点集拓扑学考试题目及答案

二、辨析题（每题5分，共25分，正确的说明理由， 错误的给出反例）

1、 拓扑空间中有限集没有聚点。

答：这个说法是错误的。

反例：x = abQ，规定拓扑 ，%,⑨，则当

A = ：a 1时，匕和都是A的聚点。因为b和

C的领域只有

X 一个，它包含a，a不是A的聚点，因为A '。

2、 欧式直线E1是紧致空间。

答：这个说法是错误的。

反例：对E1而言，有开覆盖」1-n,n|n Z ］而 对于该开覆盖没有有限子覆盖。

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3、 如果乘积空间X Y道路连通，则X和Y都是道路 连通

空间。

答：这个说法是正确的。

证明：对于投射有RX Y = X , P2 X Y=Y，由 投射是连续的，又知X Y是道路连通，从而像也是道 路连通空间，所以X和Y都是道路连通空间。

4、 单位闭区间I与S1不同胚。

答：这个说法是正确的。

下面用反证法证明，反设I与S1同胚，则 f|2 {1；：2

{pTS1 {f茁也是同胚映射，I石不连通，则 S1 {2}不连通，故矛

盾，所以单位闭区间I与S1不同胚。

5、 紧致性具有可遗传性质。

答：这个说法是错误的。

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反例：Q11紧致但0,1不紧致。 三、证明题（每题10分，共50分）

x x v. 0

1、 规定f ：E1 f0,1h E1为f（x）补x才，证明f是连 续映

射，但不是同胚映射。

证明：由于f在,0与1「：上连续，由粘接引 理，f连续。但f _1不连续，如,0是E1 0,1的闭集， 但 f 一1 一1 - 二,0 = f -

所以f不是同胚映射。

,0 = - ,0 不是 E1 的闭集，

2、 证明：Hausdorff空间的子空间也是Hausdorff空间。

证明：设X是Hausdorff空间，丫是X的任一子空间， 需证丫 是 Hausdorff 空间。-x,y Y，由 X 是 Hausdorff 空 间，所以存在x,y在X的开邻域U、V使得U・V八， U -

丫是x在丫中开邻域，V 丫是y在丫中开邻域， （UCY）C

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（VCY）=UC VCY = ©，故 丫 是 Hausdorff 空 间。

3、 证明：从紧致空间到Hausdorff空间的连续双射是同 证

明：要证明f'：Y，X连续，只需证f是闭映射， 设A是X的闭子集紧致，所以A是紧致的。又因为紧 致空间在连续映射下的像也紧致，所以 f A是丫的紧 致子集，又由于

Hausdorff空间的紧致子集是闭集，所 以f A是丫的闭集。

4、 设X。是X的既开又闭的子集，A是X的连通子集， 则

或者A X。八或者A X。。

证明：A X。是A的既开又闭的子集，由于 A连通， 贝U或者A X。八或者A X。= A即A X。。

5、 证明：道路连通性具有可乘性质。

证明：设x°,y。是Xi,%是X 丫中两点，X和丫都是道 路连通，则有X中道路a，以X。/为起始点，又有Y中 道路

b，以y。’％为起始点，作X 丫中道路c为： c（t）=（a

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（t ,b（t）），VI，则 c 连接（X°,y。）和（知％），所以

道路连通性具有可乘性质。

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