行列式典型例题资料讲解

行列式典型例题

第二讲 行列式综合训练

第一部分

例2.1计算行列式，其中对角线上元素都是 a,未写出的元素都是零.

a Dn =

1

O

1 a

解 这道题可以用多种方法进行求解，充分应用了行列式的各种性质.

方法1利用性质, 将行列式化为上二角行列

式.

1 C1Cn

a

1 n 1 n

)a =a - a a

Dn = =(a

方法2仍然是利用性质, 将行列式化为上二角行列式.

rn「1

cc

1

n

n n 2

=a - a

Dn =

方法3利用展开定理，将行列式化成对角行列式.

0

0

L

1 5展开

Dn

a a

n 1 O

+( 1)

a 0

a L

n 1 11 i

O O

a 0 n 1

1

最后列展开

(1)n1 1)2n1

Dn=a a - a

n 1

n 2 _ n n 2

=a - a

方法4利用公式

将最后一行逐行换到第

列，也共换了 n 2次. 2(n 2)

Dn = ( 1)

2行，共换了 n 2次；将最后一列逐列换到第2

- a

n n

=a

方法5利用公式

例2.2 计算n阶行列式:

a2 a2 b2 M

ai

a2

an an M an bn

ai, a2 ,L , an

Dn

(bQL bn

0)

解采用升阶（或加边） 法.该行列式的各行含有共同的元素 可在保持

,

原行列式值不变的情况下，增加一行一列，适当选择所增行（或列）的元素, 使得下一步化简后出现大量的零元素.

1 a1 a2 L an 1 a1 a2 L an

an 1 b1 0 L 0 r2 k 0 a b a2 L 11 升阶 r3 k

2 b2 Dn aa L an L「n 1「1 1 0 b2 L 1 0 0

M M M M M M M M

an bn 1 0 0 L bn 0 a1 a2 L

1 a1 L 01 a1

1

C1 — -Cj

bj 1 j 2,L n 1

b1

0 0 M 0

b1

a2 L an

b1 0 M M 0 0 L

M bn

这个题的特殊情形是

a1 x a1 a2

L

an an =x (x

a2 x L 1

Dn

M M

a1

a2

可作为公式记下来.

例2.3计算n阶行列式:

1 a1

1

D n

M

1

其中 aia?L an 0 .

解这道题有多种解法. 方法1化为上三角行列式

1 a ri i

Da1 n i 2,L ,n

M

a1

n

其中b 1

a1 a1

a1

i 2

a

方法2升阶（或加边）法

1

1 1 升阶

0 1 a-i 1 Dn

0 1

1 a2 M M M

0

1

1

aj

i 1

L

an

1

L 1 1 a2 L 1

M M

1

L 1 an

1 L 1

c

b

1 c

1 L a a. ——J j j

2

0 a

2

O

j 2,L ,n

M O

an 0 n

丄 a于是 Dn

a〔a2 L an

i

L 1 1 1 1

L

1 r

i 1

1 a 0

L

1 2 i 2,3,L ,n 1

1 0 aM M M M L

1 a n

1 0 0 1 an n

丄 ai

L 1 L

0 L 0 M L an

1 C1 —C j 1

1 aj

a

j

a1

a1a2L an

j 1,2,L ,n 1

a2

ai

an

方法3递推法.

Dn改写为

1 a1

1 L 1 0

D1

1 a2 L n

1 0

M

M

1

L

1 an

a

L 1 1 a1

1 拆开

1

1 1

1 a2

L

1

1 1

a2

M

M

M /+ I

M

M

1

L 1 1

1

a

L a1

1

1

由于 1

a2 L

1 r rn

a2

M

i 1L

M 3卫2

,n 1

L

L

1

1 1

L 1

0

a2 按Cn展开

M

an

Dn 1

an

因此 Dn = an 1为递推公式, D1

a1 于是

anDn Da〔a2L an 1 = a〔a2L an

n

n =an Dn 1

Da1a2L

an 1

an

= a-Dn2

—=L L an

iaa2

L

an

1a2 L an

an 1

= a1a2L an

aan =a1a2L a

n

2

ai

an

an 1

a2 an

1 x 1 x 2 x 3

2x 1

3x 2 ,证明存在 (0,1),使f ( ) 0 . 4x 3

.4 设 f(x)

1 1

因为f(x)是关于x的二次多项式多项式，在0,1上连续,(0,1)内可导,

1

f(0)

1 2

3

1 2 3

1

0, f(1)

1 1

0 1 2

1 1 0 1

1 1

由罗尔定理知，存在

例2.5 计算D =

(0,1),使 f ( ) 0.

1 a a a

2

1 c c c

2

b b

2

d d2

4 4 解这不是范得蒙行列式，但可借助求解范得蒙行列式进行求解. 4

b d4

方法1 借助于求解范得蒙行列式的技巧进行求解：从下向上，逐行操作.

a d 2 c 2 2 2 b c 5 一一 开b 开拆-- -- -- d d d d /V 2 /V bb 1 1 c

1 1 1 c

1 d

b b 3

d + a b

/V b 3 c d3 1 c b

b2 2 c d2 1 d b

1 1 c

3

1 d d

・

r

3 2 1

r2 bm

1 0 0

“ 2

其中

b b ・3

c c(c

・2、

b )

b

d(d b )

=

(C b)(d

1 1

)c(c b) d(d b) =(c b)(d b)[d(d b) c(c b)]

1 b2

1

1

1 1 1 c d

由于 b

c d 是范德蒙行列式，故 b

=(c b)(d

b)(d c)

2

c d2

b2 c2 d2

b)(d

D =(a b c d) (b a)(c a)(d a) (c

b)(d c)

方法2

c

2 q cc

3

1

1 a a a

2 4

0 0

b a b2 a b4 a 4

2

0 d a d

2 4

c a c c

2 4

C

4

a a

2 4

a

2 4

d a

ri展开

(b a)(c a)(d a)

2

b a (b a)(b

2

c a

a) (c

a)(c

2

2

d a

a) (d a )(d a)

2

(b a)(c a)(d

(b a)(c a)(d

b2 c2 其中 x (c b)(a2

D =(a b c d) (b

a)

b a (b2 a2)(b

a)

a)

ac bc

ab), y

(d b)(a2 b2

c)

c2 ad bd ab)

a)(c a)(d a) (c b)(d b)(d

=(a b c d) (a b)(a c)(a d) (b c)(b d)(c

方法3用升阶法•由于行列式中各列元素缺乏 3次幕的一

行元素，再添加一列构成5阶范得蒙行列式:

a b c d x

2 2 2 2 2

Ds = a bc dx

d)

3次幕的元素，在D中添加

a a

3 4

b

3 4

c

3 4

d

3

x

3

b c

4

d4 x

Ds按第5列展开得到的是 x的4次多项式，且 x3的系数为

A45 ( 1) D D

4 5

又利用计算范得蒙行列式的公式得

Ds = (b a)(c a)(d

a)(x

a) (c b)(d b)(d

b)(d b) (d b)(d

b)(x b) (d c) [(x c) [x

4

c)(x b)(x b c

c)(x d) c)(x d)] d)x

3

=(b a)(c a)(d a) (c =(b a)(c a)(d

a) (c

a )(x (a

L ]

其中 x3的系数为 (b a)(c a)(d a) (c b)(d b) (d

由x3的系数相等得:

c) (a b c d)

D =(a b c d) (b a)(c a)(d a) (c b)(d b)(d c)

例2.6

1 设 |A| 1

计算 A41 + A42 + A43 + A44 = ?其中 A4j(j= 1,2,

3, 4）是|A|中元素a4j的代数余子式.

解直接求代数余子式的和工作量大•可将

A42 A43 A44改写为

1 A41 1 几2 1 几3 1 AU，故

1

5 1 3 1 1 1

3 4 2 3 1 1

1 6 1 0 1 0 1 0

0 2 2 3 1 2 0 0

A41 + A42 + A43 + A44

1 1 1

=1)

4 1

6 0 2

0 2 3 =1 0 1 2

6 0 2 0 2 3

0 0 — 2 A 6

例2.7 求解方程:

11 1 1 x

f (x)

1 1

解方法1

1 1 MM M

1 L

(n 1) x

1 1 2 x L

L L

1 1

ri r1

1 1 0 X 0 0 M M 0 0

1

L

1

f(x)

i 2,L ,n

0 L 1 X L

0 0 M (n 2) x

=(1)n 1x(x 1) (x n 2)

M 0

L

由题设知

f(x) ( 1)n 1x(x

1) (x n 2)

0

所以 X1 0,X2

1, ,Xn 1

n 2是原方程的解.

方法2由题设知,当x 0,1,2, ,n 2时，由于行列式中有两列对应元素相 同,行列式值为零,因此f(x)可写成

f(x) Ax(x 1) (x n 2)

于是原方程f(x) Ax(x 1) (x n 2)

xi 0,X2

1, ,Xn! n 2

0的解为：

例2.8计算元素为aij = | i - j|的n阶行列式.

解方法1

由题设知，

0 1

1 0

a11

=0 , 12

a

1

,

L , a1n

n 1

,故

n 1 1

丄

0 1

L L

n 1 n 2

r

i

r 1

1 L 1 L

Dn

M n 1 n 2

O L

i n,n 1,L ,2

M 1

O 1 L

0

1

Cj c n j 1,L ,n 1

n 1 n 0 2 M O M 0 0

L L

L L

n 1 1 L

O ( 1)

n1n

2

?

(n 1)

0 2 L 0

1

其中第一步用的是从最后一行起，逐行减前一行•第二步用的每列加第 列.

n

0 1 0

L L

n 1 n 2 0 L L O

1

ri ri 1 i 1,2,L ,n 1

1 1 L

L

1 1 方法2 Dn

1 M n 1 O n 2 1

L

1 M n 1

O

n 2 L

0 c

j

q

1 M n 1

2n

j 2,L ,n

n 1n 21)2(n =(

1)

L

a2

例2.9计算行列式D

0 0

a1 c1 a

b

1

C2

0 0

d2 0

b2

0

解方法1按第一列展开:

a1

D a2 d1 b

0

1

0 0 b2

-d2

C

a1 d1

C

1

2

0

b1

=a2b2 a1 c1 -d2c2 a1 C1

0

a b1 d1

b1

0

=(a2b2_ d2c2)

a C d1 b1

=(a2b2- d2c2) (a1b1 -d1c1)

方法2本题也可利用拉普拉斯展开定理进行计算，选定第

(1)

2

2、3 行, 有:

(a2b2 d2c2)

a1 d1

a2 d2

tb

bn

(I dQ

N

例2.10计算D2n =

N

a-i b-i G d1

O

dn

，其中未写出的元素都是0.

A O

解方法1利用公式

O B

=AB

采用逐行操作，将最后一行逐行和上行进行对换，直到换到第

2行（作

2n 2次相邻对换）； 最后一列逐列和上列换, 换到第 2列（作2n 2次相邻对

换），得到

an bn

0 Cdn

0

n 0

0 an 1 bni

D2n=( 1严 n 2)

ai

Ci di

dn 1

=D2 D2(n 1) = (andn bnCn)

1)

=(andn

bnCn) (an

1d n 1 bn 1Cn 1 )

n

=L =(andn bnCn ) (an idn i

bmCnJL (ad 06)=

(aidi bcj

i 1

方法2利用行列式展开定理进行求解.

an 1

bn 1

片展开

ai

b1 °2n =

an

Ci

di

Cn 1

0

dn

an 1

bn 1

ai

b1

i)1

2n

Ci

di

C

n

上面第1个行列式是

的形式，而第 2个行列式按第1列展开,

D2(n 2)

所以

°2n 1 1

2n = andnD

2n 2

05( 1)

D2n 2 n

= (andn 65)D2(n 1) =L =

©di

bjG)

i 1

1 a a

0 0 0

1 1 a a 0 0 例2.11计算D5

0

1

1 a

a 0 0 0 1 1 a a

0 0 0

1 1 a

解方法

1采用递推的方法进行求解.

1

a 0 0 0 0 C1 C2 L C5

0 1 a

a

0

D5

0 1 1 a

a 0

0

0 1 1 a a

a

0

0

1 1 a

1 a a

0

0 a

C1展开

1

1 a

a

0 5 1 1 a

0 1 1 a a + ( a)( 1)

1

1 a

0

0

1

0

DD5 1

4

5 4 ( a)( 1) a ,

D4 D3 ( a)( 1)41a3 D3

D31

2

2 ( a)(

1) a ,

D2

1 a

a2

2 5

D3

4

5 1 a a

a a a

方法2采用降阶的方法进行求解.

0 1 a a A 2

a

2

a

0

0

1 1 a

片(1 a)ra 2

0 0

D5

0 1

1 a

a 0

0 0 1 1 a

a

0

0

0

1 1 a

0 0 1 2

3

2 3 a

a

a

a a a

2

1 1 a

H (1 a a )r

a

a

0

0 1 1 a a

0 0 1

1 a

0

0

0

1

0 a

1

c

0 0 0 a 1 a

0 0 0

0

a 0 a

1 a 1 a

r1 (1 a a2 a3) 14

0

0

0

0

1 a

a a a 1 a 0

2

3

4

0

n (1 a a2

a 0

a 1 a

5

a3 a4)^

1 0 1 a 0 a 1 0

1 a a 0 0 0 0 1 1

0 0 1 1 a 0

0

0

1

0

a 1 a

例2.12证明

片展开

=(1 a

a a

an

an 1

23

a

an 2 K

4

a ) ( 1) ( 1) =1 a a

5 51 4

a1X

n 1

2

a a a

345

an 1 x an

x a1

证方法1递推法 按第1列展开，有

1 X

Dn= X Dn1+ (- 1) n1an

=x D n 1+ an

x 1

由于D1 = x + a1， D2

a2 x ai

，于是

(x Dn 2+an 1)+ an=x Dn 2+ a.1X + an

n 2 .

2

Dn = x D n 1+ an =x

n 1

n 1

1

=L = x D+ a2x +

an =x aX L

an 1X an

n 1 1

+ an 1x +

. .

方法2第2列的x倍，第3列的X2倍,

，第n列的xn 1倍分别加到第1

列上

0 2 X 1 X 0 1 K K 0 0 q XC2

Dn

0 0 X K 0 M

M M

M

an

xan 1

an 1

an 2

K

x ai

Ci X2C3

0 M

M

M

M

2

an Xan 1 X an 2

an 1

an 2

an 3 K

0 1

1 =L L = X 1

X 1

O O

1)n 1

X

O

其中 f an

an 1X L a1Xn 1 xn

0

1 0 K

0 0 C1 XC2 X2C3 K Xn 1Cn

0 X 1 K

0 0 或Dn

M M M

M

M 0 0 0

K

x 1 a2 x

f

an 1

an 2 K

a1

n 1 n

按C1展开

1

(

1)n 1

X

=(1) f ( 1) n 1 =f

O O

X

其中 f an an 1X L a1X x

方法3利用性质，将行列式化为上三角行列式.

X

0 K C2 _q

X 0 0 K C-C 1 2 3 X 0 x K L

M

M

x

an 1 an 1

On

an 2

an

2

0 0

M

X a1O O

X

n 1

0 0 0 M

=f

x kn

n11

an

(

an 1

+——-+ + +a X

n 2 〔 +x)

x

=a

an iX L

a-n 1 n

|X x

1 0 K

0 0 按咕展开

方法4

Dn (

1)n 1an 1 X 1 K 0 0 n

M M M M +

0

0 K

X 1

X

0 K 0 0

X 1 K 0 1 K

0 0

,

.、2n 1

0

X K

(1) a

n 2

n 1

a M M

M M

+

+

( 1)

2

M M

0 0

K

X

1 0

0 K

X

1 K 0 0

X K

0 0

+ ( 1)2n

(a0

1

X)

M M

M

1

0

0 L 0 X

=(-1) n1

(- 1) n1

an+ (- 1) n 2

(-1)

n 2

an 1X

+ + (- 1)

2n 1

(-1) a2xn 2 +

(-1)

2 n

(an

1 +x) x

an an 1X

n 1 n

a1X X

例2.13计算n阶“三对角”行列式

1

0

K 0 0

D n = 0

K 0 0

M 1 +

K 0

0

0 M

M M M

解方法1递推法.

0

K

0

1

按C［展

开D

0 K 0

0

n

(

)D n 1

—

0

1 K 0 0

M M M M

M

按片展开

0

0 0 K 1

(

)D n 1 —

D n 2

即有递推关系式

Dn = ( )Dn 1 - Dn 2 (n 3)

0 0 0 0

M M 0

1

(n 1)

Dn Dn 1

—

Dn 1

(Dn 1 Dn 2)

递推得到 而Di ( Dn

Dn2) —(Dn 2 Dn 3)

2

2

(D2 D1)

D2 — 代入上式得

a+

Dn Dn

Dn

Dn

由递推公式得

Dn

Dn 1

a2 D

n1

+

n 1 n 1

卩 _a

B— a 当

n 1

当 ■—当 (n 1) ,

a a—

方法2把 D n按第1列拆成2个n阶行列式

0

K

0

0 1

1

K 0 0

Dn

0 1 + K 0

0 + 0

1 M

M M M M

M

M

0

0 0 K

1

0

0

0

0

上式右端第一个行列式等于

a Dn

1 ?

而第二个行列式

0 K

0

0

1

K

0

0

0

K ca

1

1

0

0

i

q 1

M

i 2,L ,n

0

M

M

M M 0

0 0 K

M

0 0

0

K

1

0

于是得递推公式 Dn

n Dn 1

已与 (2.1)式相同.

(2.1)

0

M

0

0

0

0 K

0 K

1

K

M

M

0

0 K

0

0 0 M

1

0 0

0 0

0 0

M M

1

0

0 0 M n

K

K K K K

方法3在方法1中得递推公式

又因为当

Di =

D2 =(

)2

D3

=()3-2

)(

n 1

2

)=

—，下面用数学归纳法证明. 于是猜想Dn

当n=1时，等式成立，假设当n k时成立. 当n=k+1是，由递推公式得

D k 1 = (

) D k — D k 1

k 1

k 1

k

k

k 2

k 2

=(

所以对于n N，等式都成立.

) -------------------- ---------------- = ----------------

第二部分

这一部分的题是与矩阵、向量、特征值等后续内容有关的题，感觉困难的 同学可以放到相关内容学习后再看.但应注意考研题中关于行列式内容的出题 往往与后续内容联系较多.

A1

例2.14设A为3X3矩阵,|A| =— 2,把A按行分块为A A?,其中

A3

A 2Ai

A(i 1,2,3)是A的第i行，则行列式

2A?

______

A3 2A 2A

A3 2A 2 A

A3

A A3

解

=2 A =2 A

A1 A1

A

Ai

(1)若A，B是可乘矩阵，则 AB |AB

2| A| 4

⑵若A，B均为n阶方阵，则A B A B

例2.15判断题

解 ⑴错误，因为A，B不一定是方阵，即不一定有对应的行列式. ⑵错误，例如取A ，B

0 3

3 0

例2.16证明:奇数阶反对称矩阵的行列式为零 证 AT

代 | A| | AT | | A| ( 1)n | A| |A|(n 为奇数).所以 |A| = 0.

k 1 1 1 1 k 1 1

例2.17 (数四，01, 3分)设矩阵A

k 1 1 1 1 1 1 k 1 1 k 1 解由于A =(k 3) 1 1 1 k 1 1 k 1 1 1 111k =(k 3)( k 1)1 1 1 1

rrL r

1 2

1 k

=(k 3)

4

1 1 k 1

1 1 1 k

k3k3k3k3 1 1 1 1 1 k 1 k 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 k 1 k 0 1 k 1 0 111k 0

，且秩R( A) 3,则

由R(A) 3,知A=0,而k 1时，R(A) 1,故必有k

例2.18若A, B , C均为3阶可逆方阵，A

2，计算

2C 1(ATB 1)2C .

2C (A B ) C

1 T 1 2

3 亠 1|| T 1 2 =2 C A B =3訥 AT

2

C 2

=23 A

=2

例2.19设3阶方阵 A, B满足方程A2B

E，试求矩阵B以及行

列式B，其中A

解由A2B A

E，得(A2

E)B

E)B ，即

(A E)(A

由于 18

1

(A E) (A

1E) (A

E) (A 1/2 0 0

E)1

所以IBI

1/2

例2.20设A为3阶方阵,

A =2,

1 (-A)

1

3A

的值.

解方法1化为关于A的形式进行计算.

*

利用公式(A)

1 1

n1

A |A 有 , A IAA ,

1

*

--1 - - *

3A = 2A 3A

*

= 2厂3A

IAI

Q *

A

*

*

= A

2

3A

*

2A =( 2) A =( 2) A = 32

3

Q

3

方法2化为关于A1的形式计算.

11^A , A* AA , 利用公式（A）

1

，有

GA

)

1

3A* = 2A

1

3 AA

1

4A =( 4) A=

1

3

32

例2.21 （数四, 98, 3分）设A, B均为n阶方阵, A =2 , B =-3，求

2A*B 1的值.

解 2A B 1 =2n 例2.22若

=2 A -B=22

nn1nn

?2n 1 3

2

都是4维列向量, 且4阶行列式

，禾I」用行列式的性质解如果行列式的列向量组为 1, 2,

3>

n

，则此行列式可表示为

1， 2，

2>

3， 2，

1 ,

2， 3， 1

+

1 , 2， 2， 3

=n m

例2.23计算行列式| A| B|,

1 A

1 M 1 1 x

2 2 M 2 x 2

O A B O

，其中

1 0 L 0 2 L M M

L L L L

n 1 (n 1) x

M n 1 n 1

n x n

M ,B n n

0 0 M n 1 0

0 0 M 0 n

0 0 L 0 0 L

12

, 2, 3 n ,

1

, 2, 3, 1 m，计算 4 阶行列式

3

, 2, 1, 1

2

的值.

1 1 M 1 1 x

2 2 M 2 x 2

L n 1

n x

|A| =

L (n 1) x

M L L

n 1 n 1

n M n n

1

1 2 L

n 1

n x

2 L

n 1

n(n 1) X

ri 11

0 0 L

x

x cn Cj

0

0 L

i 2,L ,n

M M

M

M

j 1,L ,n 1

0 x L

M

M

0

x

x 0 L

0

x

0

x L

x 0 L

这是逆对角的上三角行列式，所以

n(n 1) 1)

2

(n(n 1) 2

x)xn

n(n 1) n!，故

-2- n (

n(n 2

1

) 1n 1 (

2

x)n!x

这里用了公式：若 A为m阶方阵，B为n阶方阵,

=(1)mn AB .

例2.24若A为n阶方阵，E为单位矩阵，满足AA E， A

解方法1由AAT E有

A E = A AAT = A(E

AT) = A(E A)

=A (E A)T

即(1 A) A E =0，而(1 A) 0,所以 A

E =0.

方法2因为

(A E)AT = AAT AT = E AT =

A E||A = A E

有(1 A) A E =0,而(1 A) 0,所以 A E =0.

2 x

0 M

M 0

0 0

0

0，求

方法3由AA E知矩阵A为正交矩阵，即AAT=1, |A2=1,又因为

A 0,所以有A 1,故

A E = A E A II = E AT = E A

即 2 A E =0， A E =0.

例2.25若A为n阶正定矩阵，E为n阶单位矩阵，证明A E的行列式大 于1.

证 方法1因为A为正定矩阵，因此所有的特征值大于零.设 征值为i 1,i 1,2,L ,n，且i 0,由特征值的性质知，A E的n个特征值为

i

A的n个特

1,i

1,2,L ,n，于是(1 1)L ( n 1) 1 .

方法2因为正定矩阵是对称矩阵, 因此 A可对角阵，且所有的特征值大于

零，故存在可逆阵P有

P 1AP

0,i

1,2,L , n )

例2.26设A

=(

1)L

1)

解利用特征值法进行求解，即利用公式 A

1 2L

PP 1 = P

1 a 1 1 L 2 2 a 2 L

A

1

2

M n

M n

M

M

n L n i a

1 0 L 0 0 L

0 0

1 1 2 2 a

M n

1 L 2 L

1 2 M n a

=a M M

M + M

M n L

0 0 L

0 n 1 L 2 L

1 1 2 2

1 2

=L =aE

M M M

M n

n n n L

1 1 1 L 2 2 2 L

1

2 的秩为 1, 由第十三讲的注意( 7)知它特征值为

矩阵 ________

M M M M n n n L n

an a?2

n(n1)L ann = 2 ,

2 3

L n=0

所以A特征值为a

n(^ 1),a,L ,a，故A = [a

n(n 2