一、选择题 1．式子A．x＞1
有意义，则x的取值范围是（ ）
B．x＜1
C．x≥1
D．x≤1
2．下列二次根式是最简二次根式的是（ ） A．
B．
C．
D．
3．下列计算正确的是（ ） A．C．
+
＝
B．3D．
﹣
＝3
＝2
÷2＝
4．某专卖店专营某品牌的衬衫，店主对上一周中不同尺码的衬衫销售情况统计如下：
尺码
平均每天销售数量/件
39 10
40 12
41 20
42 12
43 12
该店主决定本周进货时，增加了一些41码的衬衫，影响该店主决策的统计量是（ ） A．平均数
B．方差
C．众数
D．中位数
5．下列长度的三条线段，能成为一个直角三角形的三边的一组是（ ） A．
，
，
B．1，2，
C．2，4，
D．9，16，25
6．已知，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，给出下列四个条件①AB∥CD，②OA＝
OC，③AD＝BC，④∠A＝∠C，任取两个条件，可得出四边形ABCD是平行四边形这一结论
的情况有（ ） A．5种
B．4种
C．3种
D．2种
7．如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，若∠BOC＝120°，AC＝8，AB的长度是（ ）
A．4 B．4 C．4 D．8
8．若一个三角形的三边长为3、4、x，则使此三角形是直角三角形的x的值是（ ） A．5
B．6
C．
D．5或
9．已知点（﹣1，y1），（4，y2）在正比例函数y＝kx（k＜0）的图象上，则y1，y2，0的大小关系是（ ）
A．0＜y1＜y2 B．y1＜0＜y2 C．y2＜0＜y1 D．y1＜y2＜0
10．某班同学在研究弹簧的长度跟外力的变化关系时，实验记录得到相应的数据如下表： 砝码的质量
0
50
100
150
200
250
300
400
500
x/g
指针位置
2
3
4
5
6
7
7.5
7.5
7.5
y/cm
则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
11．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，AC＝8，按图中所示方法将△BCD沿BD折叠，使点C落在AB边的C′点，那么△ADC'的面积是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
12．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，AC＝12，F是DE上一点，连接AF，CF，
DF＝1．若∠AFC＝90°，则BC的长度为（ ）
A．12 B．13 C．14 D．15
13．如图，矩形ABCD中，AD＝4，对角线AC与BD交于点O，OE⊥AC交BC于点E，CE＝3，则矩形ABCD的面积为（ ）
A． B． C．12 D．32
14．如图1，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AB＝2，E是DC边上一个动点，F是AB边上一点，∠AEF＝30°．设DE＝x，图中某条线段长为y，y与x满足的函数关系的图象大致如图2所示，则这条线段可能是图中的（ ）
A．线段EC B．线段AE C．线段EF D．线段BF
二、填空题（每题3分，共21分） 15．代数式16．计算：
在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ． ×
＝ ．
17．点A是函数y＝3x的图象上的一个点，写出一个满足题意的点A的坐标 ． 18．如图，菱形ABCD中，若BD＝8，AC＝6，则AB的长等于 ，该菱形的面积为 ．
19．如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，且AB＝10cm，MN＝3cm，则AC的长为 cm
20．如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ACB的角平分线分别交AB、CD于
M、N两点．若AM＝4，则BM＝ ，ON＝ ．
21．已知，如图：在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为A（10，0）、C（0，4），点D是OA的中点，点P在BC边上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为 ．
三、解答题（第22题8分，第23、24题各6分，第25题7分，第26、27、28题各8分，题共51分） 22．计算：（1）（2）（
）（
； ）+（
）2．
23．已知：如图，在▱ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，且BE＝DF， 求证：四边形AECF是平行四边形．
24．如图，▱ABCD的对角线AC与BD交于点O，AC⊥AB．若AB＝6cm，AD＝10cm，试求OA，
OB的长．
25．已知y﹣2与x成正比例，当x＝2时，y＝6． （1）求y与x之间的函数解析式． （2）在所给直角坐标系中画出函数图象．
（3）此函数图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C在x轴上，若S△ABC＝3，请直接写出点C的坐标．
26．为了解某校九年级男生的体能情况，体育老师随机抽取部分男生进行引体向上测试，并对成绩进行了统计，绘制成图1和图2两幅尚不完整的统计图． （1）本次抽测的男生有 人，抽测成绩的中位数是 ；
（2）请你将图2的统计图补充完整，这部分男生的平均成绩约为多少？写出计算过程． （3）若规定引体向上5次以上（含5次）为体能达标，则该校350名九年级男生中估计有多少人体能达标？
27．如图，△ABC的中线BD，CE交于点O，F，G分别是BO，CO的中点． （1）求证：四边形DEFG是平行四边形．
（2）若AB＝AC，则四边形DEFG是 （填写特殊的平行四边形）．
（3）若四边形DEFG是边长为2的正方形，试求△ABC的周长．
28．如图，在正方形ABCD中，E是CD边上一动点，DF⊥BE交BE的延长线于F．
（1）如图（1），若BE平分∠DBC时， ①直接写出∠FDC的度数；
②延长DF交BC的延长线于点H，补全图形，探究BE与DF的数量关系，并证明你的结论； （2）如图（2），过点C作CG⊥BE于点G，猜想线段BF，CG，DF之间的数量关系，并证明你的猜想． 29．计算：30．计算：
＝ ． ＝ ．
参考答案
一、选择题（2x14＝28分） 1．式子A．x＞1
有意义，则x的取值范围是（ ）
B．x＜1
C．x≥1
D．x≤1
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式x﹣1≥0，通过解该不等式即可求得x的取值范围．
解：根据题意，得x﹣1≥0， 解得，x≥1． 故选：C．
2．下列二次根式是最简二次根式的是（ ） A．
B．
C．
D．
【分析】根据最简二次根式的定义逐个判断即可． 解：A、
＝2
，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
B、C、D、
是最简二次根式，故本选项符合题意； ＝2＝3
，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； ，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
故选：B．
3．下列计算正确的是（ ） A．C．
+
＝
B．3D．
﹣
＝3
＝2
÷2＝
【分析】利用二次根式的加减法对A、B进行判断；利用二次根式的除法法则对C进行判断；利用二次根式的乘法法则对D进行判断． 解：A、
与
不能合并，所以A选项错误； ，所以B选项错误； ，所以C选项错误； ＝2
，所以D选项正确．
B、原式＝2C、原式＝D、原式＝
故选：D．
4．某专卖店专营某品牌的衬衫，店主对上一周中不同尺码的衬衫销售情况统计如下：
尺码
平均每天销售数量/件
39 10
40 12
41 20
42 12
43 12
该店主决定本周进货时，增加了一些41码的衬衫，影响该店主决策的统计量是（ ） A．平均数
B．方差
C．众数
D．中位数
【分析】平均数、中位数、众数是描述一组数据集中程度的统计量；方差、标准差是描述一组数据离散程度的统计量．销量大的尺码就是这组数据的众数．
解：由于众数是数据中出现次数最多的数，故影响该店主决策的统计量是众数． 故选：C．
5．下列长度的三条线段，能成为一个直角三角形的三边的一组是（ ） A．
，
，
B．1，2，
C．2，4，
D．9，16，25
【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可． 解：A、∵（
）+（
2
22
）≠（
2
），∴不能构成直角三角形，故本选项错误；
2
B、∵12+（C、∵22+（
）＝2，∴能构成直角三角形，故本选项正确； ）2≠42，∴不能构成直角三角形，故本选项错误；
D、∵92+162≠252，∴不能构成直角三角形，故本选项错误．
故选：B．
6．已知，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，给出下列四个条件①AB∥CD，②OA＝
OC，③AD＝BC，④∠A＝∠C，任取两个条件，可得出四边形ABCD是平行四边形这一结论
的情况有（ ） A．5种
B．4种
C．3种
D．2种
【分析】根据题目所给条件，利用平行四边形的判定方法分别进行分析即可． 解：①②组合可证明△ABO≌△CDO，进而得到AB＝CD，可根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定出四边形ABCD为平行四边形；
①④组合可利用两组对角分别相等的四边形是平行四边形判定出四边形ABCD为平行四边形；
∴有2种可能使四边形ABCD为平行四边形． 故选：D．
7．如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，若∠BOC＝120°，AC＝8，AB的长度是（ ）
A．4 B．4 C．4 D．8
【分析】由矩形的性质得出OA＝OB＝4，再证明△AOB是等边三角形，得出AB＝OA即可． 解：∵四边形ABCD是矩形， ∴OA＝AC＝4，OB＝BD，AC＝BD， ∴OA＝OB＝4， ∵∠BOC＝120°， ∴∠AOB＝60°， ∴△AOB是等边三角形， ∴AB＝OA＝4； 故选：A．
8．若一个三角形的三边长为3、4、x，则使此三角形是直角三角形的x的值是（ ） A．5
B．6
C．
D．5或
【分析】由于直角三角形的斜边不能确定，故应分4是斜边或直角边两种情况进行讨论． 解：当4是直角三角形的斜边时，32+x2＝42，解得x＝当4是直角三角形的直角边时，32+42＝x2，解得x＝5． 故使此三角形是直角三角形的x的值是5或故选：D．
9．已知点（﹣1，y1），（4，y2）在正比例函数y＝kx（k＜0）的图象上，则y1，y2，0的大小关系是（ ） A．0＜y1＜y2
B．y1＜0＜y2
C．y2＜0＜y1
D．y1＜y2＜0
．
；
【分析】根据正比例函数的性质即可判断． 解：∵k＜0，
∴函数y随x的增大而减小，
∵﹣1＜0＜4， ∴y2＜0＜y1， 故选：C．
10．某班同学在研究弹簧的长度跟外力的变化关系时，实验记录得到相应的数据如下表： 砝码的质量
0
50
100
150
200
250
300
400
500
x/g
指针位置
2
3
4
5
6
7
7.5
7.5
7.5
y/cm
则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】通过（0，2）（250，7）利用待定系数法求出解析式，再对比图象中的折点即可选出答案 解：
由表格得点（0，2），（250，7）， 设直线的解析式为y＝kx+b 得，
，解得
即直线的解析式为：，
得，
将点（200，7），（275，7.5），（300，7.5），（350，7.5）分别代入仅点（275，7.5）满足上述解析式．
故选：B．
11．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，AC＝8，按图中所示方法将△BCD沿BD折叠，使点C落在AB边的C′点，那么△ADC'的面积是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】先根据勾股定理得到AB＝10，再根据折叠的性质得到DC＝DC′，BC＝BC′＝6，则AC′＝4，在Rt△ADC′中利用勾股定理得（8﹣x）2＝x2+42，解得x＝3，然后根据三角形的面积公式计算即可． 解：∵∠C＝90°，BC＝6，AC＝8， ∴AB＝10，
∵将△BCD沿BD折叠，使点C落在AB边的C′点， ∴△BCD≌△BC′D，
∴∠C＝∠BC′D＝90°，DC＝DC′，BC＝BC′＝6， ∴AC′＝AB﹣BC′＝4， 设DC＝x，则AD＝（8﹣x）， 在Rt△ADC′中，AD2＝AC′2+C′D2， 即（8﹣x）2＝x2+42，解得x＝3， ∵∠AC′D＝90°，
∴△ADC′的面积═×AC′×C′D＝×4×3＝6， 故选：D．
12．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，AC＝12，F是DE上一点，连接AF，CF，
DF＝1．若∠AFC＝90°，则BC的长度为（ ）
A．12 B．13 C．14 D．15
【分析】如图，首先证明EF＝6，继而得到DE＝7；证明DE为△ABC的中位线，即可解决问题．
解：如图，∵∠AFC＝90°，AE＝CE， ∴EF＝
＝6，DE＝1+6＝7；
∵D，E分别是AB，AC的中点， ∴DE为△ABC的中位线， ∴BC＝2DE＝14， 故选：C．
13．如图，矩形ABCD中，AD＝4，对角线AC与BD交于点O，OE⊥AC交BC于点E，CE＝3，则矩形ABCD的面积为（ ）
A． B． C．12 D．32
【分析】由矩形的性质得出OA＝OC，由线段垂直平分线的性质得出AE＝CE＝3，求出BE＝1，由勾股定理求出AB，即可得出答案． 解：连接AE，如图所示： ∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OC，∠ABC＝90°，BC＝AD＝4， ∵OE⊥AC， ∴AE＝CE＝3， ∴BE＝BC﹣CE＝1， ∴AB＝
＝
＝2
， ×4＝8
；
∴矩形ABCD的面积＝AB×BC＝2故选：B．
14．如图1，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AB＝2，E是DC边上一个动点，F是AB边上一点，∠AEF＝30°．设DE＝x，图中某条线段长为y，y与x满足的函数关系的图象大致如图2所示，则这条线段可能是图中的（ ）
A．线段EC B．线段AE C．线段EF D．线段BF
【分析】求出当点E与点D重合时，即x＝0时EC、AE、EF、BF的长可排除C、D；当点
E与点C重合时，即x＝2时，求出EC、AE的长可排除A，可得答案．
解：当点E与点D重合时，即x＝0时，EC＝DC＝2，AE＝AD＝2，
∵∠A＝60°，∠AEF＝30°， ∴∠AFD＝90°， 在RT△ADF中，∵AD＝2，
∴AF＝AD＝1，EF＝DF＝ADcos∠ADF＝
，
∴BF＝AB﹣AF＝1，结合图象可知C、D错误； 当点E与点C重合时，即x＝2时， 如图，连接BD交AC于H，
此时EC＝0，故A错误；
∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝60°， ∴∠DAC＝30°，
∴AE＝2AH＝2ADcos∠DAC＝2×2×故选：B．
二、填空题（每题3分，共21分） 15．代数式
在实数范围内有意义，则x的取值范围是 x≠3 ．
＝2
，故B正确．
【分析】根据分母不等于0进行解答即可． 解：要使代数式可得：x﹣3≠0， 解得：x≠3， 故答案为：x≠3 16．计算：
×
＝ 6 ．
在实数范围内有意义，
【分析】先将二次根式化为最简，然后再进行二次根式的乘法运算即可． 解：原式＝2
×
＝6．
故答案为：6．
17．点A是函数y＝3x的图象上的一个点，写出一个满足题意的点A的坐标 （1，3） ． 【分析】根据点A是函数y＝3x的图象上的一个点，令x＝1，代入y＝3x求y即可得出答案．
解：∵点A是函数y＝3x的图象上的一个点， ∴令x＝1，代入y＝3x得：y＝3，
故（1，3）是函数y＝3x的图象上的一个点， 故答案为：（1，3）（答案不唯一）．
18．如图，菱形ABCD中，若BD＝8，AC＝6，则AB的长等于 5 ，该菱形的面积为 24 ．
【分析】利用菱形的对角线互相垂直平分，可求AB的长，由菱形的面积公式可求解． 解：设AC与BD交于点O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO＝AC＝3，BO＝BD＝4， ∴AB＝
＝
＝5，
∵BD＝8，AC＝6，
∴菱形的面积＝×AC×BD＝24， 故答案为：5，24．
19．如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，且AB＝10cm，MN＝3cm，则AC的长为 16 cm
【分析】延长BN交AC于D，证明△ANB≌△AND，根据全等三角形的性质得到AD＝AB＝10，BN＝ND，根据三角形中位线定理求出CD，计算即可． 解：延长BN交AC于D， 在△ANB和△AND中，
，
∴△ANB≌△AND（ASA）
∴AD＝AB＝10，BN＝ND， ∵BN＝ND，BM＝MC， ∴CD＝2MN＝6， ∴AC＝AD+CD＝16， 故答案为：16．
20．如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ACB的角平分线分别交AB、CD于
M、N两点．若AM＝4，则BM＝ 2 ，ON＝ 2 ．
【分析】作MH⊥AC于H，如图，根据正方形的性质得∠MAH＝45°，则△AMH为等腰直角三角形，再求出AH，MH，MB，然后证明△CON∽△CHM，再利用相似比可计算出ON． 解：作MH⊥AC于H，如图， ∵四边形ABCD为正方形， ∴∠MAH＝45°，
∴△AMH为等腰直角三角形， ∴AH＝MH＝
AM＝×4＝2，
∵CM平分∠ACB， ∴BM＝MH＝2∴AB＝4+2∴AC＝
， ，
+4，
+2，CH＝AC﹣AH＝4
+4﹣2
＝2
+4，
AB＝4
∴OC＝AC＝2∵BD⊥AC， ∴ON∥MH，
∴△CON∽△CHM， ∴即
＝＝
，
，
∴ON＝2， 故答案为：2
；2．
21．已知，如图：在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为A（10，0）、C（0，4），点D是OA的中点，点P在BC边上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为 （3，4）或（2，4）或（8，4） ．
【分析】题中没有指明△ODP的腰长与底分别是哪个边，故应该分情况进行分析，从而求得点P的坐标．
解：（1）OD是等腰三角形的底边时，P就是OD的垂直平分线与CB的交点，此时OP＝PD≠5；
（2）OD是等腰三角形的一条腰时：
①若点O是顶角顶点时，P点就是以点O为圆心，以5为半径的弧与CB的交点， 在直角△OPC中，CP＝
＝
＝3，则P的坐标是（3，4）．
②若D是顶角顶点时，P点就是以点D为圆心，以5为半径的弧与CB的交点， 过D作DM⊥BC于点M， 在直角△PDM中，PM＝
＝3，
当P在M的左边时，CP＝5﹣3＝2，则P的坐标是（2，4）； 当P在M的右侧时，CP＝5+3＝8，则P的坐标是（8，4）．
故P的坐标为：（3，4）或（2，4）或（8，4）． 故答案为：（3，4）或（2，4）或（8，4）．
三、解答题（第22题8分，第23、24题各6分，第25题7分，第26、27、28题各8分，题共51分） 22．计算：（1）（2）（
）（
； ）+（
）2．
【分析】（1）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可； （2）利用平方差公式和完全平方公式计算． 解：（1）原式＝2＝7
；
+4 +6
﹣
（2）原式＝2﹣1+3﹣4＝8﹣4
．
23．已知：如图，在▱ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，且BE＝DF， 求证：四边形AECF是平行四边形．
【分析】连接AC，交BD于点O．由“平行四边形ABCD的对角线互相平分”推知OA＝OC，
OB＝OD；然后结合已知条件证得OE＝OF，则“对角线互相平分的四边形是平行四边形”，
得证．
【解答】证明：连接AC，交BD于点O． ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，OB＝OD． 又∵BE＝DF，
∴OB﹣BE＝OD﹣DF，即OE＝OF． 又∵OA＝OC，
∴四边形AECF是平行四边形．
24．如图，▱ABCD的对角线AC与BD交于点O，AC⊥AB．若AB＝6cm，AD＝10cm，试求OA，
OB的长．
【分析】由平行四边形的性质得出OA＝OC，OB＝OD，BC＝AD＝10cm，由勾股定理求出AC＝
＝8cm，得出OA＝AC＝4cm，再由勾股定理求出OB即可．
解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，OB＝OD，BC＝AD＝10cm， ∵AC⊥AB， ∴∠BAC＝90°， ∴AC＝
＝8cm，
∴OA＝AC＝4cm， ∴OB＝
＝
＝2
（cm）．
25．已知y﹣2与x成正比例，当x＝2时，y＝6． （1）求y与x之间的函数解析式． （2）在所给直角坐标系中画出函数图象．
（3）此函数图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C在x轴上，若S△ABC＝3，请直接写出点C的坐标．
【分析】（1）根据正比例的定义设y﹣2＝kx（k≠0），然后把已知数据代入进行计算求出k值，即可得解；
（2）利用描点法法作出函数图象即可；
（3）根据三角形面积可知AC＝3，由图象可得结论． 解：（1）∵y﹣2与x成正比例， ∴设y﹣2＝kx（k≠0）， ∵当x＝2时，y＝6， ∴6﹣2＝2k， 解得k＝2， ∴y﹣2＝2x，
函数关系式为：y＝2x+2；
（2）当x＝0时，y＝2，
当y＝0时，2x+2＝0，解得x＝﹣1，
所以，函数图象经过点B（0，2），A（﹣1，0）， 函数图象如图：
（3）∵点C在x轴上，若S△ABC＝3， ∴AC＝3，
由图象得：C（﹣4，0）或（2，0）．
26．为了解某校九年级男生的体能情况，体育老师随机抽取部分男生进行引体向上测试，并对成绩进行了统计，绘制成图1和图2两幅尚不完整的统计图． （1）本次抽测的男生有 50 人，抽测成绩的中位数是 5次 ；
（2）请你将图2的统计图补充完整，这部分男生的平均成绩约为多少？写出计算过程． （3）若规定引体向上5次以上（含5次）为体能达标，则该校350名九年级男生中估计有多少人体能达标？
【分析】（1）用4次的人数除以所占百分比即可得到总人数，用总人数减去其他各组的人数即可得到成绩为5次的人数，再根据中位数的定义求出答案即可；
（2）根据（1）求出的成绩为5次的人数，补全统计图；根据平均数的计算公式列出算式，求出这部分男生的平均成绩即可； （3）用总人数乘以达标率即可得到达标人数．
解：（1）从条形统计图和扇形统计图可知，达到4次的占总人数的20%， 故总人数为：10÷20%＝50人，
引体向上5次的人数有：50﹣4﹣10﹣14﹣6＝16（人）， ∵共有50人，处于中间的位置是第25、26个数的平均数， ∴抽测成绩的中位数是5次； 故答案为：50，5次；
（2）根据（1）求出的5次的人数，补全统计图如下：
这部分男生的平均成绩约是：
（3）根据题意得： 350×
＝252（人），
＝5.16（次）；
答：该校350名九年级男生中估计有252人体能达标．
27．如图，△ABC的中线BD，CE交于点O，F，G分别是BO，CO的中点． （1）求证：四边形DEFG是平行四边形．
（2）若AB＝AC，则四边形DEFG是 矩形 （填写特殊的平行四边形）． （3）若四边形DEFG是边长为2的正方形，试求△ABC的周长．
【分析】（1）利用DE为△ABC的中位线得到DE∥BC，DE＝BC，利用FG为△OBC的中位线得到FG∥BC，FG＝BC，则ED＝FG，ED∥FG，然后根据平行四边形的判定方法得到结论；
（2）利用等腰三角形腰上的中线相等得到BD＝CE，再根据三角形重心性质得到OD＝BD，
OE＝CE，所以OD＝OE，然后根据矩形的判定方法得到四边形DEFG是矩形；
（3）利用正方形的性质得到OE＝OD＝再利用勾股定理计算出BE＝CD＝
DE＝，∠DOE＝90°，则OB＝OC＝2OD＝2，
，所以AB＝AC＝2，由于BC＝2DE＝4，然后计
算△ABC的周长．
【解答】（1）证明：∵BD和CE为△ABC的中线， ∴DE为△ABC的中位线， ∴DE∥BC，DE＝BC， ∵F，G分别是BO，CO的中点， ∴FG为△OBC的中位线， ∴FG∥BC，FG＝BC， ∴ED＝FG，ED∥FG，
∴四边形DEFG是平行四边形； （2）解：∵AB＝AC， ∴BD＝CE，
∵点O为△ABC的重心， ∴OD＝BD，OE＝CE， ∴OD＝OE，
∵四边形DEFG为平行四边形， ∴四边形DEFG是矩形； 故答案为矩形；
（3）解：∵四边形DEFG是正方形， ∴OE＝OD＝
DE＝，∠DOE＝90°， ，
＝
，
∴OB＝OC＝2OD＝2在Rt△BOE中，BE＝同理得CD＝∴AB＝AC＝2
， ，
∵BC＝2DE＝4， ∴△ABC的周长＝2
+2
+4＝4
+4．
28．如图，在正方形ABCD中，E是CD边上一动点，DF⊥BE交BE的延长线于F．
（1）如图（1），若BE平分∠DBC时， ①直接写出∠FDC的度数；
②延长DF交BC的延长线于点H，补全图形，探究BE与DF的数量关系，并证明你的结论； （2）如图（2），过点C作CG⊥BE于点G，猜想线段BF，CG，DF之间的数量关系，并证明你的猜想．
【分析】（1）①根据正方形的性质得到∠DBC＝45°，根据角平分线的性质、三角形内角和定理计算，得到答案；
②根据题意补全图形，证明△BFD≌△BFH，得到DF＝FH＝DH，证明△BCE≌△DCH，根据全等三角形的性质证明结论；
（2）在BF上取点H，使FH＝DF，连接DH、FC，证明△BDH∽△CDF，得到∠DBH＝∠DCF，根据等腰直角三角形的性质计算即可． 解：（1）①∵四边形ABCD为正方形， ∴∠DBC＝45°， ∵BE平分∠DBC，
∴∠DBE＝∠CBE＝22.5°， ∵∠F＝∠C＝90°，∠DEF＝∠BEC， ∴∠FDC＝∠CBE＝22.5°；
＝
＝
，
②补全图形如图（1）所示，
BE＝2DF，
理由如下：在△BFD和△BFH中，
，
∴△BFD≌△BFH（ASA） ∴DF＝FH＝DH， 在△BCE和△DCH中，
，
∴△BCE≌△DCH（ASA） ∴BE＝DH＝2DF； （2）BF＝2CG+DF
理由如下：在BF上取点H，使FH＝DF，连接DH、FC， ∵FD＝FH，∠DFH＝90°， ∴∠FHD＝∠FDH＝45°，DH＝∵∠BDC＝45°， ∴∠BDC＝∠HDF， ∴∠BDH＝∠CDF， ∵
＝
＝
，∠BDH＝∠CDF，
DF，
∴△BDH∽△CDF， ∴
＝
＝
，∠DBH＝∠DCF，
∵∠GBC＝90°﹣∠BCG＝∠GCH， ∴∠GCF＝∠DBC＝45°， ∴FC＝
CG，
∴BH＝2CG，
∴BF＝BH+HF＝2CG+DF．
29．计算：＝ 2 ．
【分析】根据二次根式的除法法则求解． 解：
＝
＝2．
故答案为：2． 30．计算：
＝
．
【分析】原式两项化为最简二次根式，合并即可得到结果． 解：原式＝故答案为：
+
＝
．
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