期末高等数学(上)试题及答案

一、解答下列各题

(本大题共16小题，总计80分) 1、(本小题5分)

2、(本小题5分)

x312x16求极限　lim3x22x9x212x4

xdx.22(1x)

1x

求3、(本小题5分)

x求极限limarctanxarcsin4、(本小题5分)

求5、(本小题5分)

xdx.1x

d求dxx201t2dt．

6、(本小题5分) 7、(本小题5分)

求cot6xcsc4xdx.

求218、(本小题5分)

11cosdx．xx2

xetcost2dy设确定了函数yy(x),求．2tdxyesint9、(本小题5分)

求x1xdx．0310、(本小题5分) 11、(本小题5分)

求函数　y42xx2的单调区间

20求12、(本小题5分) 13、(本小题5分)

sinxdx．28sinx

设　x(t)ekt(3cost4sint)，求dx．

设函数yy(x)由方程y2lny2x6所确定,求14、(本小题5分) 15、(本小题5分)

dy．dx

求函数y2exex的极值

16、(本小题5分)

(x1)2(2x1)2(3x1)2(10x1)2求极限limx(10x1)(11x1)

求二、解答下列各题

(本大题共2小题，总计14分)

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cos2xdx.1sinxcosx

1、(本小题7分)

2、(本小题7分)

某农场需建一个面积为512平方米的矩形的晒谷场,一边可用原来的石条围沿,另三边需砌新石条围沿,问晒谷场的长和宽各为多少时,才能使材料最省.

x2x3求由曲线y和y所围成的平面图形绕ox轴旋转所得的旋转体的体积.28

设f(x)x(x1)(x2)(x3),证明f(x)0有且仅有三个实根.

三、解答下列各题

( 本 大 题6分 )

一学期期末高数考试(答案)

一、解答下列各题

(本大题共16小题，总计77分) 1、(本小题3分)

2、(本小题3分)

3x212解:原式lim2x26x18x12

6x　　　limx212x18

　　　2

3、(本小题3分)

x(1x2)2dx 21d(1x)2(1x2)2 11c.21x2 因为arctanx2而limarcsinx故limarctanxarcsinx4、(本小题3分)

10x

10x

5、(本小题3分) 6、(本小题4分)

6x1xdx

1x1dx1x

dxdx1x xln1xc.

原式2x1x4

cotxcscxdx

2cotx(1cotx)d(cotx)

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7、(本小题4分)

11cot7xcot9xc.79

11原式1cosd()xx 

1 8、(本小题4分)

21sinx21

9、(本小题4分)

2dye2t(2sintcost)解：　　dxet(cost22tsint2)

et(2sintcost)　　　　　(cost22tsint2)

令　1xu

原式2(u4u2)du1

10、(本小题5分)

uu2)153 11615

2(53函数定义域(,)

y22x2(1x)当x1，y0

,1当x1，　y0函数单调增区间为11、(本小题5分)

1, 当x1，y0函数的单调减区间为原式20dcosx9cos2x

12、(本小题6分)

13cosx2ln63cosx0 1ln2 6 dxx(t)dt

13、(本小题6分)

　ekt(43k)cost(4k3)sintdt

2yy2y6x5y

14、(本小题6分)

3yx5y2y1

定义域(，),且连续

1y2ex(e2x)2

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15、(本小题8分)

11ln22

由于y2exex0

11故函数有极小值,,y(ln)2222 驻点：x16、(本小题10分)

1111(1)2(2)2(3)2(10)2xxxx原式limx11(10)(11)xx

101121610117 2 cos2xcos2xdxdx1sinxcosx11sin2x2

d(1sin2x1)211sin2x2 1ln1sin2xc2 解:二、解答下列各题

(本大题共2小题，总计13分) 1、(本小题5分)

设晒谷场宽为x,则长为L2x512米,新砌石条围沿的总长为x2、(本小题8分)

512　　(x0)x 512L22　　　唯一驻点　x16x 1024L30　　　即x16为极小值点x

512故晒谷场宽为16米,长为32米时,可使新砌石条围沿16所用材料最省

x2x3解:　,8x22x3　x10,x14.28

244x4xx32x62Vx()()dx()dx00842

三、解答下列各题

( 本 大 题10分 )

11117(x5x)4570

1151244()5735

证明:f(x)在(,)连续,可导,从而在[0,3];连续,可导.4

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又f(0)f(1)f(2)f(3)0

则分别在[0,1],[1,2],[2,3]上对f(x)应用罗尔定理得,至少存在1(0,1),2(1,2),3(2,3)使f(1)f(2)f(3)0即f(x)0至少有三个实根,又f(x)0,是三次方程,它至多有三个实根,

由上述f(x)有且仅有三个实根

参

一。填空题（每小题3分，本题共15分） 1、e 2、k =1 ． 3、

6x 4、y1 5、f(x)2cos2x 1x二．单项选择题（每小题3分，本题共15分） 1、D 2、B 3、C 4、B 5、A 三．计算题（本题共56分，每小题7分） 1.解：limx0x12x14x2limlim x0sin2xsin2x(4x2)2x0sin2x(4x2)811ex1xex1ex12.解 ：lim(x )limlimlimxxxxxxx0xx0x0x02e1x(e1)e1xeeexecosxt23、解： lime1dtx0x21sinxecoslimx02x2x1 2e4、解： yx1x2(111x2) 11x2

1dy1t21 5、解：

2tdx2t1t2dyddy()2dtdxdx2dxdt122t1t23 2t4t21t6、解：

1212212sin(3)dxsin(3)d(3)cos(3)C x2x2x32x7、 解：

excosxdxcosxdex

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excosxexsinxdxexcosxsinxdex

excosxexsinxexcosxdx

ex(sinxcosx)C

8、解：

20f(x1)dxf(x)dxf(x)dxf(x)dx…

1101011dxdx 11ex01x0ex1(1)dxln(1x) 011ex01ln(1ex)01ln2

1ln(1e1)ln(1e)

四．

应用题（本题7分）

22解：曲线yx与xy的交点为（1，1）， 于是曲线yx与xy所围成图形的面积A为

2221211 A(xx)dx[x2x]0

3330213A绕y轴旋转所产生的旋转体的体积为：

y2y5324 V(y)ydy50102011五、证明题（本题7分） 证明： 设F(x)f(x)x，

显然F(x)在[,1]上连续，在(,1)内可导， 且 F()12121210，F(1)10. 212由零点定理知存在x1[,1]，使F(x1)0. 由F(0)0，在[0,x1]上应用罗尔

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定理知，至少存在一点

(0,x1)(0,1)，使F()f()10，即f()1 …

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