高等数学作业下-3 (答案)

第九章 习题答案

§9·1 二重积分的定义与性质

1 证明：任意分割闭区域D为1，2,,n（i同时表示i的面积），任取点

(i,i)i(i1,2,,n)。记maxdi（其中di为i直径）。分别做两个和

1in式且有

f(,)iii1nig(,)iii1ni，令

0取极限，既有

f(x,y)dg(x,y)d。

DD2 ⑴ 解： 0xy8xy0时成立）。tg2(xy)dD,0tg(xy)1,tg2(xy)tg3(xy)（等号仅当

tgD3(xy)d

，

故

⑵ 解：

(x,y)D时，

xy1,(xy)2(xy)323(xy)d(xy)d DD3⑴ 解：(x,y)D时，9x4y94349,36I100。 ⑵ 解：先求f(x,y)xy10在条件xy4的最值，

2222minf1022,maxf10224,8(52)(xy10)d8(52)

D4 解：

1r22xeD2y2cos(xy)dxdy1222ecos().r 2r e2cos()。(,)D。当r0时，(,)(0,0)

1 limr0r2

eDx2y2cos(xy)dxdy(,)(0,0)lime22cos()1

§9·2 二重积分的计算

§9·2·1二重积分的直角坐标计算

1 ⑴ 解：

f(x,y)ddxD011xx1f(x,y)dy

⑵ 解：

f(x,y)dD22dx2x4x2f(x,y)dy

42x2 ⑴ 解：

21dy1f(x,y)dx1dx1f(x,y)dydxyy212x1f(x,y)dy

⑵ 解：⑶解： 00dxsinx0f(x,y)dydy0101arcsinyarcsinyf(x,y)dx

dx11y2yx32xf(x,y)dydx2x322xf(x,y)

dy0f(x,y)dxdy1y22y3f(x,y)dx

11x3 ⑴ 解：原式D2xdxdy4xdxdy4dxD10xy0xdy2 3⑵ 解：原式 ⑶解：原式 10dyxycos(xy)dx1

y1xdxsindy00x3(1cos1)

⑷ 解： 原式eD1x2dxdyedxdy

D2y2 10dxexdydyeydye1

000x122(xy)2x21y2⑸ 解：原式⑹解：原式 11dxy[1xe1]dy2 3(Dxy2)d

2(xy)d(yx)d

D11D2 220dy1y2y(xy)dx120dx1x2x(yx)dy2(21) 234 证明：交换积分次序既得第一个式子， 左边baf(y)dy(xy)n2dx右边

yb§9·2·2二重积分的极坐标计算

1 ⑴ 解：原式 ⑵ 解：原式40d02sec0f()d

f(cos,sin)d

24d2acos2 ⑴ 解：原式 ⑵ 解：原式20d2acos03r3dra4

4x2y2222(2xy)dxdy x2y2222(xy2)dxdy223522dr(2r)dr dr(r2)dr000222cos93 ⑶ 解：原式dr3cossindr

0116 2 ⑷ 解：原式 ⑸ 解：原式3 S240d2132rdr

220drerdr0R4(1eR)

2cos2d2[dD042cos2cos2rdr2d4R2x20rdr]1

163R 34 V8DRxd8dx022R0R2x2dy§9·3 三重积分的计算

§9·3·1三重积分的直角坐标计算

1 ⑴ 解：

22dx4x24xdy2xy1002x2f(x,y,z)dz

f(x,y,z)dz

⑵ 解： ⑶ 解：

dx1111x21x21dy2x2y20x2y2dx1x2dyf(x,y,z)dz

2 解：：0x1,0y1(1x),0z1x2y 2xdz1 48 I10dx1(1x)20dy1x2y03解：原式1 24解：由对称性，原式zdvdxhhh2x22hxdy2hxy22zdz4h4

5解：原式20dyx2z21y2y2y2edxdz(1y)edy3(e1) 02§9·3·2三重积分的球面、柱面坐标计算

1解： I I20dd011f(2z2)dz

sec20dsind430f(r)r2dr

2 解： I20dd0122z2dz

220 I3解： I20dsincosdr4dr

0R00R22R420dd22dz

4R5 15 I0dsindr4dr2034解：原式222220dvxydvxyzdv 123 2012151d2sin2dr3drdsindr3dr2

0008125解：

x2dvxdxaa212b2c2ay2x243bcx(1)dxabc dydz2a15az2x2a2 故 原式6解：原式7解：I4abc(a2b2c2) 1520dd(2z)dz00342128

20dd1032zdz413 48解：I41zdzx2y2zdxdy21z2dz21

2cos9解：I20dsincosd0cos5r3dr

4222210解：以小球球心为原点建立坐标系，则小球：xyzr 大球：xyzR

2222 Vdvdvdv12r22R02r22R0dzx2y22Rzz2dxdyr2dz2Rrx2y2r2z2dxdy

r2r(2Rzz2)dzr(r2z2)dz()b3

34R2R211解：Iydy02x2z22yy222dxdzy(2yy)dy028 5t12解：If(x2y2z2)dvdsindf(r2)r2dr

0002 4t0r2f(r2)dr

22 故 原式4tf(t)

§9·4 重积分的应用

1 ⑴ 解： z S22zydxdy2dxdy x2y2 dS1zxdS2dxdy32

D⑵ 解：根据对称性，只需求落在第一象限那部分曲面的面积，所考虑曲面可写成：

1814y2y222dydz dS1zxzydydzx51239y9 在yoz面的投影：0zy,0y3

3y21814y2814y215dydzdydz9ln5 SdS222003349y9yDyz21122 ⑶解：1：z D1：xy1 S1dSdd

0021 2：z S212(xy2) D2：1x2y24 22201dSd221d(5522)

3 3：z4x2y2 D3：x2y24

S3dS32dxdy42

D3 SS1S2S3(1 2 ⑴ 解：Vdv10852) 33xy100xy42dxdy2dz2xy24(xy10)dxdy

x2y2410dxdy40

yx2⑵ 解：利用对称性可知，所求立体的体积为位于第一象限的立体体积的两倍， V2dvdy01yy21dx0dz63 8⑶解：V20dsind02(cos)301r2dr

33解：根据对称性整个球面的质量是上半球面质量的两倍， M222x2y2dS2x2y21zxzydxdy

D 2DRx2y2R2x2y2dxdy2d02RR2R220d2R3

4解：以球心为原点O，射线OP0为正x轴建立直角坐标系，则 P0(R,0,0)，球面 方程为：xyzR

2222 xxk[(xR)2y2z2]dv22k[(xR)2yz]dv

22Rxdv(x2yz2)dvR2dv2R 4 (R,0,0) 4'' 设球心为O，以P0为原点，P0O为正x轴建立直角坐标系， 则重心坐标为(0,0,5R) 45解：设圆柱体和上半球体区域分别为1和2圆柱体高h，

依题意，要使质心落在原点，只需

zdV0而

zdVzdVzdV

12 20ddzdzdsincosdrdr0h000a022a3a2h22a44

ha2

6 解：在球坐标系下球域写为：0r2acos, I0222202,02

r4dr325a 152d(xyz)dVsindacos0007 解：设密度为1，过原点的直线ykx(k0对应x轴，k对应y轴），则薄片上

任一点(x,y)到直线距离为

ykx1k2 故：

21x(ykx)(ykx)22860k2 Ikdd ddxdy2220x1k1k105(1k)DD2 因此：k0时既绕x轴转动惯量Ik 量Iy最大。

8解：由对称性知，FxFy0， Fz4最小，k时既绕y轴转动惯 15[K(za)dVxy(za)]222223dd002R02K(za)[(za)]232Ndz

2K(R(Ha)R2a2Haa)