和0.55。试问：（1）该厂应采用何种方案？（2）应选择何种批量组织生产？

1 分析：

这是一个两阶段决策问题，可以采用此模型。

2 模型的建立及求解 步骤一

根据题中给出的条件,画出决策树结构图

需求2000件（0.45） 750 200 生产3000件 6 需求3000件（0.55） 800 1200

3 需求2000件（0.45） 800 800 生产2000件 7 需求3000件（0.55） 800 方案一 需求2000件（0.45） 950 400 生产3000件 8 需求3000件（0.55） 875 950 1400

4 1 需求2000件（0.45） 900 成功(0.7) 900 方案二 生产2000件 9 875 需求3000件（0.55） 900

2 按方法I生产需求2000件（0.45） 100 失败(0.3) 650 3000 件 10 需求3000件（0.55） 700 1100

5 按方法I生产 需求2000件（0.45） 700 700 2000件 11 需求3000件（0.55） 700

图2.1 两阶段决策树图

步骤二

计算决策树最末端的条件收益值。 步骤三

利用各条件收益值和相应的概率分布，计算最右端各机会点的期望收益值。 步骤四

根据期望值准则，选出决策点3 、4 、5的最佳生产批量，并将最佳方案的期望收益值填在相应的决策点的上方。同时，剪除落选的方案枝。 步骤五

利用决策点4 、5的结果，计算机会点②的期望收益值。将其与方案一的期望收益值比较，按照期望值准则选择最佳方案。

计算机实现： 程序： 结果：

三 贝叶斯决策法（期望值法的改进）

通常决策者不愿冒很大风险选择获得期望收益值最大或是期望损失值最小的方案，但是也不愿轻易放过能活动最大收益的机会。因此，为了获得最大收益，又尽可能减少风险，总是希望捕捉更多的信息，以便随时掌握各种自然状态的变化情况，调整或选择更合理可靠的决策方案。而贝叶斯决策法就是利用贝叶斯公式解决这类问题的一种有效方法。

思路：将期望值法中的收益矩阵表中的状态概率利用贝叶斯公式进行修正，再利用期望值法解决决策问题。 适用范围：有大量的样本可供进行实验，能算出实际情况下的各状态的出现的频数。

模型（贝叶斯公式）如下：

pi/2'pip2'/ippii1n （3.1）

2'/i式中 pi——原来概率

p2'/i——条件概率 pip2'/i——联合概率 pi/2'——修正概率

参考文献：

[1] 胡运权 运筹学教程 北京 清华大学出版社 2002

[2] 齐小华 预测决策方法——在广告中的应用 北京 北京广播学院出版社