第５０卷第５期 吉林大学学报（理学版） Ｖｏ１．５０ Ｎｏ．５ ２０１２年９月 Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｊｉｌｉｎ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｓｃｉｅｎｃｅ Ｅｄｉｔｉｏｎ） Ｓｅｐ ２０１２ 研究快报 一类椭圆方程解的存在性 万保成，李健，李士军 （吉林农业大学信息技术学院，长春１３０１１８） 摘要：研究一类拟线性椭圆方程非平凡解的存在性．利用非线性项在零点处与无穷远处的渐 近性态，应用山路定理得到了该类方程解的新的存在性结果． 关键词：存在性；非平凡解；拟线性椭圆方程；山路定理 中图分类号：Ｏ１７５．２５ 文献标志码：Ａ 文章编号：１６７１．５４８９（２０１２）０５－０９４９－０２ Ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ ｏｆ Ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｏｆ Ｓｏｍｅ Ｅｌｌｉｐｔｉｃ Ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ＷＡＮ Ｂａｏ－ｃｈｅｎｇ，ＬＩ Ｊｉａｎ，ＬＩ Ｓｈｉ－ｊｕｎ （Ｃｏｌｌｅｇｅ ｏｆＩｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｊｉｌｉｎ Ａｇｒｉｃｕｌｔｕｒａｌ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｃｈａｎｇｃｈｕｎ １３０１１８，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｗｅ ｉｎｖｅｓｔｉｇａｔｅｄ ｔｈｅ ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ ｏｆ ｎｏｎｔｒｉｖｉａｌ ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ ｏｆ ｓｏｍｅ ｑｕａｓｉｌｉｎｅａｒ ｅｌｌｉｐｔｉｃ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ，ｏｂｔａｉｎｉｎｇ ａ ｎｅｗ ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ ｒｅｓｕｌｔ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｂｙ ａｐｐｌｙｉｎｇ ｔｈｅ ｍｏｕｎｔａｉｎ ｐａｓｓ ｔｈｅｏｒｅｍ ｕｎｄｅｒ ａｓｙｍｐｔｏｔｉｃ ｂｅｈａｖｉｏｒ ｏｆ ｔｈｅ ｎｏｎｌｉｎｅａｒｉｔｙ ａｔ ｚｅｒｏ ａｎｄ ａｔ ｉｎｆｉｎｉｔｙ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ；ｎｏｎｔｒｉｖｉａｌ ｓｏｌｕｔｉｏｎ；ｑｕａｓｉｌｉｎｅａｒ ｅｌｌｉｐｔｉｃ ｅｑｕａｔｉｏｎ；ｍｏｕｎｔａｉｎ ｐａｓｓ ｔｈｅｏｒｅｍ 考虑如下拟线性椭圆Ｄｉｒｉｃｈｌｅｔ边值问题： 『一△Ｐ ＝厂（ ， ）， ∈力， ／１、 Ｉ ：０， ∈Ｍ２， 其中：△。Ｍ＝ｄｉｖ（１ “ “）， ｃ （Ｎ≥２）是一个具光滑边界ａ 的有界域；１＜Ｐ＜＋∞； ‘ ＿ ｆＥ Ｇ（ ＸＲ，Ｒ）． 目前，与ｐ－Ｌａｐｌａｃｅ算子△ 相关的非线性问题已取得许多研究结果ｌ１－７］．许多实际问题，如非牛顿 流体、人口动力学等问题所对应的微分方程都与ｐ－Ｌａｐｌａｃｅ算子△。有关 引．由Ｌｊｕｓｔｅｒｎｉｋ—Ｓｃｈｎｉｒｅｌｍａｎ 理论，（一△ ， （ ））有一列变分的特征值０＜Ａ ＜Ａ ≤Ａ，≤…≤Ａ ｋ一＋∞．特别地，主特征值Ａ１是 正的、孤立的、简单的，并且Ａ －特征函数 ，满足 ∈Ｃ（ ）， （ ）＞０，Ｖ ∈ ．应用变分法， 文献［４］结合非线性项在无穷远处的渐近性态，并在如下条件下得到了问题（１）非平凡解的存在性： （Ｈ１）存在Ｃ＞０和ｑ∈（Ｐ，Ｐ ）（如果１＜ｐ＜Ｎ，则ｐ ＝Ｎｐ／（Ｎ－ｐ）；如果Ｐ≥Ⅳ，则ｐ ＝＋∞），使得 １．厂（ ，ｓ）ｌ≤Ｃ（１＋ｌ ｓ ｌ ）， Ｖ ∈力， Ｖ ｓ∈Ｒ； （Ｈ２）存在６＞０和 ∈（０，Ａ ），使得ｐＦ（ｘ，ｓ）＜＜－Ｉｘ｛５ Ｉ ，Ｖｘ Ｅ ， ≤６，其中Ｆ（ｘ， ）＝【 ，ｓ） ． 事实上，文献［４］在非线性项超线性增长时结合Ａｍｂｒｏｓｅｔｔｉ—Ｒａｂｉｎｏｗｉｔｚ（ＡＲ）条件或在渐近线性增 长且在无穷远处关于 的共振条件满足时分别得到了一个非平凡解．文献［５－６］在非线性项满足超线 性增长但（ＡＲ）条件不满足的情形下，结合非线性项在零点处的渐近性态，得到了问题（１）非平凡解的 存在性． 收稿日期：２０１２４３７－２７． 作者简介：万保成（１９７７一），男，汉族，硕士，讲师，从事微分方程和图像处理的研究，Ｅ－ｍａｉｌ：ｗａｎｂａｏｃｈｅｎｇ＠１６３．ｔｏｍ．通讯作者 李健（１９８１一），男，汉族，博士研究生，讲师，从事空间推理和微分方程的研究，Ｅ－ｍａｉｌ：ｌｉｅｍｐｅｒｏｒ＠１６３．ｔｏｍ． 基金项目：吉林省自然科学基金（批准号：２０１０１５２１）和吉林省青年科研基金（批准号：２０１２０１０９５）． ９５０ 吉林大学学报（理学版） 第５Ｏ卷 ｒ｝１ １ｊ定理１假设厂∈ｃ（ｈ×Ｒ，Ｒ）满足（Ｈ ），（Ｈ：），且如下条件成立： （Ｈ ）ｌｉｒａ Ｇ（ ，ｓ）＝＋∞关于 ∈ 一致成立； （Ｈ ）ｊ Ｊ，７１，叼２∈（Ａ１，＋∞），使得叼ｌ≤ｌｉ ｍ ｉｎｆ ￣ｌｉ ｍｓｕ ｐ ≤ ：关于 ∈ 一致成立． ．＋则问题（１）至少存在一个非平凡弱解 ∈ ０（力）． 定义泛函．，： （ ） Ｒ为－，（“） 寺 Ｉ Ｖｕ Ｉ 一 Ｆ（ ， ） ，Ｙ ｕ∈ （ ）・显然， Ｊ∈Ｃ （ （ ），Ｒ）．由假设（Ｈ ），（Ｈ：），（Ｈ ）易知泛函．，具有山路几何，即有： 引理１ １）存在ｒ，６＞ｏ，使得对所有满足ｌ ｌｕ ｌＩ＝ｒ的 ∈ （ ），有Ｊ（ｕ）≥ ； ２）当ｆ－＋＋∞时，ｌ，（ １）＿一∞． 引理２在定理１的假设下，函数．，满足（Ｃ） 条件． 证明：假设｛Ｍ ｝ Ｃ （ ）为（ｃ） 序列，即 Ｊ（“ ）一Ｃ∈Ｒ， （１＋Ｉｌ／．Ｚ ｌ１）ＩＩ．， （Ｕ ）ｌＪ一０，ｎ一＋。。． （２） 由标准的讨论，只需证明｛ｕ ｝在 （力）中一致有界．利用反证法，若不然，假设Ｉ ｌｌＩ一＋∞， ｎ一＋∞．由式（２）知，存在Ｍ２＞０，使得 ≥ｌｉｍ ｉｎｆ［ｐＪ（ ）一（．， （ｕ ）， ）］≥ｌｉｍ ｉｎｆｆ ［ ，ｕ ）Ｍ 一ｐＦ（ｘ， ）］ｄｘ． （３） 由（Ｈ ）知，对任意的∈＞０，存在Ｍ３＞０，使得 ｝Ｉ ｕ ＝ｐ．，（ ）＋Ｐ Ｊ Ｆ（ ，Ｍ ）ｄｘ≤Ｐ（ｃ＋１）＋（ ＋Ｅ） Ｉ：＋ｐ Ｉ力１． （４） 令Ｗ ＝ｕｎ／ｌ ｌｕ ，则存在｛Ｗ ｝的子列（不妨仍记为｛Ｗ ｝）及Ｗ。∈Ｗｏ （ ），使得Ｗ 一Ｗ。，并且 Ｗ （ ）一 。（ ）ａ．ｅ． ∈力．由式（４）可得１≤（叩＋Ｅ）Ｉ Ｗ。 因此，存在 的正测度子集 ，使得 Ｗ０（ ）≠０ ａ－ｅ． ∈ ．从而对ａ．ｅ． ∈ ，有Ｉ ｕ （ ）ｌ一∞（ｎ＿＋ｏ。）．由（Ｈ３）和Ｆａｔｏｕ引理可得 ｌｉｍ ｉｎｆＬ［ ，“ ）ｕ 一ｐＦ（ ，“ ）］ｄｘ＝＋∞，这与式（３）矛盾．因此｛ ｝在 （ ）中有界．从而存在 。∈ （ ），使得当乃 ∞时，Ｉ ｌｌｌ—Ｉ ｌｌ１． 由引理１与引理２，并应用推广形式的山路定理 ｊ，即可完成定理１的证明． 注１在已有的结果中，通常要求比率 （ ，ｓ）／ｌ ｓ ｌ在无穷远处满足超线性增长 ，或者满足 在某个特征值，如Ａ，处满足共振条件时，结合零点处的渐近性态得到非平凡解的存在性＿４ Ｊ．本文研究 比率ｐＦ（ｘ，ｓ）／ 在无穷远处满足至多线性增长但可以跨越多个特征值时非平凡解的存在性． 参考文献 Ａｎｄｒｅｕ Ｆ，Ｍａｚ６ｎ Ｊ Ｍ，Ｒｏｓｓｉ Ｊ Ｄ，ｅｔ ａ１．Ａ Ｎｏｎｌｏｃａｌ Ｐ—Ｌａｐｌａｃｉａｎ Ｅｖｏｌｕｔｉｏｎ Ｅｑｕａｔｉｏｎ ｗｉｔｈ Ｎｅｕｍａｎｎ Ｂｏｕｎｄａｒｙ Ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ ［Ｊ］．Ｊ Ｍａｔｈ Ｐｕｒｅｓ Ａｐｐｌ，２００８，９０（２）：２０１—２２７． Ｍａｓｈｉｙｅｖ Ｒ Ａ，Ａｌｉｓｏｙ Ｇ，Ｏｇｒａｓ Ｓ．Ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ ｔｏ Ｓｅｍｉｌｉｎｅａｒ Ｐ－Ｌａｐｌａｃｉａｎ Ｄｉｒｉｃｈｌｅｔ Ｐｒｏｂｌｅｍ ｉｎ Ｐｏｐｕｌａｔｉｏｎ Ｄｙｎａｍｉｃｓ［Ｊ］． Ａｐｐｌ Ｍａｔｈ ａｎｄ Ｍｅｃｈ，２０１０，３１（２）：２４７－２５４． Ｄｒ￣ｔｂｅｋ Ｐ，Ｒｏｂｉｎｓｏｎ Ｓ Ｂ．Ｒｅｓｏｎａｎｃｅ Ｐｒｏｂｌｅｍｓ ｆｏｒ ｔｈｅＰ—Ｌａｐｌａｃｉａｎ［Ｊ］．Ｊ ｏｆＦｕｎｃ Ａｎａｌ，１９９９，１６９（１）：１８９－２００． ＪＩＵ Ｑｕａｎ－ｓｅｎ，ＳＵ Ｊｉａ－ｂａｏ．Ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ ａｎｄ Ｍｕｌｔｉｐｌｉｃｉｔｙ Ｒｅｓｕｌｔｓ ｆｏｒ Ｄｉｒｉｃｈｌｅｔ Ｐｒｏｂｌｅｍｓ ｗｉｔｈ Ｐ—Ｌａｐｌａｃｉａｎ［Ｊ］．Ｊ ｏｆ Ｍａｔｈ Ａｎａｌ ａｎｄ Ａｐｐ１，２００３，２８１（２）：５８７－６０１． ＦＡＮＧ Ｆｅｉ，ＬＩＵ Ｓｈｉ—ｂｏ．Ｎｏｎｔｒｉｖｉｌａ Ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ ｏｆ Ｓｕｐｅｒｌｉｎｅａｒ ｐ－Ｌａｐｌａｃｉａｎ Ｅｑｕａｔｉｏｎｓ［Ｊ］．Ｊ ｏｆ Ｍａｔｈ Ａｎａｌ ａｎｄ Ａｐｐｌ，２００９， ３５１（１）：１３８—１４６． ＬＩＵ Ｓｈｉ．ｂｏ．Ｏｎ Ｓｕｐｅｒｌｉｎｅａｒ Ｐｒｏｂｌｅｍｓ ｗｉｔｈｏｕｔ ｔｈｅ Ａｍｂｒｏｓｅｔｔｉ ａｎｄ Ｒａｂｉｎｏｗｉｔｚ Ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ［Ｊ］．Ｎｏｎｌｉｎｅａｒ Ａｎａｌｙｓｉｓ： Ｔｈｅｏｒｙ，Ｍｅｔｈｏｄｓ＆Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ，２０１０，７３（３）：７８８－７９５． ＯＵ Ｚｅｎｇ－ｑｉ，ＬＩ Ｃｈｕｎ．Ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ ｏｆ Ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ ｆｏｒ Ｄｉｒｉｃｈｌｅｔ Ｐｒｏｂｌｅｍｓ ｗｉｔｈ ｐ－Ｌａｐｌａｃｉａｎ［Ｊ］．Ｎｏｎｌｉｎｅａｒ Ａｎａｌｙｓｉｓ：Ｔｈｅｏｒｙ， Ｍｅｔｈｏｄｓ＆Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ，２０１２，７５（１３）：４９１４－４９１９． Ｓｃｈｅｃｈｔｅｒ Ｍ．Ａ Ｖａｒｉａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ Ｍｏｕｎｔａｉｎ Ｐａｓｓ Ｌｅｍｍａ ａｎｄ Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ［Ｊ］．Ｊ Ｌｏｎｄｏｎ Ｍａｔｈ Ｓｏｃ，１９９１，４４（３）： ４９１－５０２． （责任编辑：赵立芹）
