2017年上海市春季高考数学试卷
一.填空题（本大题共12题，满分48分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分） 1．设集合A={1，2，3}，集合B={3，4}，则A∪B= ． 2．不等式|x﹣1|＜3的解集为 ．
3．若复数z满足2﹣1=3+6i（i是虚数单位），则z= ． 4．若
，则
= ．
无解，则实数a= ．
5．若关于x、y的方程组
6．若等差数列{an}的前5项的和为25，则a1+a5= ．
7．若P、Q是圆x2+y2﹣2x+4y+4=0上的动点，则|PQ|的最大值为 ． 8．已知数列{an}的通项公式为9．若10．设椭圆
，则
= ．
的二项展开式的各项系数之和为729，则该展开式中常数项的值为 ．
的左、右焦点分别为F1、F2，点P在该椭圆上，则使得△F1F2P是等腰
三角形的点P的个数是 ．
11．设a1、a2、…、a6为1、2、3、4、5、6的一个排列，则满足|a1﹣a2|+|a3﹣a4|+|a5﹣a6|=3的不同排列的个数为 ． 12．设a、b∈R，若函数值范围为 ．
二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13．函数f（x）=（x﹣1）2的单调递增区间是（ ）
A．[0，+∞） B．[1，+∞） C．（﹣∞，0] D．（﹣∞，1] 14．设a∈R，“a＞0”是“
”的（ ）条件．
在区间（1，2）上有两个不同的零点，则f（1）的取
A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要
D．既非充分也非必要
15．过正方体中心的平面截正方体所得的截面中，不可能的图形是（ ） A．三角形 B．长方形
----完整版学习资料分享----
资料内容仅供您学习参考，如有不当之处，请联系改正或者删除
C．对角线不相等的菱形 D．六边形
16．如图所示，正八边形A1A2A3A4A5A6A7A8的边长为2，若P为该正八边形边上的动点，则
的取值范围为（ ）
A．
B． C． D．
三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）
17．（12分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=3； （1）求四棱锥A1﹣ABCD的体积；
（2）求异面直线A1C与DD1所成角的大小．
18．（12分）设a∈R，函数；
（1）求a的值，使得f（x）为奇函数； （2）若
对任意x∈R成立，求a的取值范围．
19．（12分）某景区欲建造两条圆形观景步道M1、M2（宽度忽略不计），如图所示，已知AB⊥AC，AB=AC=AD=60（单位：米），要求圆M1与AB、AD分别相切于点B、D，圆M2与AC、AD分别相切于点C、D；
（1）若∠BAD=60°，求圆M1、M2的半径（结果精确到0.1米）
（2）若观景步道M1与M2的造价分别为每米0.8千元与每米0.9千元，如何设计圆M1、M2的大小，使总造价最低？最低总造价是多少？（结果精确到0.1千元）
----完整版学习资料分享----
资料内容仅供您学习参考，如有不当之处，请联系改正或者删除
20．（12分）已知双曲线（b＞0），直线l：y=kx+m（km≠0），l与Γ交于
P、Q两点，P'为P关于y轴的对称点，直线P'Q与y轴交于点N（0，n）； （1）若点（2，0）是Γ的一个焦点，求Γ的渐近线方程； （2）若b=1，点P的坐标为（﹣1，0），且（3）若m=2，求n关于b的表达式． 21．（12分）已知函数f（x）=log2（1）解方程f（x）=1；
（2）设x∈（﹣1，1），a∈（1，+∞），证明：=﹣f（）；
（3）设数列{xn}中，x1∈（﹣1，1），xn+1=（﹣1）n+1使得x3≥xn对任意n∈N*成立．
，n∈N*，求x1的取值范围，
∈（﹣1，1），且f（
）﹣f（x）
；
，求k的值；
----完整版学习资料分享----
资料内容仅供您学习参考，如有不当之处，请联系改正或者删除
2017年上海市春季高考数学试卷
参考答案与试题解析
一.填空题（本大题共12题，满分48分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分） 1．设集合A={1，2，3}，集合B={3，4}，则A∪B= {1，2，3，4} ． 【考点】并集及其运算．
【分析】根据集合的并集的定义求出A、B的并集即可． 【解答】解：集合A={1，2，3}， 集合B={3，4}，
则A∪B={1，2，3，4}， 故答案为：{1，2，3，4}．
【点评】本题考查了集合的并集的定义以及运算，是一道基础题．
2．不等式|x﹣1|＜3的解集为 （﹣2，4） ． 【考点】绝对值不等式的解法．
【分析】根据绝对值的性质去掉绝对值，求出不等式的解集即可． 【解答】解：∵|x﹣1|＜3， ∴﹣3＜x﹣1＜3， ∴﹣2＜x＜4，
故不等式的解集是（﹣2，4）， 故答案为：（﹣2，4）．
【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，是一道基础题．
3．若复数z满足2﹣1=3+6i（i是虚数单位），则z= 2﹣3i ． 【考点】复数代数形式的乘除运算．
【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【解答】解：∵2﹣1=3+6i， ∴
，则
，
∴z=2﹣3i．
----完整版学习资料分享----
资料内容仅供您学习参考，如有不当之处，请联系改正或者删除
故答案为：2﹣3i．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题． 4．若
，则
=
．
【考点】运用诱导公式化简求值．
【分析】由已知利用诱导公式即可化简求值． 【解答】解：∵∴
，
=﹣cosα=﹣．
故答案为：﹣．
【点评】本题主要考查了诱导公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．
5．若关于x、y的方程组
无解，则实数a= 6 ．
【考点】根的存在性及根的个数判断． 【分析】把方程组系列式求得a值．
【解答】解：若关于x、y的方程组
无解，
无解转化为两条直线无交点，然后结合两直线平行与系数的关
说明两直线x+2y﹣4=0与3x+ay﹣6=0无交点． 则
故答案为：6．
【点评】本题考查根的存在性与根的个数判断，考查数学转化思想方法，是中档题．
6．若等差数列{an}的前5项的和为25，则a1+a5= 10 ． 【考点】等差数列的前n项和． 【分析】由等差数列前n项和公式得
【解答】解：∵等差数列{an}的前5项的和为25， ∴
=25，
=25，由此能求出a1+a5．
，解得：a=6．
----完整版学习资料分享----
资料内容仅供您学习参考，如有不当之处，请联系改正或者删除
∴a1+a5=25×=10． 故答案为：10．
【点评】本题考查等差数列中两项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．
7．若P、Q是圆x2+y2﹣2x+4y+4=0上的动点，则|PQ|的最大值为 2 ． 【考点】直线与圆的位置关系．
【分析】圆x2+y2﹣2x+4y+4=0，可化为（x﹣1）2+（y+2）2=1，|PQ|的最大值为直径长． 【解答】解：圆x2+y2﹣2x+4y+4=0，可化为（x﹣1）2+（y+2）2=1， ∵P、Q是圆x2+y2﹣2x+4y+4=0上的动点， ∴|PQ|的最大值为2， 故答案为2．
【点评】本题考查圆的方程，考查学生的计算能力，比较基础．
8．已知数列{an}的通项公式为
，则
=
．
【考点】等比数列的前n项和；极限及其运算．
【分析】利用等比数列的求和公式，结合极限，即可得出结论．
【解答】解： ==，
故答案为：．
【点评】本题考查等比数列的求和公式，考查极限方法，属于中档题． 9．若
的二项展开式的各项系数之和为729，则该展开式中常数项的值为 160 ．
【考点】二项式系数的性质．
【分析】令x=1，由题意可得：3n=729，解得n．再利用二项式定理的通项公式即可得出． 【解答】解：令x=1，由题意可得：3n=729，解得n=6． ∴展开式的通项公式为：Tr+1=2rC6rx6﹣2r，
----完整版学习资料分享----
资料内容仅供您学习参考，如有不当之处，请联系改正或者删除
令6﹣2r=0，解得r=3，
∴其展开式中常数项=8×20=160， 故答案为：160．
【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
10．设椭圆
的左、右焦点分别为F1、F2，点P在该椭圆上，则使得△F1F2P是等腰
三角形的点P的个数是 6 ． 【考点】椭圆的简单性质．
【分析】如图所示，①当点P与短轴的顶点重合时，△F1F2P构成以F1F2为底边的等腰三角形，此时有2个．
②当△F1F2P构成以F1F2为一腰的等腰三角形时，共有4个． 【解答】解：如图所示， ①当点P与短轴的顶点重合时，
△F1F2P构成以F1F2为底边的等腰三角形， 此种情况有2个满足条件的等腰△F1F2P；
②当△F1F2P构成以F1F2为一腰的等腰三角形时，共有4个． 以F2P作为等腰三角形的底边为例， ∵F1F2=F1P，
∴点P在以F1为圆心，半径为焦距2c的圆上
因此，当以F1为圆心，半径为2c的圆与椭圆C有2交点时， 存在2个满足条件的等腰△F1F2P．
同理可得：当以F2为圆心，半径为2c的圆与椭圆C有2交点时，存在2个满足条件的等腰△F1F2P．
综上可得：满足条件的使得△F1F2P是等腰三角形的点P的个数为6． 故答案为：6．
----完整版学习资料分享----
资料内容仅供您学习参考，如有不当之处，请联系改正或者删除
【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、等腰三角形，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
11．设a1、a2、…、a6为1、2、3、4、5、6的一个排列，则满足|a1﹣a2|+|a3﹣a4|+|a5﹣a6|=3的不同排列的个数为 48 ． 【考点】排列、组合的实际应用．
【分析】根据题意，分析可得需要将1、2、3、4、5、6分成3组，其中1和2，3和4，5和6必须在一组，进而分2步进行分析：首先分析每种2个数之间的顺序，再将分好的三组对应三个绝对值，最后由分步计数原理计算可得答案．
【解答】解：根据题意，若|a1﹣a2|+|a3﹣a4|+|a5﹣a6|=3，则|a1﹣a2|=|a3﹣a4|=|a5﹣a6|=1，
需要将1、2、3、4、5、6分成3组，其中1和2，3和4，5和6必须在一组， 每组2个数，考虑其顺序，有A22种情况，三组共有A22×A22×A22=8种顺序， 将三组全排列，对应三个绝对值，有A33=6种情况， 则不同排列的个数为8×6=48； 故答案为：48．
【点评】本题考查排列、组合的应用，注意分析1、2、3、4、5、6如何排列时，能满足|a1﹣a2|+|a3﹣a4|+|a5﹣a6|=3．
12．设a、b∈R，若函数值范围为 （0，1） ． 【考点】函数零点的判定定理． 【分析】函数
在区间（1，2）上有两个不同的零点，即方程x2+bx+a=0在区间
在区间（1，2）上有两个不同的零点，则f（1）的取
（1，2）上两个不相等的实根，
----完整版学习资料分享----
资料内容仅供您学习参考，如有不当之处，请联系改正或者删除
⇒⇒
画出数对（a，b）所表示的区域，求出目标函数z=f（1）═a+b+1的范围即可． 【解答】解：函数
在区间（1，2）上有两个不同的零点，
即方程x2+bx+a=0在区间（1，2）上两个不相等的实根，
⇒⇒，
如图画出数对（a，b）所表示的区域，目标函数z=f（1）═a+b+1
∴z的最小值为z=a+b+1过点（1，﹣2）时，z的最大值为z=a+b+1过点（4，﹣∴f（1）的取值范围为（0，1） 故答案为：（0，1）
【点评】本题是函数零点的考查，涉及到规划问题的结合，属于难题．
二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13．函数f（x）=（x﹣1）2的单调递增区间是（ ）
A．[0，+∞） B．[1，+∞） C．（﹣∞，0] D．（﹣∞，1]
----完整版学习资料分享----
4）时 资料内容仅供您学习参考，如有不当之处，请联系改正或者删除
【考点】函数的单调性及单调区间．
【分析】根据二次函数的性质求出函数的递增区间即可． 【解答】解：函数f（x）的对称轴是x=1，开口向上， 故f（x）在[1，+∞）递增， 故选：B．
【点评】本题考查了二次函数的性质，是一道基础题．
14．设a∈R，“a＞0”是“
”的（ ）条件．
A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要
D．既非充分也非必要
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断． 【分析】根据充分必要条件的定义判断即可． 【解答】解：由故a＞0”是“故选：C．
【点评】本题考查了充分必要条件，考查不等式问题，是一道基础题．
15．过正方体中心的平面截正方体所得的截面中，不可能的图形是（ ） A．三角形 B．长方形 C．对角线不相等的菱形
D．六边形
，解得：a＞0， ”的充要条件，
【考点】平行投影及平行投影作图法．
【分析】根据截面经过几个面得到的截面就是几边形判断即可．
【解答】解：过正方体中心的平面截正方体所得的截面，至少与正方体的四个面相交，所以不可能是三角形， 故选：A．
【点评】解决本题的关键是理解截面经过几个面得到的截面就是几边形．
16．如图所示，正八边形A1A2A3A4A5A6A7A8的边长为2，若P为该正八边形边上的动点，则
的取值范围为（ ）
----完整版学习资料分享----
资料内容仅供您学习参考，如有不当之处，请联系改正或者删除
A． B． C． D．
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】由题意求出以A1为起点，以其它顶点为向量的模，再由正弦函数的单调性及值域可得当P与A8重合时，
取最小值，求出最小值，结合选项得答案．
【解答】解：由题意，正八边形A1A2A3A4A5A6A7A8的每一个内角为135°， 且
．
再由正弦函数的单调性及值域可得， 当
P
与
A8
=
结合选项可得故选：B．
【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查数形结合的解题思想方法，属中档题．
三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）
17．（12分）（2017•上海模拟）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=3；
，，，
重合时，=．
．
最小为
的取值范围为
（1）求四棱锥A1﹣ABCD的体积；
（2）求异面直线A1C与DD1所成角的大小．
----完整版学习资料分享----
资料内容仅供您学习参考，如有不当之处，请联系改正或者删除
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；异面直线及其所成的角． 【分析】（1）四棱锥A1﹣ABCD的体积
=
，由此能求出结果．
（2）由DD1∥CC1，知∠A1CC1是异面直线A1C与DD1所成角（或所成角的补角），由此能求出异面直线A1C与DD1所成角的大小．
【解答】解：（1）∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=3， ∴四棱锥A1﹣ABCD的体积：
=
=
=
=4．
（2）∵DD1∥CC1，∴∠A1CC1是异面直线A1C与DD1所成角（或所成角的补角）， ∵tan∠A1CC1=∴
=
=
．
；
=
，
∴异面直线A1C与DD1所成角的大小为
【点评】本题考查三棱锥的体积的求法，考查异面直线所成角的求法，是中档题，解题时要认真审题，注空间思维能力的培养．
18．（12分）（2017•上海模拟）设a∈R，函数（1）求a的值，使得f（x）为奇函数； （2）若
对任意x∈R成立，求a的取值范围．
；
【考点】函数恒成立问题；函数奇偶性的性质．
【分析】（1）由f（x）在R上为奇函数，可得f（0）=0，解方程可得a的值，检验即可； （2）由题意可得即为
＜
恒成立，等价为
＜，即有2（a﹣1）＜a（2x+1），
----完整版学习资料分享----
资料内容仅供您学习参考，如有不当之处，请联系改正或者删除
讨论a=0，a＞0，a＜0，由参数分离，求得右边的范围，运用恒成立思想即可得到a的范围．
【解答】解：（1）由f（x）的定义域为R， 且f（x）为奇函数，可得f（0）=0， 即有
=0，解得a=﹣1．
，f（﹣x）=
=
=﹣f（x），
则f（x）=
则a=﹣1满足题意； （2）即为等价为
＜
对任意x∈R成立， 恒成立， ＜，
即有2（a﹣1）＜a（2x+1）， 当a=0时，﹣1＜0恒成立； 当a＞0时，由2x+1＞1，可得解得0＜a≤2； 当a＜0时，
＞2x+1不恒成立． ＜2x+1，
≤1，
综上可得，a的取值范围是[0，2]．
【点评】本题考查函数的奇偶性的运用：求参数的值，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用分类讨论和参数分离的思想方法，考查运算能力，属于中档题．
19．（12分）（2017•上海模拟）某景区欲建造两条圆形观景步道M1、M2（宽度忽略不计），如图所示，已知AB⊥AC，AB=AC=AD=60（单位：米），要求圆M1与AB、AD分别相切于点B、D，圆M2与AC、AD分别相切于点C、D；
（1）若∠BAD=60°，求圆M1、M2的半径（结果精确到0.1米）
（2）若观景步道M1与M2的造价分别为每米0.8千元与每米0.9千元，如何设计圆M1、M2的大小，使总造价最低？最低总造价是多少？（结果精确到0.1千元）
----完整版学习资料分享----
资料内容仅供您学习参考，如有不当之处，请联系改正或者删除
【考点】直线与圆的位置关系．
【分析】（1）直接利用三角函数，可得结论；
（2）设∠BAD=2α，则总造价y=0.8•2π•60tanα+0.9•2π•60tan（45°﹣α），换元，利用基本不等式，可得结论．
【解答】解：（1）M1半径=60tan30°≈34.6，M2半径=60tan15°≈16.1； （2）设∠BAD=2α，则总造价y=0.8•2π•60tanα+0.9•2π•60tan（45°﹣α）， 设1+tanα=x，则y=12π•（8x+
﹣17）≥84π，当且仅当x=，tanα=时，取等号，
∴M1半径30，M2半径20，造价42.0千元．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查基本不等式的运用，属于中档题．
20．（12分）（2017•上海模拟）已知双曲线
（b＞0），直线l：y=kx+m（km
≠0），l与Γ交于P、Q两点，P'为P关于y轴的对称点，直线P'Q与y轴交于点N（0，n）；
（1）若点（2，0）是Γ的一个焦点，求Γ的渐近线方程； （2）若b=1，点P的坐标为（﹣1，0），且（3）若m=2，求n关于b的表达式． 【考点】双曲线的简单性质． 【分析】（1）由双曲线
（b＞0），点（2，0）是Γ的一个焦点，求出c=2，
，求k的值；
a=1，由此能求出Γ的标准方程，从而能求出Γ的渐近线方程．
（2）双曲线Γ为：x2﹣y2=1，由定比分点坐标公式，结合已知条件能求出k的值． （3）设P（x1，y1），Q（x2，y2），kPQ=k0，则
，由
，
----完整版学习资料分享----
资料内容仅供您学习参考，如有不当之处，请联系改正或者删除
得（b2﹣k2）x2﹣4kx﹣4﹣b2=0，由
，得（
）x2﹣2k0nx﹣n2﹣b2=0，由此
利用韦达定理，结合已知条件能求出n关于b的表达式． 【解答】解：（1）∵双曲线∴c=2，a=1，∴b2=c2﹣a2=4﹣1=3， ∴Γ的标准方程为：Γ的渐近线方程为
=1， ．
（b＞0），点（2，0）是Γ的一个焦点，
（2）∵b=1，∴双曲线Γ为：x2﹣y2=1，P（﹣1，0），P′（1，0）， ∵
=
，设Q（x2，y2），
则有定比分点坐标公式，得：
，解得，∵，∴，
∴=．
（3）设P（x1，y1），Q（x2，y2），kPQ=k0， 则
，
由
，得（b2﹣k2）x2﹣4kx﹣4﹣b2=0，
，，
由，得（
）x2﹣2k0nx﹣n2﹣b2=0，
----完整版学习资料分享----
资料内容仅供您学习参考，如有不当之处，请联系改正或者删除
﹣x1+x2=，﹣x1x2=，
∴x1x2==，即，即=，
====，
化简，得2n2+n（4+b2）+2b2=0， ∴n=﹣2或n=当n=﹣2，由
，
=
，得2b2=k2+k02，
由，得，
即Q（，
），代入x2﹣=1，化简，得：
，解得b2=4或b2=kk0，
当b2=4时，满足n=
，
当b2=kk0时，由2b2=k2+k02，得k=k0（舍去）， 综上，得n=
．
【点评】本题考查双曲线的渐近线的求法，考查直线的斜率的求法，考查n关于b的表达式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意双曲线、直线、韦达定理的合理运用．
21．（12分）（2017•上海模拟）已知函数f（x）=log2（1）解方程f（x）=1；
（2）设x∈（﹣1，1），a∈（1，+∞），证明：=﹣f（）；
----完整版学习资料分享----
；
∈（﹣1，1），且f（）﹣f（x）
资料内容仅供您学习参考，如有不当之处，请联系改正或者删除
（3）设数列{xn}中，x1∈（﹣1，1），xn+1=（﹣1）n+1使得x3≥xn对任意n∈N*成立． 【考点】函数与方程的综合运用． 【分析】（1）根据对数运算性质得（2）令g（x）=即可证明f（
，n∈N*，求x1的取值范围，
=2，从而解出x的值；
，判断g（x）的单调性得出g（x）的值域，根据对数的运算性质化简）﹣f（x）=﹣f（）；
（3）利用（2）中的结论得出f（xn+1）与f（xn）的关系，判断f（xn）的周期，分别用f（x1）表示出f（x2），f（x3），f（x4），根据f（x）的单调性得出（x1）的范围，继而解出x1的范围． 【解答】解：（1）∵f（x）=log2∴
=2，解得
；
，则g′（x）=
=
．
=1，
，从而求出f
（2）令g（x）=
∵a∈（1，+∞），∴g′（x）＞0， ∴g（x）在（﹣1，1）上是增函数， 又g（﹣1）=
，g（1）=
=1，
∴﹣1＜g（x）＜1，即∈（﹣1，1）．
∵f（x）﹣f（）=log2﹣log2=log2﹣log2
=log2（）=log2，
f（）=log2=log2．
∴f（）=f（x）﹣f（），
----完整版学习资料分享----
资料内容仅供您学习参考，如有不当之处，请联系改正或者删除
∴f（）﹣f（x）=﹣f（）．
（3）∵f（x）的定义域为（﹣1，1）， f（﹣x）=log2
=﹣log2
=﹣f（x），
∴f（x）是奇函数． ∵xn+1=（﹣1）n+1
，
∴xn+1=．
①当n为奇数时，f（xn+1）=f（）=f（xn）﹣f（）=f（xn）﹣1，∴f（xn+1）=f（xn）﹣1； ②当n为偶数时，f（xn+1）=f（﹣）=﹣f（）=1﹣f（xn），∴f（xn+1）=1﹣f（xn）．
∴f（x2）=f（x1）﹣1，f（x3）=1﹣f（x2）=2﹣f（x1），f（x4）=f（x3）﹣f（x5）=1﹣f（x4）=f（x1），f（x6）=f（x5）﹣1=f（x1）﹣1，… ∴f（xn）=f（xn+4），n∈N+． 设h（x）=
，则h′（x）=
=
＞0，
∴h（x）在（﹣1，1）上是增函数， ∴f（x）=log2
=log2h（x）在（﹣1，1）上是增函数．
∵x3≥xn对任意n∈N*成立， ∴f（x3）≥f（xn）恒成立， ∴
，即
，
解得：f（x1）≤1，即log2≤1，
----完整版学习资料分享----
1=1﹣f（x1），
资料内容仅供您学习参考，如有不当之处，请联系改正或者删除
∴0＜≤2，
解得：﹣1＜x1≤．
【点评】本题考查了对数的运算性质，复合函数的单调性，不等式的解法，属于难题．
----完整版学习资料分享----
因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容