类型七 二次函数与圆的问题(解析版)

第二步 大题夺高分

类型七二次函数与圆的问题

1、如图，在平面直角坐标系xOy中，经过C（1，1）的抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）顶点为M，与x轴正半轴交于A，B两点．

（1）如图1，连接OC，将线段OC绕点O逆时针旋转使得C落在y轴的正半轴上，求线段OC过的面积；

（2）如图2，延长线段OC至N，使得ON＝2OC，若∠ONA＝∠OBN且tan∠BAM＝求抛物线的解析式； （3）如图3，已知以直线x＝

17，25为对称轴的抛物线y＝ax2+bx+c交y轴于（0，5），交直线l：2y＝kx+m（k＞0）于C，D两点，若在x轴上有且仅有一点P，使∠CPD＝90°，求k的值．

【答案】（1）【思路引导】

263；（2）y＝2x2﹣9x+8；（3）k＝． 43（1）线段OC过的面积＝

45×π×（2）2＝； 3604（2）△ONA∽△OBN，则OA•OB＝ON2＝4，即mn＝4…①，则抛物线的表达式为：y＝a

mnmnmna(mn)2（x﹣m）（x﹣n），MH＝|yM|＝﹣a（﹣m）（﹣n）＝，AH═﹣

2224m，tan∠BAM＝

MH117＝a（n﹣m）＝，化简得：a（n﹣m）＝17…②，将（1，1）AH22代入y＝a（x﹣m）（x﹣n）并化简得：a（5﹣m﹣n）＝1…③，联立①②③即可求解； （3）抛物线的表达式为：y＝x2﹣5x+5；设点D（m，n），n＝m2﹣5m+5，而点C（1，1），

m25m51则k＝＝m﹣4，若在x轴上有且仅有一点P，使∠CPD＝90°，则过CD中

m1点的圆R与x轴相切，即可求解． 【解析】

（1）线段OC过的面积＝

45×π×（2）2＝； 3604（2）ON＝2OC＝4，设点A、B的坐标分别为：（m，0）、（n，0）， ∠ONA＝∠OBN，则△ONA∽△OBN，则OA•OB＝ON2＝4，即mn＝4…①， 则抛物线的表达式为：y＝a（x﹣m）（x﹣n），

过点M作MH⊥AB交AB于点H，函数的对称轴为：x＝

1（m+n）， 2mnmna(mn)2则MH＝|yM|＝﹣a（﹣m）（﹣n）＝，

224AH＝xM﹣xA＝

mn﹣m 2tan∠BAM＝

MH117＝a（n﹣m）＝， AH22化简得：a（n﹣m）＝17…②，

将（1，1）代入y＝a（x﹣m）（x﹣n）并化简得：a（5﹣m﹣n）＝1…③， 联立①②③并解得：m＝917917，n＝，a＝2，

44则抛物线的表达式为y＝a（x﹣m）（x﹣n）＝a（x2﹣mx﹣nx+mn）＝2x2﹣9x+8；

abc1a1b5，解得：b5， （3）由题意得：x2a2c5c5故抛物线的表达式为：y＝x2﹣5x+5；

设点D（m，n），n＝m2﹣5m+5，而点C（1，1），

m25m51则k＝＝m﹣4，

m1 若在x轴上有且仅有一点P，使∠CPD＝90°，则过CD中点的圆R与x轴相切，设切点为P，

则点H（

m1n1，），则HP＝HC， 22即（

n1n12m1﹣1）2+（﹣1）2＝（）， 222化简得：3m2﹣18m+19＝0， 解得：m＝3+

26（不合题意的值已舍去）， 3k＝m﹣4＝

263． 3【方法总结】

本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、圆的基本知识、解直角三角形、三角形相似等，综合性很强，数据处理技巧多，难度大． 2、如图1，抛物线y1223xx3与y轴交于点C，与x轴交于点A、B（点A在点B33左边），O为坐标原点．点D是直线BC上方抛物线上的一个动点，过点D作DE∥x轴交直线BC于点E．点P为∠CAB角平分线上的一动点，过点P作PQ⊥BC于点H，交x轴于点Q；点F是直线BC上的一个动点． （1）当线段DE的长度最大时，求DF+FQ+

1PQ的最小值． 2（2）如图2，将△BOC沿BC边所在直线翻折，得到△BOC′，点M为直线BO′上一动点，将△AOC绕点O顺时针旋转α度（0°＜α＜180°）得到△A′OC′，当直线A′C′，直线BO′，直

线OM围成的图形是等腰直角三角形时，直接写出该等腰直角三角形的面积．

【答案】（1）253；（2）围成的三角形面积为：9279171272S42． S118，S2，S3，84284【解析】 （1）如图1，

当x＝0时，y＝3． 当y＝0时，x13,x233．

∴A(3,0)，B(33,0)，C(0,3)

∴AC⊥BC，且∠ABC＝30°，AC＝23，且yBC3x3 3设D（a，a2132332123，则E（a3）a2a,a2a3）

33333232a2aa3a ∴DE＝a﹣333∴当a＝﹣323332时，DE最大．此时D（33,15）

24∵AP平分∠CAB， ∴∠PAB＝

1∠CAB＝30°， 2∵PQ⊥BC， ∴∠PQB＝60°，

∴∠P＝∠PQB﹣∠PAB＝60°﹣30°＝30°＝∠PAB， ∵PQ⊥BC， ∴PQB＝60°， ∴AQ＝PQ，

11DFFQPQDFFQAQ， ∴＝22minmin将射线AB绕A顺时针旋转30°得到直线AM，过点D作AM的垂线于点M，交x轴于点Q′，则

1AQQM． 21DFFQAQ＝DM， 当Q运动到Q′时，有2min过D作DN⊥x轴于点N，可得△AQ′M与△DQ′N相似， DN＝Dy＝

1553 ，AN＝42∴Q′N＝535353 ，DQ′＝，AQ′＝AN﹣Q′N＝244153， AQ28253 8∴Q′M＝

∴DM＝DQ′+Q′M＝1253DFFQAQ． ＝DM＝2min8（2）第一种情况：如图2，

NH＝r＝

333，OQ＝2r＝3， ，QH＝3r＝22333933，QB＝333，QP＝QB3， 22222QN＝QH﹣NH＝PN＝PQ﹣QN＝6，S1＝18． 第二种情况，如图3，

QH＝3r333，HN＝r＝， 22393QB3， 222QB＝3+33，QP＝PN＝PQ﹣QH﹣HN＝3，S2第三种情况，如图4，

9； 2

ON＝939OM2ON2， ，＝OB222932， 22MQ＝OM﹣r＝S31171272 MQ2284第四种情况，如图5，

OB＝33，OM＝

3399322，MN＝OM﹣0N＝， OB，ON＝2r22222S419927MN22． 284第五种情况，如图6，

MN＝BN＝OBsin15°＝6233 4ON＝OBcos15°＝6233， 4OM＝ON+MN＝

92923，HM＝OM﹣r＝， 222S51HM2S3； 2第六种情况，如图7，

OM＝3399322，MN＝OM﹣ON＝， OB，ON＝2r22222S61MN2S4； 29171272；S2;S3284综上所述，围成的三角形面积为：S118;S499272． 843、如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B（A左B右），与y轴交于C，直线y＝﹣x+5经过点B、C． （1）求抛物线的解析式；

（2）点P为第二象限抛物线上一点，设点P横坐标为m，点P到直线BC的距离为d，求d与m的函数解析式；

（3）在（2）的条件下，若∠PCB+∠POB＝180°，求d的值．

【答案】（1）y＝﹣x2+x+5（2）d＝m2﹣【解析】

（1）∵直线y＝﹣x+5经过点B、C， ∴B（5，0），C（0，5），

m（﹣2＜m＜0）（3）

把B、C坐标代入y＝﹣x2+bx+c得到： ，

解得，

∴二次函数的解析式为y＝﹣x2+x+5；

（2）如图1中，作PE⊥BC于E，作PF∥AB交BC于F．

∵P（m，﹣m2+m+5）， ∵PF∥AB，

∴点F的纵坐标为﹣m2+m+5，

则有﹣m2+m+5＝﹣x+5，

∴x＝m2﹣m，

∴PF＝m2﹣m﹣m＝m2﹣m， ∵OB＝OC，∠BOC＝90°，

∴∠EFP＝∠OBC＝45°，∵PE⊥EF， ∴△PEF是等腰直角三角形，

∴d＝PE＝PF＝m2﹣m（﹣2＜m＜0）；

（3）如图2中，取BC的中点H，连接PH．

∵∠PCB+∠POB＝180°， ∴O、B、C、P四点共圆， ∴∠CPB＝∠COB＝90°，

∴PH＝BC＝，

∵P（m，﹣m2+m+5），H（，），

∴（m﹣）2+（﹣m2+m+5﹣）2＝， 整理得：m（m﹣5）（m2﹣m﹣2）＝0， 解得m＝0或5或﹣1或2， ∵P在第二象限， ∴m＝﹣1，

∴d＝m2﹣m＝．

4、在平面直角坐标系xOy中，对“隔离直线”给出如下定义：点P(x,m)是图形G1上的任意一点，点Q(x,n)是图形G2上的任意一点，若存在直线l：ykxb(k0)满足mkxb且nkxb，则称直线l：ykxb(k0)是图形G1与G2的“隔离直线”，如图1，直线l：

4yx2是函数y(x0)的图像与正方形OABC的一条“隔离直线”.

x

（1）在直线①y1x1，②y23x1，③y3x4，④y42x中，是图1函数

y4(x0)的图像与正方形OABC的“隔离直线”的为 . x（2）如图2，第一象限的等腰直角三角形EDF的两腰分别与坐标轴平行，直角顶点D的⊙O的半径为5，坐标是(2,1)，是否存在EDF与⊙O的“隔离直线”？若存在，求出此“隔离直线”的表达式：若不存在，请说明理由；

（3）正方形A1B1C1D1的一边在y轴上，其它三边都在y轴的左侧，点M(1,t)是此正方形的中心，若存在直线y2xb是函数yx2x3(4x0)的图像与正方形

2A1B1C1D1的“隔离直线”，请直接写出t的取值范围.

【答案】(1)①④;(2)y2x5;(3)t2或t8 【解析】

(1)根据的“隔离直线”的定义可知y42x，是图1函数y4(x0)的图象与正方形x4(x0)的图象与正方形OABCx4的“隔离直线”；而y23x1与y3x4不满足图1函数y(x0)的图象与正方形

xOABC的“隔离直线”；直线y1x1也是图1函数yOABC的“隔离直线”的条件； 故答案为：①④； (2)存在， 理由如下：

连接OD，过点D作DGx轴于点G，如图，

在Rt△DGO中，OD∵⊙O的半径为5， ∴点D在⊙O上．

DG2OG212225，

过点D作DH⊥OD交y轴于点H，

∴直线DH是⊙O的切线，也是△EDF与⊙O的“隔离直线”． 设直线OD的解析式为ykx， 将点D(2，1)的坐标代入得12k， 解得：k1， 2∵DH⊥OD，

∴设直线DH的解析式为y2xn， 将点D(2，1)的坐标代入得122n， 解得：n5，

∴直线DH的解析式为y2x5， ∴“隔离直线”的表达式为y2x5； (3)如图：

由题意点F的坐标为(4，5)，

当直线y2xb经过点F时，524b， ∴b3，

∴直线y2x3，即图中直线EF， ∵正方形A1B1C1D1的中心M(1，t)， 过点M1作M1G⊥y轴于点G， ∵点M1是正方形的中心，且M1G1， ∴B1C12M1G2，B1G1， ∴正方形A1B1C1D1的边长为2，

当x2时，y2x32231，

∴点C1的坐标是(21)，此时直线EF是函数yx22x3(4x0)的图象与正方形，A1B1C1D1的“隔离直线”， ∴点M1的坐标是(-1，2)， 此时t2；

当直线y2xb与yx2x3只有一个交点时，

2y2xb，消去y得到x24x3b0， 2yx2x3由0，可得443b0，

2解得：b7，

同理，此时点M的坐标为：(1，8)， ∴t8， 根据图象可知:

当t2或t8时，直线y2xb是函数yx2x3(0x4)的图象与正方形A1B1C1D1的“隔离直线”． 5、如图，已知直角坐标平面上的

．若抛物线

，

，

，且

，

，

2经过、两点．

求、的值；

将抛物线向上平移若干个单位得到的新抛物线恰好经过点，求新抛物线的解析式； 设当

中的新抛物的顶点点，为新抛物线上点至点之间的一点，以点为圆心画图，与轴和直线

都相切时，联结

、

，求四边形

的面积．

【答案】（1）【解析】

∵抛物线

；（2）新抛物线的解析式为

经过

、

，

;(3)5

∴，

解得：；

设抛物线向上平移个单位后得到的新抛物线恰好经过点， 则新抛物线的解析式为∵∴∵∵点∴解得：

，

；

相切于点，连接

、

，如图所示，

、

，

，

，∴点的坐标为在抛物线

，

． 上， ，

∴新抛物线的解析式为设

与轴相切于点，与直线

则有∴

，

，

， ，

∴四边形∵∴矩形∴

，

是矩形．

是正方形， ．

设点的横坐标为， 则有

，

．

上，

，

，

．

上点至点之间的一点， ， ．

得顶点的坐标为

，

，

，

，

∴点的坐标为∵点在抛物线∴解得：

∵为抛物线∴∴由∴

，点的坐标为，

∴

，

∴四边形

的面积为．

6、如图，在直角坐标系中，直线y=﹣x﹣1与x轴，y轴的交点分别为A、B，以x=﹣1为对称轴的抛物线y=x2+bx+c与x轴分别交于点A、C，直线x=﹣1与x轴交于点D． （1）求抛物线的解析式；

（2）在线段AB上是否存在一点P，使以A，D，P为顶点的三角形与△AOB相似？若存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；

（3）若点Q在第三象限内，且tan∠AQD=2，线段CQ是否存在最小值，如果存在直接写出最小值；如果不存在，请说明理由．

【答案】（1）y=x2+2x﹣3；（2）存在；点P坐标为（﹣1，）或（-，-）；

（3）存在，CQ最小值为.

【解析】（1）∵直线y=﹣x﹣1与x轴交于A点， ∴点A坐标为（﹣3，0）， 又∵直线x=﹣1为对称轴， ∴点C坐标为（1，0），

∴抛物线解析式为：y=（x+3）（x﹣1）=x2+2x﹣3； （2）存在；

由已知，点D坐标为（﹣1，0），点B坐标为（0，﹣1），

设点P的坐标为（a，﹣a﹣1）， ①当△AOB∽△ADP时，

，即

，

解得：a=﹣1；

点P坐标为（﹣1，）；

②当△AOB∽△APD时， 过点P作PE⊥x轴于点E， 则△APE∽△PED， ∴PE2=AE•ED，

∴（﹣a﹣1）2=（a+3）（﹣a﹣1），

解得a1=﹣3（舍去），a2=﹣，

∴点P坐标为（﹣，﹣）；

（3）存在，CQ最小值为；

如图，取点F（﹣1，﹣1），过点ADF作圆，则点E（﹣2，﹣∵tan∠AFD=2，

∴弧AFD（A、D除外）上的点都是满足条件的Q点， 则连CE交⊙E于点Q，则CQ为满足条件的最小值，

此时CE=，

）为圆心， ∵⊙E半径为，

∴CQ最小值为.

7、如图，直线y=﹣x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B．抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、B两点，与x轴的另一个交点为C． （1）求抛物线的解析式；

（2）点P是第一象限抛物线上的点，连接OP交直线AB于点Q．设点P的横坐标为m，PQ与OQ的比值为y，求y与m的关系式，并求出PQ与OQ的比值的最大值； （3）点D是抛物线对称轴上的一动点，连接OD、CD，设△ODC外接圆的圆心为M，当sin∠ODC的值最大时，求点M的坐标．

【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣x2+x+3；（2）y=﹣m2+m，PQ与OQ的比值的最大值

为；（3）点M的坐标为（﹣1，）或（﹣1，﹣）．

【解析】（1）在y=﹣x+3中，令y=0得x=4，令x=0得y=3， ∴点A（4，0）、B（0，3），

把A（4，0）、B（0，3）代入y=﹣x2+bx+c，得：

，

解得：，

∴抛物线解析式为y=﹣x2+x+3；

（2）如图1，过点P作y轴的平行线交AB于点E，

则△PEQ∽△OBQ，

∴，

∵=y、OB=3，

∴y=PE，

∵P（m，﹣m2+m+3）、E（m，﹣m+3），

则PE=（﹣m2+m+3）﹣（﹣m+3）=﹣m2+m，

∴y=（﹣m2+m）=﹣m2+m=﹣（m﹣2）2+， ∵0＜m＜3，

∴当m=2时，y最大值=，

∴PQ与OQ的比值的最大值为；

（3）如图，由抛物线y=﹣x2+x+3易求C（﹣2，0），对称轴为直线x=1， ∵△ODC的外心为点M， ∴点M在CO的垂直平分线上，

设CO的垂直平分线与CO交于点N，连接OM、CM、DM，

则∠ODC=∠CMO=∠OMN、MC=MO=MD，

∴sin∠ODC=sin∠OMN=又MO=MD，

，

∴当MD取最小值时，sin∠ODC最大， 此时⊙M与直线x=1相切，MD=2， MN=

∴点M（﹣1，﹣

=

， ），

）也符合题意；

）或（﹣1，﹣

）．

根据对称性，另一点（﹣1，

综上所述，点M的坐标为（﹣1，

8、在平面直角坐标系xOy中，抛物线yax21y与轴交于点A，将点A向右平bxa移2个单位长度，得到点B，点B在抛物线上． （1）求点B的坐标（用含a的式子表示）； （2）求抛物线的对称轴；

（3）已知点P(,)，Q(2,2)．若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，

121a求a的取值范围．

【答案】（1）点B的坐标为(2,)；（2）对称轴为直线x1;（3）当a与线段PQ恰有一个公共点. 【解析】

解：（1）∵抛物线与y轴交于点A，∴令x0，得y1a1时，抛物线21， a1a1∴点B的坐标为(2,)；

a11（2）∵抛物线过点A(0,)和点B(2,)，由对称性可得，抛物线对称轴为

aa021，故对称轴为直线x1 直线x2∴点A的坐标为(0,)，∵点A向右平移两个单位长度，得到点B， （3）∵对称轴x=1， ∴b-2a，yax2ax①a＞0时， 当x=2时，y21， a112，当yx=0或x=2， aa∴函数与AB无交点； ②a＜0时，

12， aa|a1|a|a1|a|a1|1x2时，a； 或x当

aaa21∴当a时，抛物线与线段PQ恰有一个公共点；

2当y=2时，ax2ax21（3）①当a0时，则0，思路引导图象可得：根据抛物线的对称性，抛物线不可能

a同时经过点A和点P；也不可能同时经过点B和点Q，所以，此时线段PQ与抛物线没有交点.

②当a0时，则10. a思路引导图象可得：根据抛物线的对称性，抛物线不可能同时经过点A和点P；但当点Q在点B上方或与点B重合时，抛物线与线段PQ恰有一个公共点，此时12,即 a1a

2综上所述，当a1时，抛物线与线段PQ恰有一个公共点. 29、如图，抛物线y＝ax2+bx+6与x轴交于点A（6，0），B（﹣1，0），与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式；

（2）若点M为该抛物线对称轴上一点，当CM+BM最小时，求点M的坐标．

（3）抛物线上是否存在点P，使△BCP为等腰三角形？若存在，有几个？并请在图中画出所有符合条件的点P，（保留作图痕迹）；若不存在，说明理由．

【答案】（1）y＝﹣x2+5x+6；（2）M（见解析 【解析】

57，）；（3）存在5个满足条件的P点，尺规作图22解：（1）将A（6，0），B（﹣1，0）代入y＝ax2+bx+6， 可得a＝﹣1，b＝5， ∴y＝﹣x2+5x+6；

（2）作点C关于对称轴x＝

5的对称点C'，连接BC'与对称轴交于点M， 2根据两点之间线段最短，则CM+BM＝C'M+BM＝C'B最小，

∵C（0，6）， ∴C'（5，6），

设直线BC'的解析式为y=kx＋b

将B（﹣1，0）和C'（5，6）代入解析式，得

0kb 65kbk1 解得：b1∴直线BC'的解析式为y＝x+1， 将x＝

57代入，解得y=

2257，）； 22∴M（

（3）存在5个满足条件的P点；尺规作图如下：

①若CB=CP时，以C为原点，BC的长为半径作圆，交抛物线与点P，如图1所示，此时点P有两种情况；

②若BC=BP时，以B为原点，BC的长为半径作圆，交抛物线与点P，如图2所示，此时点P即为所求；

③若BP=CP，则点P在BC的中垂线上，作BC的中垂线，交抛物线与点P，如图3所示，此时点P有两种情况； 故存在5个满足条件的P点．

10、在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx﹣8的图象与x轴交于A、B两点，与y轴

交于点C，直线y＝kx+（k≠0）经过点A，与抛物线交于另一点R，已知OC＝2OA，OB＝3OA．

（1）求抛物线与直线的解析式；

（2）如图1，若点P是x轴下方抛物线上一点，过点P做PH⊥AR于点H，过点P做PQ∥x

轴交抛物线于点Q，过点P做PH′⊥x轴于点H′，K为直线PH′上一点，且PK＝2PQ，点

I为第四象限内一点，且在直线PQ上方，连接IP、IQ、IK，记l＝当l取得最大值时，求出点P的坐标，并求出此时m的最小值．

PQ，m＝IP+IQ+IK，

（3）如图2，将点A沿直线AR方向平移13个长度单位到点M，过点M做MN⊥x轴，交DN，抛物线于点N，动点D为x轴上一点，连接MD、再将△MDN沿直线MD翻折为△MDN′（点M、N、D、N′在同一平面内），连接AN、AN′、NN′，当△ANN′为等腰三角形时，请直接写出点D的坐标．

【答案】（1）y＝x2﹣x﹣8，y＝x+；（2）P（5，），m的最小值为2；（3）D1

（，0），D2（﹣4，0），D3（，0），D4（，0）．

【解析】解（1）∵y＝ax2+bx﹣8与y轴的交点为C，令x＝0，y＝﹣8， ∴点C（0，﹣8）， ∴OC＝8，

∵OC＝2OA，OB＝3OA， ∴OA＝4，OB＝12， ∴A（﹣4，0）B（12，0），

将点A代入直线解析式可得0＝﹣4k+，

解得k＝，

∴y＝x+，

将点A和点B代入抛物线中，

，

解得a＝，b＝﹣，

∴y＝x2﹣x﹣8；

（2）设点P的坐标为（p，p2﹣p﹣8），﹣＝4， ∴抛物线的对称轴为直线x＝4，

∴点Q（8﹣p，p2﹣p﹣8）， ∴PQ＝2p﹣8， ∵PK＝2∴PK＝4

PQ， p﹣16

，

如图1所示，延长PK交直线AR于点M，则M（p，P+），

∴PM＝P+﹣（p2﹣p﹣8）＝﹣p2﹣p+， ∵∠PHM＝∠MH′A，∠HMP＝∠AMH′， ∴∠HPM＝∠MAH′，

∵直线解析式为y＝x+，，令x＝0，y＝，

∴OE＝， ∵OA＝4，

根据勾股定理得∴AE＝，

∴cos∠EAO＝＝,

∴cos∠HPM＝＝＝，

∴PH＝﹣p2+p+，

∵I＝PQ，

∴I＝（﹣p2+p+）﹣（2p﹣8）＝﹣（p﹣5）2+85，

∴当p＝5时，I取最大值此时点P（5，﹣）， ∴PQ＝2，PK＝4

，

如图2所示，连接QK，以PQ为边向下做等边三角形PQD，连接KD，在KD取I， 使∠PID＝60°，以PI为边做等边三角形IPF，连接IQ，

∵IP＝PF，PQ＝PD，∠IPQ＝∠FPD， ∴△IPQ≌△FPD（SAS）， ∴DF＝IQ，

∴IP+IQ+IK＝IF+FD+IK＝DK，此时m最小， 过点D作DN垂直于KP， ∵∠KPD＝∠KPQ+∠QPD＝150°， ∴∠PDN＝30°， ∵DP＝PQ＝2，

∴DN＝1，根据勾股定理得PN＝在△KDN中，KN＝5∴m的最小值为2

，

，

，DN＝1，根据勾股定理得KD＝2；

（3）设NM与x轴交于点J，

∵AM＝13，cos∠MAJ＝， ∴AJ＝12，根据勾股定理得MJ＝5， ∵OA＝4， ∴OJ＝8， ∴M（8，5），

当x＝8时，代入抛物线中，可得y＝﹣8， ∴N（8，﹣8），MN＝13，

在△AJN中，根据勾股定理得AN＝4，

∵点D为x轴上的动点，根据翻折，MN′＝13，所以点N′在以M为圆心，13个单位长度为半径的圆上运动，如图3所示，

①当N′落在AN的垂直平分线上时，

tan∠MNA＝＝，

∴tan∠MGJ＝， ∵MJ＝5，

∴JG＝，根据勾股定理得MG＝∵MD1为∠GMJ的角平分线，

，

∴，

∴D1J＝，

∴D1（，0），

∵MD4也为角平分线，

∴∠D1MD4＝90°，

根据射影定理得MJ2＝JD1•JD4，

∴JD4＝，

∴D4（，0）；

②当AN＝AN′时， D2与点A重合， ∴D2（﹣4，0）， ∵MD3为角平分线，

∴，

∴JD3＝，

∴D3（，0），

综上所述D1（，0），D2（﹣4，0），D3（，0），D4（，0）．