奥数 和差问题

例1． 小明在期末考试时，语文、数学两门功课的平均得分是95

分，数学比语文多得8分，小明这两门功课的成绩各是多少分？ 思路分析： 由题可知，如果语文成绩再加8分，那么语文，数学的成绩相同．这时总成绩也相应地增加了8分，也就是说，(95×2＋8)正好是数学成绩的2倍，除以2便可求出数学成绩．同样，如果数学成绩减去8分，那么两科成绩也相同，也就是说，在总成绩减去8后恰好是语文成绩的2倍，那么用(95×2－8)÷2便可求出语文成绩．

例题解答：

数学与语文两门得分之和为：95×2＝190 数学与语文得分之差是8． 数学得分＝(190＋8)÷2＝99， 语文得分＝(190－8)÷2＝91．

答：小明数学得了99分，语文得了91分． 方法指导：

已知大、小两数之和与大、小两数之差，求大、小两数的问题，我们称为和差问题．和差问题的基本计算公式是： 大数＝(和＋差)÷2

小数＝(和－差)÷2

例2． 数学兴趣小组有学生45人，男生比女生多3人，这个兴趣小组男、女生各有多少人？

思路分析：根据题意画线段图如下：

我们用假设法来分析，已知男生比女生多3人，假设女生增加3人，则总人数增加3人，变为45＋3＝48(人)，这时男生和女生人数同样多，也就是男生和女生各有48÷2＝24(人)，但女生中3人是假设增加的，必须减去3人，即女生有24－3＝21(人)． 男生：(45＋3)÷2＝24(人) 女生：24－3＝21(人)

也可以假设男生减少3人，则总人数减少3人，变为45－3＝42(人)，这时男生就和女生同样多，即男生和女生各有42÷2＝21(人)，而男生的人数假设比原来减少3人，因此，必须加上3人，即21＋3＝24(人)．

女生：(45－3)÷2＝21(人) 男生：21＋3＝24(人)

答：这个兴趣小组男生有24人，女生有21人． 方法指导：

解题时，可以假设小数增加到与大数同样多，先求出大数再求小数；也可以假设大数减少到与小数同样多，先求出小数再求大数． 和差问题的数量关系式： (和＋差)÷2＝大数 (和－差)÷2＝小数

例3． 甲、乙两个仓库共存大米80吨．如果从甲仓库调15吨大米

到乙仓库，两个仓库的大米正好相等．求原来两个仓库各有大米多少吨？

思路分析：这是一个和差问题，已知两个仓库大米吨数和为80吨，而它们的吨数的差没有直接给出．我们可以根据题意画出线段图．

从图中可以看出：甲仓比乙仓多2个15吨．甲仓库调出15吨到乙仓库，两仓库大米相等，那么甲、乙两仓库大米的吨数差为15×2＝30(吨)．再根据(和＋差)÷2＝大数，先求出甲仓库大米的吨数＝(80＋30)÷2＝55(吨)，再求出乙仓库大米的吨数：80－55＝25(吨)． 例题解答：

甲仓库大米的吨数： (80＋15×2)÷2＝55(吨) 乙仓库大米的吨数： 80－55＝25(吨)

答：甲仓库原有大米55吨，乙仓库原有大米25吨．

例4． 甲、乙两车共有乘客160人，从甲站经乙站开往丙站，在乙

站甲车增加17人，乙车减少23人，开往丙站时，两车乘客恰好相等，两车原有乘客各多少人？

思路分析：已知两车人数的和为160人，而两车人数的差没有直接告诉我们．我们可以根据题意，画出线段图，求出两车人数的差．

从图中可看出，甲车增加17人，乙车减少23人，两车人数相等．甲车没增加17人，乙车没减少23人之前，两车人数相差17＋23＝40(人)，根据和差问题的基本数量关系，可先求出乙车的人数，再求出甲车的人数． 例题解答： 乙车原来的人数：

(160＋17＋23)÷2＝100(人) 甲车原来的人数： 160－100＝60(人)

答：甲车原有60人，乙车原有100人．

例5． 小王、小张共买了20本书，如果小王给小张6本书，那么小王就比小张少2本书．问小王、小张各买了多少本书？

思路分析：已知两人书的总数为20本，关键在于求差．根据题意，画线段图如下：

从图中可以看出：“如果小王给小张6本书，那么小王就比小张少2本书”，也就是小王的本数减6等于小张的本数加6再减2，从而得出两人相差的书为6＋(6－2)＝10(本)．再根据和差问题的数量关系求出小王、小张原来各买的本数． 例题解答：

小王比小张多买了：

6＋(6－2)＝10(本) 小王买的本数： (10＋20)÷2＝15(本) 小张买的本数： 20－15＝5(本)

答：小王买书15本，小张买书5本．

例6．两个工程队共有工人230人，后来由于工作需要，从第一队

调走30人，从第二队调走10人，这时第一队比第二队还多10人，原来两队各有工人多少人？

例题解答：从线段图中可以看出：原来两队人数的和是230人，第一队比第二队多10＋30－10＝30(人)，这样可以利用和差问题的数量关系式求出原来两队人数． 例题解答：

原来第一队比第二队多 10＋30－10＝30(人) 第一队原来有

(230＋30)÷2＝130(人) 第二队原来有

(230－30)÷2＝100(人)

答：第一队原来有130人，第二队原来有100人．

例7． 甲、乙两人同时写字，8小时共写了7600个字，已知甲每小时比乙多写50个，问甲、乙两人每小时各写多少字？

思路分析：题目中没有直接告诉我们每小时两人共写字的和，已知两人8小时共写了7600个字，可以先求出每小时两人共写字7600÷8＝950(个)；题目中有“差”每小时甲比乙多写50个．这样利用和差问题的数量关系式求出甲、乙两人每小时各写的字数． 例题解答：

甲每小时写的字数：

(7600÷8＋50)÷2＝500(个) 乙每小时写的字数： 500－50＝450(个)

答：甲每小时写了500个字，乙每小时写了450个字．

例8． 师傅、徒弟两人合做零件2小时，共生产零件110个，如果

分别工作5小时，师傅比徒弟多生产25个．求师傅、徒弟每小时各做零件多少个？

思路分析：题目中没有直接告诉我们每小时师傅、徒弟两人所做零件个数的和与差．已知师傅、徒弟两人2小时合做零件110个，可以求出每小时师傅、徒弟两人所做零件个数和，即110÷2＝55(个)；又已知5小时师傅比徒弟多生产25个，可以求出师、徒两人每小时所做零件个数的差，即25÷5＝5(个)． 例题解答：

师徒两人每小时共做零件的个数： 110÷2＝55(个)

师徒两人每小时所做零件相差个数： 25÷5＝5(个)

师傅每小时做零件的个数： (55＋5)÷2＝30(个) 徒弟每小时做零件的个数： 30－5＝25(个)

答：师傅每小时做30个，徒弟每小时做25个．

例9． 一位少年短跑选手，顺风跑90米用了10秒钟，在同样的风速

下，逆风跑70米，也用了10秒钟．问：在无风的时候，他跑80米要用多少秒？

思路分析：：顺风的速度等于无风时的速度与风速之和，逆风的速度等于无风时的速度与风速的差．因此可以计算出无风时的速度． 例题解答：

顺风时每秒跑90÷10＝9(米) 逆风时每秒跑70÷10＝7(米) 无风时每秒跑(9＋7)÷2＝8(米) 无风时跑80米所需时间 80÷8＝10(秒)

答：在无风时，他跑80米要用10秒．

方法指导： 对于两个数的和差问题，解答的关键在于找出这两个数的和与差，若题目中没有直接告诉两数的和与差，需先求出两数的和或差，然后根据公式求出这两个数．

例10． 春蕾幼儿园买来49千克苹果分给大、中、小三个班，大班

比中班多分4千克，中班又比小班多分6千克，小班分得多少千

克？

思路分析：这题从两个数量扩展到3个数量．已知中班比小班多6千克，大班比中班多4千克，从图中可以看出：大班比小班多6＋4＝10(千克)，如果中班减少6千克，大班减少10千克，那么大班、中班、小班总千克数就要减少6＋10＝16(千克)，即49－(6＋4＋6)＝33(千克)，33千克相当于三个小班千克数的和，则小班分得的苹果千克数是33÷3＝11(千克)．

例题解答： (49－6－6－4)÷3 ＝11(千克)

答：小班分得苹果11千克．

例11． 新民小学三年级有甲、乙、丙三个班，已知甲、乙两班共

有学生87人，乙、丙两班共有学生90人，甲、丙两班共有学生93人．求甲、乙、丙三个班各有学生多少人？

思路分析：题目中的已知条件给出的都是“和”，没有给出“差”．但是，由“甲、丙两班共有学生93人”减去“乙、丙两班共有学生90人”，也就是甲、乙两班学生人数的差93－90＝3(人)． 甲班比乙班多93－90＝3(人) 例题解答： 甲班学生人数是： (87＋3)÷2＝45(人)

乙班学生人数是： 45－3＝42(人) 丙班学生人数是： 93－45＝48(人)

答：甲班有学生45人，乙班有学生42人，丙班有学生48人． 这题也可以按照甲、丙两班或乙、丙两班所组成的和差问题求解；还可以先求出三个班共有(87＋90＋93)÷2＝135(人)，再分别求出各班的学生人数．大家不妨试一试，看看结果是否相同． 方法指导：

对于三个或三个以上的数的和差问题，有的要确定标准，搞清总和相当于标准数的几倍；有的可以转化为两个数的和差问题来求解．