内生增长理论

正如我们在第1章中所指出的，在索洛于1956年发表的经典文章之后，增长经济学经历了将近20年的繁荣，但却在上世纪60年代末寂静下来。究其原因，大概可以说是索洛模型的中心结论是让人失望的：在缺乏连续技术进步的情况下，人均增长将最终停止。但是，从实践的角度来看，这并不是一个多世纪以来人们所观察到的经验事实。因此，增长经济学需要注入新的理论活力才能有后续的发展。

自上世纪80年代中期以来，关于经济增长的研究进入了又一次的繁荣。在Romer(1986)发表20年后的今天，无论是经济增长的理论研究还是经验研究都显著地改善了其在整个经济学中的地位。现在，经济增长既是整个宏观经济学领域的研究重点，也是现代宏观经济学教材中不可或缺的组成部分。这和60年代末到80年代中期的状况形成了鲜明的比照，那时候，经济学家们的研究兴趣主要集中于短期的经济波动，无论是在发表于各种学术期刊的文章中，还是在各种级别的经济学教材中，关于经济增长的内容扮演的都只是次要的角色。

Romer(1986)和Lucas(1988)是今天我们称之为内生增长理论或新增长理论这一领域的两篇经典文章，尽管他们强调的重点有所不同，分别是知识资本和人力资本。在他们的模型中，资本这一生产要素被赋予了新的解释，从而克服掉了资本边际报酬递减这一导致了索洛模型的中心结论的关键性假定，进而长期的人均经济增长可以内生地实现。但是，这一类型的内生增长模型并不需要真正的内生技术进步，经济的长期正增长来源于知识在生产者之间的扩散或者人力资本所带来的外部效应或替代效应。

众所周知，知识的一个重要特征是非竞争性。因此，要想实现知识的连续进步的话，就必须赋予知识的发明者一定的垄断权利作为激励，即其在知识的使用方面应当具有一定的排他性，这就要求研究增长的经济学家们突破传统的完全竞争框架来为知识或技术进步在生产中的作用建模，真正地将知识的这种特征引入增长理论的研究始于Romer(1987,1990)以及Aghion and Howitt(1992)，这就是今天我们所说的内生技术进步模型。他们在各自的增长模型中都不约而同地引入了不完全竞争框架，从而有垄断利润作为R&D活动的激励，这就为技术进步的内生化提供了一个合理的解释。

此外，内生增长理论还包括试图将索洛模型中的另一外生变量——人口增长率——内生化的研究工作，其中关键的想法是将生育选择分析整合进增长理论的框架，或者构造一些涉及到迁移或劳动/闲暇选择的模型，这方面的开创性文献包括Braun(1993)以及Becker和Barro(1988,1989)等。

第一节 生产性要素的非递减报酬

1

我们已经知道，索洛模型中的条件收敛性质或者正的长期人均增长依赖于连续的外生技术进步的性质都是源自资本的边际报酬递减的假定。构造内生增长理论的途径之一正是设法消除掉这一可积累要素所经历的报酬递减的长期趋势。关于报酬递减或递增的讨论由来已久。例如，埃德蒙•惠特克〔Edmund Whittaker〕在《经济思想流派》一书中写到〔第177页〕，“...农业会随着生产规模的扩张而报酬递减，而工业制品则在报酬递增的条件下扩张，是十九世纪绝大部分时期英国正统经济学家的特色，既使在二十世纪也并未完全消失”；在同一著作中，埃德蒙•惠特克还写到〔同上书，第179页〕，“李嘉图在他的论述中承认，农业和制造业都受到两种互相矛盾的力量的影响：〔1〕由于自然原料，尤其是食物费用的增加而出现的报酬递减趋势，以及〔2〕由于生产方法改进而出现的报酬递增趋势。”这就是说，报酬递减或递增取决于我们如何去理解生产过程中所使用的基本要素。如果我们只是在传统的意义上去理解生产要素的话，则实物资本、劳动以及土地所经历的报酬递减可以说是合理的。但是，技术进步或知识这一类要素对于生产的奉献则很难说是报酬递减的。这是因为，知识并不同于一般的消费品，它的使用在一定的意义上是非竞争性的。例如，一张关于某个在建工厂的蓝图也可以同时用于其他10个工厂的建设，却并不带来设计成本的增加；又如，在现代增长经济学的学习中我们经常要用到的庞特里雅金〔Pontryagin〕最大值原理，一位研究者使用的同时并不防碍其他研究者的使用；再比方，微软公司设计发行的Windows操作系统，众多电脑的同时使用并不会降低这一软件本身的性能。考虑到知识的这一特殊性质，传统的规模报酬不变的生产函数就会遇到技术上的困难。因为由欧拉定理可知，竞争性要素投入所要求的回报将会把最终产品分配净尽，从而非竞争性要素投入将无法获得补偿。因此，如果要在生产函数中引入非竞争性的生产要素话，原有的规模报酬不变的性质就会被破坏，这就是最初的内生增长理论假定规模报酬递增的主要原因。

接下来的问题是，具有非竞争性的知识是如何产生，又是由谁来提供的呢？一种简单的方法是将知识处理为公共物品，例如第1章中介绍的索洛模型以及本节要介绍的内生增长模型都是采取的这一方法。但是，这两类模型在关于知识的假定上又有重要的区别，索洛模型直接假定知识是外生给定的，并同时具有公共物品的性质，而本节的模型则是通过假定资本的投资具有一定的正外部性，即知识是在投资的过程中逐渐获得的，并且一经获得就具有了公共物品的性质。另一种方法则是在保证知识使用的非竞争性的同时，赋予知识的使用以一定的排他性，从而知识的发明者可以通过他所享有的这种对于知识的垄断权而获得一定的垄断利润，以此作为对于知识的创造者的激励。这就意味着，如果要想将知识资本引入增长模型，就必须突破传统的完全竞争框架，这在一定程度上增加了理论的难度，这是下一节中要介绍的内生技术进步模型的主要思想。

Romer(1986)和Lucas(1988)模型是内生增长理论的开端标志。Romer(1986)

2

模型秉承的是Young(1928)中的报酬递增和Arrow(1962)中的将知识处理为公共物品的思想，通过假设知识的创造是投资的一个副产品来消除掉报酬递减的趋势。因此，这一模型仍然容许完全竞争的框架，并没有真正地刻画出知识本身的特征，而只是通过经济的外部性来间接地捕捉知识资本的效应，当然其最终的结果将不再是帕累托最优的。Lucas(1988)模型也是将知识处理为公共物品，但是和Romer(1986)模型不同的是，卢卡斯模型秉承的是Uzawa〔1965〕中的思想，强调的是人力资本，并且假定人力资本的积累具有外部性。下面我们将要具体讨论这两种类型的增长模型，而在此之前，首先介绍一个最简单的内生增长模型——AK模型。

一、 最简单的内生增长模型：AK模型

在所有试图消除资本报酬递减趋势的内生增长模型中，AK模型是最早的也是最简单的一个。在索洛模型中，假定生产函数具有如下的AK形式： YAK

其中A是大于零的常数，这意味着资本的报酬并不随着自身的积累而递减，而是保持为一个恒定的水平A。我们继续沿用索洛模型中关于各种参数的假定，于是，人均资本存量的增长率为：

ksAn

由于yAk以及c1sy，从而此模型中的所有人均变量——

y、k、

c——都以速度k增长。假设sAn，则k0，从而经济的长期人

均正增长得以实现，并且更重要的是，这一正增长率是依赖于模型中的各种行为参数的，这将为各种经济政策的使用提供一个理论基础。

AK模型的一个重要缺陷是缺乏收敛的性质，即在AK模型中，增长率不依赖于模型的状态变量k，具有不同初始水平的经济都将以相同的速度增长，这是和大量关于经济增长的经验研究的文献所支持的条件收敛结论相悖的。为得到具有转移动态的内生增长模型，Jones and Manuelli(1990)提出了如下修正形式的AK型生产函数：

YAKBKL1

这是一个AK型生产函数和一个新古典型生产函数的组合。在这样的生产函数假定下，资本的报酬率在渐近的意义上是非递减的，从而此模型可以在实现内生增长的同时又预测出条收敛的性质。

客观地说，AK模型及其变种〔有时亦将这一类模型称为凸性增长模型〕通过假定的方式来消除掉资本的报酬递减趋势的这一方式过于简单，至今为

3

止，对此种假定的唯一流行的解释是：K表示的是广义的资本概念，从而可以防止积累过程中的长期递减趋势。但是，无论是从经验研究的角度来看，还是从理论建模的观点出发，这种假定都失于简单。我们不妨自问一下，AK模型中的这种报酬非减的资本概念到底应该和现实生产过程中的哪些具体资本形式联系在一起呢？或者说，我们到底应该组合现实生产中多少形式的资本后才能认为这种复合资本的报酬率是非减的呢？这在经验上是一个难以答复的问题。另一方面，从理论上讲，如果我们已经将增长模型中的唯一可积累要素的报酬假设为非递减的，那么此模型最终表现出稳态的内生增长就不应该是太让人惊讶的结论，毕竟我们一般来说是以模型的假设前提与最终结论之间的距离远近来评价一个模型的理论价值大小的。

二、 边干边学〔Learning by Doing〕模型

AK模型中产生内生增长的关键在于不存在可积累要素的递减报酬。在八十年代重新激活了增长理论领域的经典文章中，Romer(1986)借用了Arrow(1962)的框架，通过假设知识的创造是投资的一个副产品来消除掉报酬递减的趋势。也就是说，一个增加了其物资资本的企业同时也学会了如何更有效地生产。经验对于生产率的这一正向影响被称为边干边学或干中学。在j介绍Romer(1986)中的模型之前，我们利用一种简单的方式来阐明边干边学的思想。1

假定代表性企业i的生产函数为： YiFKi,KLi

其中Yi、Ki、Li分别表示企业的产出、资本投入、劳动投入。K表示经济的总资本存量：KKii。注意，这里的新古典生产函数F和我们在前两

章讨论过的新古典生产函数的一个重要区别在于，之前的生产函数中代表技术水平的参数现在由经济的总资本存量来表示。这就意味着，在每一个厂商增加自己的资本投入的同时，也增加了自己的生产效率。但是，我们要假定，对于单个企业来说，它是意识不到投资的这种正外部经济的，在其进行决策时，唯一关注的仍是要素投入的私人边际产品。当然，这里的另外一个隐含假定是，每个企业的知识都是公共品，任何其他企业都可以无成本地获得。因此，知识一经发现，就立刻外溢到整个经济范围内。2 企业的利润最大化问题是： 1 2

Barro and Sala-i-Martin (1995) Economic Growth, McGrawhill.

在最初的讨论边干边学的模型中，这种关于知识外溢效应的假定是不可或缺的。

4

maxiFKi,KLirKiwLi

其中i表示企业的利润，r和分别表示资本的利息率和折旧率，w表示工资率。

上述问题的一阶条件是：

Yi/Kir，Yi/Liw

从人均资本存量的角度来看，我们可将上述条件改写为： yi/kif1ki,Kr

Yi/Lifki,Kkif1ki,Kw

其中f1ki,K表示资本的私人边际产品，这里并未考虑ki通过经济的总资本存量K〔即生产率参数〕对于产出所作出的正向奉献。

由于经济中的所有企业都是对称的，从而在经济均衡时每个企业都将选择相同的资本投入，这意味着代表性企业的人均资本存量ki等于整个经济的人均资本存量k。于是，资本的平均产品为： fki,K/kif1,K/kifL 而资本的私人边际产品为：

f1ki,KfLLfL

需要注意的是，这里我们所得到的资本的平均产品和边际产品的表达式都不依赖于资本存量本身，换句话说，在前一章中所遇到的资本的报酬随着资本存量的增加而递减的趋势不存在了。如果我们假定经济的总人口是不变的，则资本的平均产品和边际产品就都是不变的量，这和我们在上一节中介绍的AK模型是一致的。

在这样的生产函数的假定之下，如果我们继续沿用上一章中介绍拉姆齐模型时的记号，易知人均消费增长率的表达式为： c~~~~uc~fLLfL

ucc与AK模型一样，上述增长率是不变的。在一定的参数假定之下，我们可以得

5

到正的人均增长率。3

1986年，保罗•罗默在著名的“政治经济学杂志”上发表的文章“递增报酬与长期增长”重新激活了关于增长经济学的研究。在这篇文章中，罗默假定知识是一种具有递增边际产品的资本品，并且当其他的投入要素给定时，消费品的生产是知识存量的函数。确切地说，如果某一企业牺牲I数量的当前消费而投入于研究部门，并且该企业的当前知识资本存量为k的话，则该企业的知识资本的积累规律为： GI,k k函数G被假定为是一次齐次且凹的。因此，

/kgI/k k其中gI/kGI/k,1。进一步假定函数g是上有界的，并且g00。 消费品的生产函数假定为： yFk,K,X

其中k表示代表性厂商所特有的知识资本，而Xkt表示总的知识资本存量，表示除去知识资本之外的物资资本、劳动等生产要素。关于函数F的假定主

要有两个：一、对于K的任意给定值，F关于k和X是凹且一次齐次的；二、对于X的任意给定值，如果KNk〔这里N表示经济中企业的数目〕的话，则F关于k是凸的。第一个假定捕捉的是私人知识资本的竞争性特征，第二个假定强调的是从整个社会的角度来看，知识的边际生产力是递增的，即生产函数F表现出规模报酬递增的性质。这一特征同时也是Romer(1986)中的生产函数和Arrow(1962)中的生产函数的不同之处。

为简单起见，假定只有知识资本存量是可以增加的，而以X表示的其他生产要素的供应则是固定不变的，于是可以将生产函数简记为fk,K。

在上述这些假定条件下，罗默构造出下述形式的无限期界增长模型： max0uctetdt

tfkt,Ktctkg s.t.  ktkt k0给定

3

比方，我们可取CIES的效用函数，并假定：

~~~~fLLfL1fLLfL/

6

需要注意的是，上述模型忽略掉了人口增长、折旧以及其他的生产要素，而只专注于由递增报酬导致的长期增长。利用库恩-塔克定理，罗默证明了在一定条件下，上述优化问题存在一个具有外部性的竞争均衡，在这样的均衡状态下，人均消费和人均知识资存量可以无限地增长。特别地，由于罗默构造的是一个单部门的增长模型，并且模型中只有一个状态变量和一个控制变量，因而可以利用标准的二元微分系统的相图分析来得到经济从初始状态向稳态过渡的直观表示。在Romer (1986)中，他首先选取了Cobb-Douglas形式的生产函数，然后针对两种特殊的效用函数分析了经济的转移动态行为。4

三、 人力资本模型

在模型中引入人力资本是产生内生经济增长的另一条途径。但是，人力资本概念引致的内生增长机制与上一小节中介绍的边干边学思想不尽相同。从本质上来说，人力资本概念更像是我们将在下一节中介绍的技术进步的一种替代。为更好地阐述具有人力资本的增长理论，我们首先介绍一个单部门的人力资本模型，然后再简要介绍卢卡斯在1988年发表的著名模型。

假定生产函数是Cobb-Douglas型的：

YAKH1，01

其中H表示生产中的人力资本投入。经济的产出有三种用途：消费C、物资资本的投资IK，以及人力资本的投资IH。于是，经济所面临的资源约束为：

YAKH1CIKIH

我们假定物资资本和人力资本以相同的速度0折旧。于是，这两种资本的积累规律为：

IK，HIH KKH 假定家庭具有通常的跨期可分形式的效用函数，在中央集权经济制度的

规定下，最优化问题的Hamilton函数为：

LucetIKKIHHwAKH1CIKIH

利用最大值原理，我们得到优化问题的一阶必要条件：

 4

具体内容可参阅Romer(1986)。

7

L/C0,L/IK0,L/IH0IHIKK,H K HL/HL/K,这些必要条件再加上对应于不同边界条件的横截性条件，我们就可以确定出

最优的消费路径、物资资本积累路径和人力资本积累路径。同时，我们也可以利用这些必要条件计算出模型的稳态增长率。为了得到具体形式的解，我们取效用函数为CIES的形式：

uCC11/1，0

AK/H则由上述一阶条件可得： C11

 AK/H于是

1A1K/H

K/H/1 因此，

 rA11

这意味着物质资本和人力资本的净报酬率在K/H保持不变时是一个常数，也就是说当K和H以相同的速度增长时，递减报酬不再使用。于是，我们得到了稳态的增长率： A111

在上述表达式中，如果各种参数选择适当，就可以得到一个正的增长率。

关于原始的Lucas(1988)模型，我们可简单介绍如下： max0et11ct1Ntdt 1tAKtuthtNt s.t. NtctKthtG1ut h1hat

其中0，即生产函数呈现出报酬递增的性质，而且人力资本通过教育部

8

门的生产是密集于人力资本的。

利用最大值原理，卢卡斯得出了此模型丰富的动态特征，并证明了在一定条件下可得到内生增长。5其中的关键性结论是，物质资本和人力资本之间的不平衡对于增长率的影响是不对称的：如果人力资本相对丰富，则产出和消费的增长率会随着人力和物质资本之间的不平衡程度的加大而上升；如果人力资本相对稀缺，则它们就会随着不平衡程度的加大而下降。这一结论和具有物质和人力资本的单部门内生增长模型的结论是不同的，在那里，物质和人力资本的不平衡对于增长率的影响是对称的。

产生上述性质的原因是关于人力资本生产技术的特殊假定，即人力资本的生产是密集于人力资本的。例如，当人力资本相对稀缺时，则在物资资本的生产过程中，人力资本的边际产品就要相对地高，因而可以预期经济增长的发生主要是由于人力资本的高增长率；但是，宇泽-卢卡斯模型中的人力资本相对稀缺也意味着一个较高的工资率水平，这就使得人力资本生产部门的经营成本较高，这一较高的成本刺激人们把人力资本更多投入于物资资本的生产，而不是原本就相对稀缺的人力资本的生产，这种效应最终会延缓经济的增长率。

需要指出的是，Romer(1986)模型和Lucas(1988)模型产生内生增长的机制是不一样的。在罗默模型中，由于知识的积累存在外溢效应，这使得知识资本的平均产品不再递减，从而克服了资本的报酬递减趋势，长期的人均正增长得以实现；而宇泽-卢卡斯模型是一般的具有人力资本的内生增长模型的一种特殊形式，一般来说，在具有人力资本的模型中产生内生增长的主要原因是，资本的报酬率依赖于物资资本存量和人力资本存量的比例，而当这两种资本以相同的速度增长时，递减报酬就不再适用，从而稳态的正增长得以实现。在宇泽-卢卡斯模型中，物资资本和人力资本由不同的技术所生产，并且人力资本的生产是密集于人力资本的，对于生产结构的这一修正会使得此模型表现出比一般的人力资本模型更丰富的动态特征，具体来说，物资资本和人力资本的不平衡在宇泽-卢卡斯模型中对于增长率的影响是不对称的。

第二节 内生技术进步

我们已经看到，既使在缺乏技术进步的情况下，只要能够消除掉模型中的资本报酬递减趋势，就可以得到内生的正增长。因此，上一节中的内生增长是由外部经济或物质资本存量和人力资本存量之间比例的变化产生的，并不需要真正地将技术进步引入增长模型，尽管这些模型也常常被称为是实现了技术进步的内生化。真正地将内生技术进步引入增长模型的奠基性工作是Romer(1987,1990)，Aghion and Howitt(1992)以及Grossman and Helpman(1991)， 5

模型的具体推导可参阅Lucas(1988).

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在他们的模型中，技术进步是有目的的科学研究活动的结果，并且由于赋予了知识这种物品既不同于普通物品也不同于公共物品的特殊特征，其报酬将不符合完全竞争经济中作为价格接受者的厂商的行为假定，而是具有了一定的垄断权力，由此获得的垄断利润可以作为对科研活动的激励。 Romer(1990)主要讨论的是产品种类的增加对于增长的影响。在他的模型中，新产品的开发类似于基础创新的活动，其中所需的知识是一类特殊的物品，既不同于普通的物品，也不同于公共物品。一般来说，普通物品是竞争性的 〔Rivalry〕，并且也是排他性的〔Excludability〕；公共物品一般是非竞争性的，并且也是非排他性的。而Romer(1990)认为，对于经济增长最有意义的情形，也是最能表达技术进步特征的知识物品却一般是非竞争性，并同时具有一定排他性的。

如果我们将罗默模型所描述的产品种类增加型的技术进步称为水平方向的创新〔Horizontal Innovation〕的话，则Aghion-Howitt模型所定义的技术进步类型则可称为垂直方向的创新(Vertical Innovation)，这种类型的技术进步描述的不是新产品的开发，而是已有产品的质量的不断改进。

基于熊彼特提出的“破坏性创新”的思想，Aghion and Howitt(1992)构造了一个内生增长模型，其中的增长源泉正是垂直方向的创新，而这种创新是由竞争性的研究部门提供的。在任一时期当中，研究活动的数量取决于下一时期当中研究活动的期望数量，这是因为下一次创新会导致当前垄断利润的完全丧失，而下一次创新的成功概率的大小取决于研究活动的多少，因此，期望的将来的研究活动越多，从事当前的研究活动的积极性就越低。在Aghion-Howitt模型中，经济的产出取决于整个经济范围内研究活动的数量，具体的说，GNP服从一具有漂移项的随机游走。而作为一随机变量的增长率本身，其均值和方差都是关于创新规模、技术型劳动的规模以及研究活动的生产率的递增函数；都是关于代表性个体的时间偏好率的递减函数。

一、 产品种类增加型的技术进步

〔1〕 一个简单形式6

假定人口的数量L固定，每一个体都是无限生存的，并且拥有一单位的可用于制造业的劳动。为简单起见，我们假定没有对于闲暇的需求，从而每一个人都无弹性地提供她所拥有的一单位劳动〔无论工资率如何〕。个体每一期的效用只依赖于消费，效用函数取等弹性的形式：

ucc11/1

6

本节内容主要参考Aghion and Howitt (2009) . Economics of Growth. MIT Press.

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个体使用不变的时间偏好率ρ来贴现效用。正如我们在第1章中看到的，这意味着稳态的增长率和利息率遵循如下欧拉方程： g1r

最终产品的生产环境是完全竞争的，使用劳动以及一系列指标为i∈[0,Mt]的中间品投入，其中Mt是产品种类的度量。在每一时刻t，最终产品的生产函数为：

YtL1Mt0xidi

其中Yt表示产出，xi表示中间品i投入的数量。劳动投入始终是不变的数量L。系数α位于0和1之间。

每一种中间产品都需要最终产品作为投入且一比一地生产出来。也就是说，生产一单位的中间产品i需要一单位的最终产品作为投入。

产品的种类数可以提高经济整体的生产率。为了说明这一机制，记用于中间品生产的最终产品的数量为Xt。按照前面提到的一比一的技术，X t必定等于所有的中间品数量：

XtMt0xidi

现在假定每一种中间品都生产相同的数量x〔稍后将看到，在均衡时确实如此〕，则x=Xt/Mt。将这一表达式代入生产函数可得： YtL111X/M0ttdiMtLXt

Mt在给定L和Xt的条件下，上式关于Mt是递增的：

Yt/Mt1Yt/Mt0

最终产品可用于消费和投资〔生产各种设计〕。除此之外，其唯一的用

途就是生产中间品。因此，经济的国内生产总值〔GDP〕就是最终产品Yt减去其用于生产中间品的数量：

GDPYtXt

每一种中间产品都由其发明者垄断地进行生产。在每一期中，此垄断者最大化以最终产品度量的如下利润流： ipixixi

其中pi是以最终产品为单位的价格。也就是说，在给定一比一技术的条件下，垄断者的收益就是价格乘以数量，而成本就等于产出。

在完全竞争的经济中，一单位投入的价格等于其边际产品的价值，于是

11

我们有：

11 piYt/xiLxi

因此，垄断者的利润依赖于其产出：

1 iLxixi

垄断者选择xi来最大化上述表达式，其一阶条件为：

211 i/xiLxi10

由此得到，每一部门i的均衡数量都是一样的： xL21

进而每一部门的均衡利润流也是一样的： 1L21

将Xt=Mtx代入生产函数，然后再由GDP的定义式可知，最终产品的产出以及经济的GDP都是和产品种类数成比例的：

YtMtL1xGDPtMtL1xx

于是，GDP的增长率和如下产品种类数的增长率也是成比例的： g1dMt

Mtdt产品种类数的增长率依赖于投入到科研中的最终产品数量。也就是说，科研活动的每一时刻的产出就是新设计的数量，而每一个新的设计都可以开发出一种新产品。因此，我们有：

dMt/dtRt

其中λ是表示研究部门生产率的一个〔正的〕参数。

假定经济的研究部门是完全竞争的，允许自由进入，则研究部门的利润流必定等于零。对于发明者而言，每一新设计的价值为Π/r，即利润流Π在市场利率为r时的贴现值。于是，从事科研的利润流为：

/rRtRt

即收益流〔产出λRt乘以价格Π/r〕减去成本。为使得这一利润流为零，利率必须满足如下的“科研套利”方程：

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r

也就是说，利率必须等于企业家每一单位的科研投入所获得的利润流。

将科研套利方程代入增长率的表达式，我们得到：

g 用表达式〔〕替换上式中的Π，我们就可将均衡增长率表示成模型的基本参数的函数：

g1L21

由此可知，经济增长率随着参数λ表示的科研生产率的增加而增加，随着劳动供应L表示的经济规模的增加而增加，随着时间偏好率ρ的增加而下降。

g关于L递增的这一预测曾经被认为是上述模型的优点，它说明，规模越大的国家或自由贸易区，增长得越快。但是， C. Jones(1995b)指出，这一预测是不符合事实的，因为自1950年以来，美国的研究人员数量显著地增加了，而这一时期的增长率却保持在2%左右。

〔2〕 Romer(1990)的模型*

假定经济中具有四种基本的要素投入：物资资本、劳动、人力资本和表示当前技术水平的一种指标〔我们可称之为技术方案集〕；经济由三个部门组成：研究部门、中间产品的生产部门和最终产品的生产部门。研究部门利用人力资本以及现有的知识水平来生产〔发明〕出新的知识〔技术方案〕；中间产品的生产部门利用研究部门发明的技术方案以及最终的产出作为投入，以生产出更多的中间物品；最终产品的生产部门则利用劳动、人力资本以及相应的中间物品来生产出最终的产品。假定最终的产品既可以消费掉，也可以作为资本来积累。

首先，罗默假定Cobb-Douglas型的生产函数：

 YHY,L,xHYLxi0A1di

其中HY,L,x分别表示生产过程中所需的人力资本，劳动以及资本品〔中间产品〕；A是可以使用的中间产品的种类，用来表示当前的技术水平。注意，这里关于资本品的假定和我们前面使用过的略有不同。如果我们使用总资本

则意味着所有不同类型的资本品之间是完全替代的；K来表示资本投入的话，

而上述关于资本投入的加性可分形式则意味着某一资本品的边际产品是独立于其他资本品的使用量的，因而一种新型资本品的引入既不是对旧品种的直

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接替代，也不是直接互补。

由生产函数关于要素投入的一次齐次性可知，我们仍然可以在完全竞争的框架内来讨论最终产品的生产者的行为，也就是说，我们仍然可以将整个最终产品的生产行业想象为一个代表性的作为价格接受者的厂商。这一特点是和中间产品的生产厂商的行为很不一样的，由于不同的中间产品是由不同的厂商来承担的，因此不存在一个可以代表整个行业的中间产品的生产者。 对于拥有了新的中间产品的设计方案的企业来说，假定需要投入单位的最终产品才能生产出一个单位的中间产品；而对于设计方案的发明者来说，假定其拥有对发明的永久专利。因此，当设计方案的发明者同时也是相应的中间产品的生产者的话〔对于发明者和生产者之间的关系也存在一些其他的制度安排，但是不影响此模型的均衡的存在性〕，则对于已经投入了发明成本的发明者来说，它所获得的补偿就是租售中间产品所获得的净收益流的贴现值。

按照通常的单部门模型以及国民收入核算的传统，总资本K的积累满足：

tYtCt K其中Ct表示总消费。我们已经假定为获得一单位任何类型的中间产品，必须放弃单位的当前消费，从而 KA0xi1diAx

其中x表示某一公共使用水平，这是因为每一中间产品都是对称进入生产过程的，从而对于每一中间产品的可获得量来说，应该是相等的。 于是，生产函数可改写成： YHY,L,x1AHYLK1

此外，假定知识的积累〔技术进步〕具有如下形式：

HA AA其中0。上式说明，人力资本的投入HA越高，则研究与发展活动的成功时机也就越大，并且这里的假定和宇泽-卢卡斯模型中假定类似，即知识的

生产是人力资本密集的；同时，由于知识的非竞争性，每一个研究者都可以利用当前的知识水平，从而当前的知识水平A越高，技术进步的成功率也就越大。

需要指出的是，至此模型所刻画的知识类型恰好符合了前面所要求的部分排他性，即知识在研究部门当中是一种公共品，而在中间产品的生产部门当中则是一种垄断品。

14

最后，假定人力资本的供应H是固定的，满足： HHAHY

下面我们考虑中间产品的生产者的垄断定价行为。对于最终产品的生产者来说，其面临的优化问题如下： maxxH0YLxi1pixidi

其中pi表示中间产品i的价格。由此可得如下的逆需求函数：

pi1HYLxi



这就是中间产品的垄断供应厂商所必须面临的市场需求。在这样的需求函数

下，中间产品的供应者面临的优化问题是： maxpxxrx

x = max1HYLxx1rx

这里r表示的是利息率。由此可得中间产品的垄断价格： pr/1 相应的垄断利润流为：

px

p1HYLx

其中 x满足：

假定新设计方案的价格为pA，则由中间产品的垄断竞争市场的自由进入条件可知：

tetrsdsdpA

如果pA是常数的话，则有： 于是，

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trttetrsdsd0

trtpA

上式说明，中间产品的垄断厂商的超额利润将正好弥补发明成本的利息损失。

利用pA的表达式：

1pA/rpx/r1HYLx/r

以及人力资本应该在研究部门和最终产品的生产部门当中获得相同的工资率

这一性质，即下式：

1wpAHLAxAY H

我们得到： HYr

111考虑到YHYLAx，KAx，以及

/Y1K/KK/YC/Y1K

我们得到：

/CY/AHH/YK/KAgCA如果在此模型中加入代表性消费者的优化行为： maxr

10C1tedt1

则对于给定的利率水平r，我们也可得到人均消费的增长率为：

/cr/ c最后我们得到市场均衡的增长率表达式： gH/1 其中/1。

可以说，罗默模型的重要结论基本上都包含在增长率的表达式中。具体

说来有以下几点：

1〕利息率越高，则增长率越低，这是因为较高的利息率会导致作为研

16

究部门的补偿的净收益的贴现值降低；

2〕人力资本具有加速增长的规模效应；

3〕如果初始的人力资本太低的话，有可能导致增长行为从未发生； 4〕更低的和的值，即更大的储蓄意愿，导致更快的增长；

5〕研究部门的效率越高〔的值越大〕，则增长越快。

二、 产品质量改进型的技术进步

〔1〕 一个简单形式7

假设时间是离散的，在每一个时间点上的个体数量为L，并且每一个个体都无弹性地供应一个单位的技术型劳动。假定每一个体只生存一个时期，因此，个体的目标是最大化其在期末的消费。

在每一时期中，一个单位的最终产品由如下的科布-道格拉斯技术生产出来：

yAx

其中x表示中间产品的投入数量，A是生产率参数，说明中间产品的当前质量。中间产品的生产完全依赖于劳动，一个单位的劳动投入就可以生产出一个单位的中间产品。因此，x同时也表示了当前用于制造业的劳动数量。当然，除此之外，劳动也可以用于技术创新。

每一次的技术创新都将中间产品的质量由A提高到A，这里1表示创新的规模。创新的成功来源于研究的投入，我们假定，如果用于研究与开发的劳动投入为z单位，则创新成功的概率为z。

作为给与创新者的补偿，他将享有生产中间产品的垄断权力，但是这里的垄断权力并不排除其他的生产者可以1单位的劳动生产出一单位同样的中间产品。因此，如果1/，则这样的潜在竞争者的存在对于创新者是有约束力的，这也意味着创新者能够确定的最高价位为wt。此时，创新者的利润为：

t1wtxt 7

本节内容参考Aghion and Durlauf(2006), Handbook of economic growth. Elsevier Noeth-Holland.

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这里的wtxt表示工资。对于这一垄断租金，我们假定只能够存在一个时期，在那之后，其他的模仿者就可以同样生产出这一质量的中间产品。

下面我们给出模型的两个关键的方程：

1． 劳动力市场出清方程：Lxtnt，其中xt和nt分别表示用于制造业和研究部门的劳动投入数量。

2． 科研市场的套利方程：wtt。这一方程说明，在任一时刻，均衡的科研投入数量必定使得一单位科研型劳动的边际收益等于边际成本。

如果我们关心的是增长的稳态情形，则可以暂时忽略上述方程中的时间下标，利用上述两个方程以及垄断利润的表达式可得：

11Ln

1这意味着用于研究与开发的劳动投入的稳态数量为： nL

(1)于是，在稳态中，生产率的期望增长率的均衡值为： gn1

这是一个依赖于各种经济参数的增长率的表达式，我们可以进一步分析各种经济参数对于增长率的影响。但是，重要的是，这里通过一种最简单的引入质量阶梯的方式得到了一个可能为正的增长率的表达式，这正是内生增长理论的重要特征。

〔2〕 Aghion and Howitt(1992)的模型*

假定经济中存在三种可交易的物品：劳动、消费品和中间产品；其次，劳动投入可分为三种类型：只能用于生产消费品的原始劳动(Unskilled Labor)、既可用于生产中间产品，也可用来从事研究活动的技术型劳动(Skilled Labor)、以及只能用来从事研究活动的专门化劳动(Specialized Labor)。我们分别用M,N,R来表示经济中上述三种类型的劳动的数量。

假定消费品的生产需要投入中间产品以及固定数量的原始劳动，从而生产函数可写为：

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yAFx

这里F0,F0，y表示消费品，x表示投入于消费品生产的中间品数量，而A表示中间投入的生产率参数。注意，由于原始劳动的使用量并不取决于消费品生产的多少，从而不显式地出现在生产函数中。

假定中间产品的生产只需投入技术型劳动，并且生产技术是线性的，即 xL

其中L表示中间产品部门的技术型劳动的使用量。

研究活动的投入可以产生一随机的创新发生序列，假定在任一时刻创新的发生服从Poisson过程，此过程的到达率(Arrive Rate)，即单位时间内创新发生的概率，为n,R，其中n是用于研究活动的技术型劳动的数量，是一给定常数，是一规模报酬不变且凹的生产函数，并满足：0,R0，这意味着如果没有技术型劳动投入的话，创新的发生概率为零。我们知道，关于创新发生的这种Poisson过程假定意味着，在每一次创新发生前所需等待的时间间隔服从参数为n,R的指数分布，即每一次创新所带来的垄断利润的持续时间是一指数型随机变量。

每一次创新都会带来一种新的中间产品，而这种中间产品的投入可以使得消费品的生产更有效率。我们简单地假定，新的中间产品的投入通过一常数因子1来提高生产率参数A，则：

t AtA0

其中A0是给定的初始生产率水平，下标t表示从第t次创新开始，至第t1次创新发生之前的时间间隔。一个成功的创新者可以通过申请专利来垄断中间产品的生产，当然，这种垄断地位只能持续到下一次创新发生之前。

对于中间产品的垄断厂商而言，他的目标就是最大化垄断时期利润的期望现值，这里唯一的不确定性因素是垄断的持续时间。首先，考虑消费品的生产商，其最优地选择要素投入来最大化利润。具体地说，第t期的厂商选择产量xt来最大化利润流： AtFxtwtxt

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其中wt是技术型劳动的工资率。注意，按照边际收益等于边际成本的定价法则，t期的中间产品的价格满足：ptAtFxt。这一优化问题的一阶条件是：

~x tt~xFxxFx。由此可得最优产量： 其中twt/At，xt xt~~1。相应的垄断利润为： x其中~~ tAtt~~xFx。 这里2 其次，假定对研究活动而言，不存在当期的溢出效应，则垄断厂商的目标就是选择适当的技术型劳动投入z和专门化劳动投入s来最大化如下的期望利润流：

s z,sVt1wtzwts

这里Vt1表示第t1次创新的价值，wt表示专门化劳动的工资率。利用Kuhn-Tucker条件，并考虑到均衡时专门化劳动的使用数量必定等于R，则上述优化问题的一阶条件为：

wtntVt1，nt0，wtntVt1nt0 其中ntnt,R。

对于第t期时在位的垄断者来说，其从事研究活动的收益为Vt1Vt；而对于外来者，其从事研究活动的收益是下一期创新的价值，即Vt1。因此，创新总是由外来者做出的。而对于一个外来者来说，创新的价值Vt1即垄断利润流的贴现值：

20

s Vt1t1

rnt1其中r0是代表性经济个体的时间偏好率。

在任何时点上，对于整个社会来说的决策问题是，如何在制造业和研究活动之间配置技术型劳动。利用上面我们推导的一些表达式以及关于技术型劳动的均衡条件Nntxt，整理可得：

~Nn~Nn~tt1 ，

ntrnt1nt0，

~Nn~Nn~tt1nrnnt0

tt1上述条件决定了第t期的研究活动数量，它是第t1期的研究活动数量的函

数：

ntnt1

这里是一正值的严格递减函数。

引入如下定义：

~Nn~Nn~tt1 cnt，bnt1

ntrnt1则cnt表示的是“研究活动的边际成本”，而bnt1表示的是“研究活动的边

ˆ，满足： 际收益”。如果c0b0，则我们可得到唯一的稳定平衡点n~Nn~Nn~ˆˆ ˆˆnrnˆ可知： 最后，我们讨论产出的稳态增长率。由ytAtFNn yt1yt

21

这意味着实际产出的对数lnyt是一随机的阶跃函数，每一次阶跃的幅度是

ˆ的指数分布的随机变量。ln，但每一次阶跃的到来时刻是服从参数为n如果我们用表示实际的时间点，则有： lny1lny

其中是时刻和1之间的创新次数与ln的乘积。我们知道，

ˆ的Poisson分布的随机变量序列，从而 /ln是服从参数为nˆlne lny1lnynˆln，是均值为零，方差为nˆln的随机变其中en2量。

ˆln，而此增长率的方差 由此可知，产出的平均稳态增长率为nˆln。这就是说，产出的增长率是技术型劳动的投入、每一次创为n2新的规模以及创新发生的概率的递增函数，这是一个相当容易解释的结论。

第三节 内生的劳动供应或人口

在前两节的内容中，总是假定劳动力供应或人口的变化是外生给定的，这是对现实生活的一种简化。实际的情况是，一个国家或一个地区的人口或实际的劳动力供应数量确实定既使在统计手段相对发达的今天，仍然是一个困难的课题。一般来说，劳动力会受工资率的地区差异的驱使而在不同地区之间流动，这也是造成流动人口数量很难统计的原因之一；而人口的自然增长也会由于经济福利的提高或自然灾害的发生所导致的死亡率的下降或人们偏好的变化所导致的出生率波动而经常地发生变化。如何将这些因素整合进增长模型是近些年来经济学家才才开始关注的论题，本节将要介绍的两个主要模型，即Braun模型和Barro-Becker模型，试图讨论的正是不同地区之间的劳动力迁移和人们的生育选择对于经济增长的影响。

一、 劳动力的迁移

尽管不同的国家或地区之间的人口流动实际上是一个受到很多因素影响

22

的复杂现象，但是我们这里所要讨论的Braun模型假定存在一个完全的信贷市场，各个经济所面临的是不变的世界利率，从而工资的差异是造成劳动力流动的唯一原因。

下面我们来具体地描述这个模型。假定一面临着给定的不变世界利率的小国经济，其生产函数是Cobb-Douglas的：

ˆ1R/L YAKLˆLe表示有效的劳动投入，x0是外生给定的劳动其中K表示资本，Lxt增进型技术进步率；R表示本国居民可以自由取得但其供应量固定的自然资

源；01。

我们注意到，对于给定的R，上述生产函数呈现出关于K和L的报酬递减。Braun模型之所以做出这样的假定是因为，在外生给定的技术水平下，假设人口的迁移有成本而资本的流动是自由的话，劳动力将不可能在不同的经济之间流动，从而也就不可能构造出其中人口变化内生的增长模型。关于这种报酬递减的一种解释是：一个经济的人口增加必定会造成某些自然资源〔例如土地等〕使用上的拥挤，如果这种资源具有生产价值并且供应量固定的话，则从整个社会的角度来看，必定呈现出对于资本和劳动的规模报酬递减。 但是，对于一个竞争性的厂商来说，L表示的是总人口，因此R/L可视为是给定的，从而上述生产函数仍然可以看作是规模报酬不变的，利用Euler定理，要素价格应当等于相应的私人边际产品，即：

ˆR/Lext w1Akˆ1R/L rAkˆK/Lˆ，表示每单位有效劳动的资本数量；r表示世界利率，对于我其中k们这里所考虑的小型国内经济而言可视为不变的，并假定rx；是折旧

率。

由此可得国内工资率的表达式：

1A1/1/1R/L/1xt we /1r 假定世界经济具有单一的工资率wworld，则在时刻t由世界其他地区向本国经济的一次永久性迁移的收益为：

rvtdv Btwvwworldet23

为简单起见，我们假定t时刻国内经济的自然人口增长率为零，而由世界转向国内经济的移民流为Mt，则国内的实际人口变化率为：

t/LtMt/Lt LL 另外，假定迁移的成本为： Mt/Ltwworld

这里0，0，且00。也就是说，迁移的成本随着移民数目的增加而加速上升。

最后，系统的稳态要求在每一时期当中，迁移的成本必须等于迁移的收益，即：

BtMt/Ltwworld

ˆ的 经过一些简单的整理可知，上述模型的动态由下面的关于变量L和B二元微分系统描述：

ˆtwˆt ˆtwˆworldrxB B

ˆt/wˆworld LBxtˆtBtext，wˆtwte其中Bˆworldwworldext，我们假定世界，wˆworld可视为常数；函数是函数的逆函数。由此经济处于稳态当中，则wˆ微分系统确定的稳态L,B是一鞍点。

 至于产出的增长，利用生产函数的表达式可得：

A1/1/1R/L/1ˆ y /1rˆ。从而 ˆY/L其中y1L yˆ/24

在稳态中，L0，从而yˆ0，也就是说，总产出的增长率为：

YxL

上述表达式和索洛模型中相应表达式的重要区别是，这里的人口增长率L是由模型内生决定的，取决于迁移所带来的收益和世界的工资水平之比。

二、 人口的内生决定

〔1〕 马尔萨斯模型

考虑时间离散的OLG模型，t=0,1,2,…。经济中存在两种要素：土地和劳动。土地的数量是固定的，而劳动的数量由内生变化的人口决定。

经济的生产技术遵循如下的方程：

 YtAXL1t其中Yt表示t期的总产出，A表示经济的技术水平，X表示土地的数量，Lt表示t期的工作人口数量。于是，按每工人平均的产出水平为： ytYt/LtAX/Lt

经济中的每一个体只生存两期：儿童期与成年期。在儿童期中，个体消

费来自于父母的固定数量的资源，记为；在成年期中，个体无弹性地提供一个单位的劳动，获得收入yt，然后在自身的消费ct和后代的抚养nt之间进行分配，这里的nt表示个体选择的后代数量。假定t期的成年人〔出生于t-1期〕的偏好为：

1utntct

于是，t期的成年人面临的优化问题是：

nt,ctargmaxntct1

s.t.

ntctyt

求解上述问题得到：

25

ct1yt，nt/yt

工作人口的动态行为遵循如下方程：

 Lt1ntLt/ytLt/AXL1t*由此可得人口的稳态值为：LAX/1/；每工人平均的产出〔收入〕

则遵循如下的动态方程：

yt1AX/Lt1yt/nt/yt1

由此可得收入的稳态值为：y/。

上述两个动态方程描述的人口和收入的动态特征如下列图所示：

*

图2-1 马尔萨斯模型的动态

综上所述，马尔萨斯模型的核心结论是：人均收入的增长与人口规模的增长是正相关的，即当人均收入水平由于技术的进步或者新资源的发现而有所增加时，伴之而来的却是人口数量的增加，这又倾向于降低人均收入水平。因此，从长期来看，人均收入水平大致是不变的，技术进步并不能带来生活水平的提高，这就是所谓的“马尔萨斯陷阱(Malthusian Trap)”。

在这一简单版本的模型中，并未出现资本这一生产要素，尽管这可能符合马尔萨斯所生存的年代，但是一定不是现代生产的典型特征，因此这一模型也不是现代经济增长理论的典型形式，我们有必要在现代增长理论的框架内继续讨论人口的内生变化。

〔2〕 增长模型中的内生生育率*

经验证据说明，自然的人口增长率和人均收入、工资率、两性的教育水

26

平以及城市化等经济变量之间有着重要的联系。但是，在Barro & Becker〔1989〕的生育选择模型出现之前，现代增长经济学的文献一直将人口的增长看作是外生的，Barro和Becker构造了第一个将人口变量内生化的增长模型，试图将生育选择分析整合进新古典增长理论，在他们的模型中，父母和孩子通过利他主义联系到一块，家庭的生育变量和消费、资本积累以及代际间的转移一样，是最优化选择的结果。

下面我们来具体描述这个模型。假设经济中的每一个体只生存两期：儿童期和成年期；并且一个家庭中小孩的出现总是在其父母的成年期开始时。利他主义的父母的效用不仅仅取决于其自身的消费，也可分地取决于其后代的数量以及每一后代的效用。具体地说，假定第i代的一个代表性成年人的效用函数为：

UivcianiniUi1

其中ci表示成年人自身的消费，vci是此项消费所带来的效用，ni表示孩子的数量，ani是一度量父母利他主义程度的函数，Ui1表示每一孩子的效用。

假定函数an是常弹性的： ann，01，01

则我们可得到下面的家族(Dynastic)效用函数： U0i1i0iNi1vci

其中Ninj0j，i1,2,...，(假定N01)表示此家族在第i代中的后代

数量。注意，这里的常数具有和通常的跨期可分效用函数中的时间偏好因子同样的作用。

第i代中的一个代表性成年人所面临的预算约束为： wi1rikiciniiki1

其中wi表示工资率〔我们假定每一成年人在每一期当中的总支配时间为一个单位，因而工资率也就是劳动收入〕；ki表示在每一孩子的成年期开始时，

27

他所获得的来自父母遗赠的资本，其收益率为ri〔我们假定资本的折旧率为零〕；i表示每一个孩子的抚养成本。

由此可得家族的创始人所面临的优化问题〔由于家族的创始人及其每一后代所面临的优化问题是同一形式的，因此每一后代的最优选择和由家族的创始人最初所做出的最优选择是一致的〕： maxU0

s.t. wi1rikiciniiki1

在这个优化问题中，状态变量是k，控制变量是c和n。利用动态规划中的Bellman原理，可得到如下的一阶条件： (1) vci/vci11ri1/ni

 (2) vci1vcici/vcivcii11riwi 条件(1)是不同时期消费之间的跨期替代条件的一个修正版本。一般来说，消费的跨期替代取决于个人的时间偏好〔即等待将来消费的耐心程度〕和利息率的大小。而在Barro-Becker模型中，生育数量n的增加会降低每一后代所获得的来自父母的好处，从而会提高将来消费的贴现率。因此，在上述修正版本的跨期替代条件中，较高的生育率会造成将来消费的相对减少。条件(2)是家庭中每增加一个小孩所带来的边际收益和所导致的边际成本之间的一个平衡条件。其中i11riwi项表示的恰好是在第i代中增加一个成年人所引致的净成本。

利用一阶条件(2)，我们可计算出最优的消费路径。如果函数v取常弹性的形式：

vcici，1

则可得到最优消费的显式表达式： (3) cii11riwi

1上式说明，后代的增加所导致的净成本的增加会带来这一后代人的人均消费的增长，也就是说，如果人口是以更高的成本生产出来的话，则给这些新增人口赋予更多的消费是最优的选择。这是所谓的“利用率(Utilization Rate)效应”，即高成本生产出来的物品应该具有更高的利用率(现在是在更高消费的

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意义上)。(3)式也说明，只有当人口的创造成本发生变化时，不同时期中的人均消费水平才会发生变化，如果人口的创造成本保持不变的话，则不同时期中的人均消费水平是一样的。这一性质和通常的优化模型中的最优消费路径是不一样的，在通常的模型中，消费水平的变化是由于偏好率和利息率之间的差异。

利用(1)式和(3)式还可得到最优的生育率水平：

1riwi ni1ri1i11rwii1i11

由此可知，如果人口的创造成本保持不变的话，则生育率只取决于利息率水

平和利他主义程度。

以上我们描述的是经济中的家庭行为，为得到一般均衡，还需在经济中引入典型企业的最优行为。为此我们假定下述规模报酬不变且具有Harrod中性技术进步的生产函数： YiFKi,1gLi

i其中Yi表示产出，Ki表示资本(即第i代开始前所积累的物品)，Li表示劳动投入，g是外生的技术进步率。上式也可写成集约的形式：

ˆ，f0，f0 ˆifk yiˆK/1giL，fkˆFK,1。利用ˆiYi/1giLi，k其中yiiiiiEuler定理，完全竞争市场中的利润最大化厂商遵循下式：

ˆ，wfkˆkˆfkˆ1gi rifkiiiii 假定孩子的抚养成本i既包括时间的投入，也包括物品的投入。具体地说，抚养成本函数具有如下形式：

ia1gibwi，a0，0b1

我们也可定义每单位有效劳动的工资率和抚养孩子的有效成本如下：

ˆkˆfkˆ ˆiwi/1gifk wiiiˆ iiiiˆkˆfkˆ ˆabfk/1gabwiii 由此可知，用于生产的时间为：

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Li1bniNi

从而，代表性成年人的预算约束需修正为：

ˆcˆˆ1g1bnkˆi1bni1rikˆini wiii1i1 ˆici/1g。前面的(3)式也相应修正为： 其中ciˆi c1ˆ1riˆwi1i 1g1而最优的生育率则为：

ˆ1r1gw1ˆii ni1ri1i1

ˆˆi11gi1ri11gw 在知道了控制变量c和n的最优路径后，我们可得到状态变量k的动态

方程：

ˆ wˆi1bni1riki1ˆ1riˆ ˆˆwi1inii1g1bni1ki11gˆ保持不变，从而n，cˆi，ri，wˆi以在稳态中，上述方程所定义的资本存量kiˆ均保持不变。特别地，稳态的生育率满足： 及in1r1g1

即在稳态中，家庭对于后代数量的最优选择取决于资本的利息率、消费的跨、

期替代弹性以及经济的技术进步率。

进一步地，在这个模型中，人均产出的稳态增长率仍然是外生的技术进

步率，而总产出的增长率则为外生的技术进步率和人口增长率之和，这是我们在最开始的索洛模型中就已经知道的结论，但是这里的一个重要区别是，此模型中的人口增长率是内生的。当然，如果要在这样一个人口的变化内生的模型中实现人均产出或资本存量的长期正增长，这又回到了我们在本章的前两节当中所讨论到的内容。实际上，在现代增长理论研究的前沿文献中，主流正是将人口的内生变化、规模报酬递增、人力资本、内生的技术进步等因素综合在一个完整的模型框架之内。

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思考与练习

1、 〔“劳动或中间品”模型〕考虑第二节中的罗默模型的一个变形。假定劳动并没有在最终产品的生产中被使用，而是作为中间品生产中的唯一投入。假定最终产品的生产函数为：

α

Yt=∫0txi,tdi

M

此外，假定生产一单位的任何中间品，需要1/Mt单位的劳动。与本章中的模型一样，假定dMt/dt=λMtL2，其中L2是配置到R&D中的劳动。定义Lx=L-L2为配置到中间品生产中的劳动数量。 a. 中间品生产的均衡水平是什么？ b. 任何中间品的单位均衡价格是什么？

c. 考虑其中工资和技术以相同速率增长的平衡增长均衡，则中间品厂商的

最大利润是什么？ d. 写出科研套利方程。 e. 计算经济的均衡增长率。 2、〔Romer(1990)模型中的社会最优〕现在我们不研究市场均衡，而是从一

个一期的社会计划者的角度，来研究社会最优的配置。计划者试图最大化：

α

GDPt=L1−αdi−∫0txi。 ∫0txi1

M

M

a. 求社会计划者的中间品配置，将其与市场均衡的水平作比较。解释你的

结果。

b. 社会计划者配置于R&D活动的劳动投入是什么？

c. 比较由社会计划者问题得出的经济的有效增长率与市场均衡的增长率。

解释你的发现。 3、〔基本的熊彼特模型的一种变形〕考虑第二节中基本的单部门模型，现在

α唯一的差异是假定最终产品的生产函数是：Yt=AtL1−αxt，其中0<ψ≤1。写出此经济的中间品垄断厂商的利润函数，科研套利方程以及产出的增长率。 4、〔具有物质资本和人力资本的CES生产函数〕考虑关于物质资本和人力资本的如下CES生产函数：

ψ

Y=A∙{𝑎∙(𝑏𝐾)ψ+(1−𝑎)∙[(1−𝑏)∙𝐻]ψ}

1/ψ

其中，031

的总投资皆可为负。

a. 写出汉密尔顿方程，并求一阶条件。

b. K和H之间的最优关系是什么？将该关系代入给定的生产函数，以得到Y

和K之间的关系。这种简化的生产函数的表达式有何特征？ c. 试求物质资本和人力资本之比的稳态值(K/H)∗。

d. 如果初始条件满足K(0)/H(0)<(K/H)∗，那么请描述随着时间的推移，

经济体的变化趋势。时间0时，两种资本的即时投资速率分别是多少？ e. 假定不等式约束𝐼𝐾≥0和𝐼𝐻≥0成立。如果经济体起始于K(0)/H(0)<

(K/H)∗，那么这两个约束如何影响转移动态？ 5、〔作为耐用品的中间品〕假定中间投入𝑋𝑖𝑗是具有无限寿命的耐用品。1单位的最终产品可转变为这些耐用品1单位的增加量。第j种中间品的发明者收取租金价格𝑅𝑗，且最终产品的竞争性生产者将𝑅𝑗看作是给定的。 a. 如何确定𝑅𝑗？

b. 在稳态中，各种中间品的数量𝑋𝑗等于多少？

c. 经济体的稳态增长率是多少？此答案与中间投入都为易耗品的情况下的答案有何不同？

d. 如果中间品是耐用品，那么在向稳态转移的过程中，哪几种动态效应会出现？ 6、〔农村-城镇移民模型〕假定经济体有两个生产部门：农业部门〔记为A〕只生产用于消费的产品；工业部门〔记为I〕生产的产品可用于消费和投资。生产函数都是柯布-道格拉斯形式的：

𝛼1−α

𝑌；𝑌𝐼=(𝐾𝐼)𝜆∙(𝐿𝐼)1−λ 𝐴=(𝐾𝐴)∙(𝐿𝐴)其中0<α<1，0<λ<1。不存在技术进步。

在没有弹性的情况下，每个人提供1单位劳动，总人口L=𝐿𝐴+𝐿𝐼的增长率不变且为n≥0。农村和城镇地区的人口自然增长率相等。资本可以在部门之间无成本地流动，且K=𝐾𝐴+𝐾𝐼。人们在地区之间的移动存在一定的成本。我们假定，向城镇部门的移民率和工资率之间的差异正相关：

𝜇̇

=b∙(𝑤𝐼−𝑤𝐴)/𝑤𝐴 μ其中b>0，μ是城镇部门所雇佣的人口的比例。

人们的储蓄量占收入的比重为s，花费占来自工业品的收入的比重为η。资本不存在折旧。工业品的价格以农产品的数量来计量，记为p。

a. 推导出各时点的租金率R、工资率𝑤𝐴和𝑤𝐼，以及工业产出的相对价格p

的表达式。城镇部门所用总资本的比重是多少？

b. 在(𝑘,μ)空间构建相位图，其中k≡K/L。稳态值𝑘∗和𝜇∗等于多少？该稳

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态稳定吗？

c. 假定经济起始于𝜇<𝜇∗。证明：向城镇的移民率随着经济体趋近于稳态

而递减。试描述相对价格p的行为特征，及转移路径上资本增长率的特征。该模型是否具有收敛特征？

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