(完整word版)2018年大学高等数学高数期末考试试卷及答案 (16)

填空题 (共5小题,每小题3分,共15分)

1．设x0时,etanxex与xn是同阶无穷小,则n_________3______； 2．设y112x，则y(6)(x)(2)66!(12x)7； 3．若曲线yax3bx2的拐点为（1, 3），则常数a32，b92；

14．曲线y(2x1)ex的渐近线方程为y2x1；

5.f(x)lnx在x01处带有皮亚诺型余项的n阶泰勒公式为(x1)12(x1)213(x1)3(1)n11n(x1)no((x1)n)．

二. 计算下列各题 (共4小题,每小题5分,共20分)

1．已知f(x)x2x|x|(x21)，指出函数的间断点及其类型．

x10,x21,x31为间断点……….2分

f(00)limx2xx0x(x21)1,f(00)limx2xx0x(x21)1,

f(10)x2x1x2x1xlim10x(x21)2,f(10)xlim10x(x21)2,

f(10)xlimx(x1)10x(x1)x1,f(10)xlimx2x10x(x21),………3分

从而x10为第一类跳跃间断点，x21为第一类可去间断点，x31为第二类无穷型间断点

………………………………………………………………………………..1分

x)lnx2a22．设函数f(,x1eb(x1)1,x1在点x1处可导，求a,b的值．

f1f10f10

从而f(1)0b(x1)xlim10lnx2a2xlim10e1,ln1a20,a0…………3分

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_____________ ________ f(1)limx10fxf1ln1x1lim1 x10x1x1bx1fxf1e1f(1)limlimb

x10x10x1x1由可导知f(1)f(1)f(1),b1……………………………………………………..2分

2arctanxln3．已知limxn用罗比达法则…….2分

x01x1xC0，试确定常数n和C的值．

n3,C2……….3分

4．lim(n114n1214n4214nn22)．

14x20dx…………3分

6……………………..2分

三. 解答下列各题 (共3小题,每小题6分,共18分) 1．由方程xy2xy0确定了隐函数yy(x)，求微分dy．

deylnx2xyeylnxlnxdyydlnx2dxdy0……………5分

即xlnxdyxyyy2xydx2dxdy0,dydx……………1分 yxx1xlnxxtln(1t)d2y2．求由参数方程所确定函数的二阶导数2． 32dxyttdy(3t2)(t1)……………3分 dxd2y(6t5)(t1)…………….3分 2tdx

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3．已知函数f(x)连续，g(x)t2f(tx)dt，求g'(x)．

0xg(x)(ux)2f(u)du………….3分

-x0

g'(x)2uf(u)du2x0xx0f(u)du………3分

四. 解答下列各题(共4小题,每小题6分,共24分)

1sinx1．dxsec2xtanxsecxdxtanxsecxc…….6 2cosx

2．arctan116x1dx．

22令x1u，则x1u，当x1时u0，当x16时u223，……2分

原式=

30arctanud1u33221u3arctanu0301udu……………3分

216u16u23……………………….1分 333013．dx．

1exe2x=limbb1exdx11x1b1 limarctanelimarctanebe2xe2bee44e1b4．已知三点M(1,2,1),A(2,3,1)和B(1,3,0),计算：(1)以MA,MB为邻边的平行四边形的面积；(2)求同时垂直于MA,MB的单位向量n0．

SMAMB{1,1,1}3…………3分 n03{1,1,1}……………………….3分 3

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五. 解答下列各题(共2小题,每小题6分,共12分) 1．求r2sin和r2cos2围成图形的公共部分的面积．

16142S(2sin)dcos2d………..4分

2026 =

23………………………………………2分 322．求由曲线yex,x1,x2及x轴所围成的平面图形绕y轴旋转所成立体的体积．

V2xf(x)dx=2xexdx…………4分

11222e2……………………………………2分

六. 证明下列各题(共2小题)

1．(本题6分)设函数f(x)在(,)上连续，利用定义证明函数F(x)f(t)dt在

0x(,)上可导，且F'(x)f(x)．

F(xx)F(x)=limxlimxn0x0xxxf(t)dtx，……………..2分

因为f(x)在(,)上连续，由积分中值定理得

F(xx)F(x)f()xf()，其中xx，01………..2分

x0xxlim再利用f(x)的连续性得

x0limf()f(x).故F'(x)f(x)………………………………….2分

2．(本题5分)设函数f(x)在[0,1]上连续，且f(x)dx0，xf(x)dx1，试证：

0011（1）存在 [0,1]，使得f()4；

（2）若f(x)在[0,1]上可导，则存在(0,1)，使得f'()4．

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1（1）1(x)f(x)dx02110x12f(x)dx，由积分第一中值定理的，存在

[0,1]，使得10x12111f(x)dxf()xdxf()，故存在 [0,1]，使

024得f()4……….3分

（2）由积分中值定理，存在c[0,1]，使得f(x)dxf(c)0.由拉格朗日中值定理，

01则存在(0,1)，使得f()f(c)…………………..2分

f'()(c)f'()，由（1）知f'()4.

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