向量综合复习

例1、已知OAa + 2b，OB2a + 4b，OC3a + 6b (其中a 、b是两个任意非零向量) ，证明：A、B、C三点共线．

例2、在梯形ABCD中，AD//BC，AB2,BC6,AD4，AC与BD交于O点，设ABa,ADb 用a,b表示OA.

AOB

DC

一、善于用坐标解决问题

1、在边长为2的正方形ABCD中，E,F分别为BC和DC的中点，则AEAF（ ） A.

变式训练：

如图所示，已知正方形ABCD的边长为1，点E从D点出发，按字母顺序

A 53 B． C．4 D．2 22D F C E B DABC沿线段DA，AB，BC运动到C点，在此过程中DECD的最大值

是( A )

A．0 B．

1C．1 D．1

2

2、如图在ABC中M是BC的中点，AM3，BC10，求ABAC. 解法一：利用向量加法的三角形法则

AABAC(AMMB)(AMMC)

AMAMMBAMMCMC

22AMAMMBAMMBMC AMMC

2222BMC925 34

解法二：把ABC看成等腰三角形，如图所示，则AMBC

AABAC(AMMB)(AMMC)

AMAMMBAMMCMC

22BMCAMMB0，AMMC0

所以ABACAM2MC

2解法三：把ABC看成等腰三角形，建立坐标系

3、BC上，如图，正方形ABCD的边长为6，点E，且DE2AE，F分别在边AD，CF2BF.如果对于常数，在正方形ABCD的四条边上，有且只有6个不同

A B E F

的点P使得PEPF=成立，那么的取值范围是（ ） （A）(0,7) （B）(4,7) （C）(0,4) （D）(5,16)

D P C

4、向量a(2,0)，b(x,y)，若b与ba的夹角等于

，则b的最大值为（ ） 6D．A．4

B．23 C．2

43 3三角形中向量问题：

1、P是ABC所在平面上一点，若PAPBPBPCPCPA，则P是ABC的 A、外心 B、内心 C、重心 D、垂心

2、设O为ABC的外心，且满足OAOBOC，则ACB___________.

3、在ABC中，点P满足APt(ABAC)，且BPAPCPAP，则ABC一定是（ ） A. 直角三角形 练习：

1、设a，b是非零向量，若函数f(x)(xab)(axb)的图象是一条直线，则必有（ ） A．a⊥b

B．a∥b

C．|a||b|

D．|a||b|

B.等腰三角形

C.等边三角形

D. 钝角三角形

DEC2、如图，在正方形ABCD中, AD4,E为DC上一点，且DE3EC，则ABAE（ ）

A．20 B. 16 C. 15 D. 12

AB3．已知两个不共线的向量a,b满足a2xbxayb，那么实数x,y的值分别是（ ）

（A）0,0 （B）1,2 （C）0,1 （D）2,1 4．如图，用向量e1,e2表示向量a（A） （C） e2

5．已知在四边形ABCD中满足：(ABAC)(ADDBADCD)0，则△ABC的形状是 （A）等边三角形 （B）等腰三角形 （C）直角三角形 （D）斜三角形 6.已知向量a(2，1)，b(sin，cos)，且a∥b，则7．下列四式不能化简为AD的是（ ）

b为 （ ）

b2e24e1 （B）

4e2e22e1 3e1

e1e2a3e1 （D）

sin2cos＝ .

5cos3sin（AB＋CD）＋BC B．（AD＋MB）＋（BC＋CM） A． ＋AD－BM D．OC－OA＋CD C．MB8．已知|a|=3，|b|=4，(a+b)(a+3b)=33，则a与b的夹角为（ ） A．30 B．60 C．120 D．150 9．a=(cos2x,sinx),b=(1,2sinx-1)，x( 则tan(x+

2,) ,若ab=

2， 5)等于（ ） 41212 A． B． C． D．

377310. 设向量a, b的长度分别为4和3，它们的夹角为600，则|a+b|等于 ( ) A. 37 B. 13 C. 37 D. 13 11.已知向量a、b均为单位向量，且ab．若（2a+3b）（ka-4b）,则k的值为_____. 12．定义两个向量a，b之间的运算“”为abab. 若向量p(3,1)，q(2,0)，则

p(pq) .

2113．已知OMOAOB，设AM33

AB，那么实数的值是 .

14. （本小题满分7分）

已知向量a，b满足a=（3，-1），b=（1，-3）. (1) 求a与b的夹角的余弦值； (2) 求证：（a+b）⊥（a-b）. 15．（本小题满分8分）

已知向量a、b满足ab1，a与b的夹角45. （1）求ab的值； （2）求(a+b)的值.

16. （本小题共10分）

已知向量a（Ⅰ） 求向量a2(1,3)，b(2,0).

b的坐标以及ab与a的夹角；

tb的取值范围.

（Ⅱ）当t1,1时，求a

17. （本小题满分11分）

已知向量OA(2,1)，OB(3,2)，OC(6m,3m). （Ⅰ）若点A,B,C共线，求实数m的值；

（Ⅱ）若△ABC为直角三角形，且A为直角，求实数m的值.

18.如图，在直角三角形ABC中，斜边AB=4. 设角A，ABC的面积为S.

（1）试用表示S，并求S的最大值； （2）计算ABACBCBA的值.

19．（本小题共13分）

B 

A C

，OB，OC，其中OA与OB的夹角为120°，OA与OC的夹角为30°，且如图，平面内有三个向量OAOAOB1，OC23．

(I)若将OC分解成分别与OA和OB共线的两个向量之和，在图中画出分解图示，并结合图示写出具体分解表达式；

(II)若OCOAOB(，R)，求和的值．

O

A

B C