中考数学压轴题 1

（2021·湖北）已知△ABC和△DEC都为等腰三角形，AB=AC，DE=DC,∠BAC=∠EDC= n°. （1）当n=60时，

①如图1，当点D在AC上时，请直接写出BE与AD的数量关系∶ ； ②如图2，当点D不在AC上时，判断线段BE与AD的数量关系，并说明理由； （2）当n=90时，

①如图3，探究线段BE与AD的数量关系，并说明理由； ②当BE//AC，AB=3√2，AD= 1时，请直接写出DC的长.

【分析】

（1）①直接观察即可。②根据SAS来证明全等即可。

（2）①由于图形发生变化，等量关系也随之变化。由于等腰直角三角形，因此易得为√2倍。全等不行，可以考虑用相似。也是利用边角关系进行证明。难度不大。

②本题只需写出结果，本小题还是有一定难度。知道AB，就知道了AC的长。而且已知AD的长。再求DC的长，则相当于解三角形了。如果知道∠DAC的度数即可。根据平行易得∠DAC的度数，构造直角三角形进行解三角形即可。

但是除了图3中给的情况之外，其实还有可能会出现另外一种情况，如下图所示：

此时AC比DC大，因此求出来的又是另外一种结果。 本题的难点在于分类讨论。

【答案】解∶（1）①当n =60时，△ABC和△DEC均为等边三角形，BC=AC,EC=DC, 又BE=BC-EC，AD=AC-DC,

BE=AD 故答案为∶BE=AD;

②BE =AD，理由如下∶当点D不在AC上时，

∠ACB=∠ACD+∠DCB=60°，∠DCE=∠BCE+∠DCB=60° ∠ACD= ∠BCE,

ACBC在△ACD和△BCE中，ACDBCE

DCEC△ACD  △BCE(SAS), AD=BE;

（2）①BE= 2AD，理由如下∶ 当n= 90时， 在等腰直角三角形DEC中∶

DC2sin450 EC2在等腰直角三角形ABC中∶

AC2sin450 BC2∠ACB=∠ACE+∠ECB=45°,∠DCE=∠ACE+∠DCA=45° ∠ECB=∠DCA

DCAC2在△DCA和△ECB中，ECBC2 DCAECBDCA∽ECB AD2 BE2AD BE2②DC=5或13，理由如下∶当点D在△ABC外部时，设EC与AB交于点F，如图所示∶

 AB=32,AD=1

由上可知∶AC=AB=32，BE=2AD=2， 又∵BE//AC，

∠EBF= ∠CAF=90°, 而么∠EFB=∠CFA， △EFB∽△CFA 

EFBFBE21 CFAFAC323 AF3BF， 而ABBFAF32  BF13232 44在Rt△EBF中∶EFBE2BF252152 443252 24422又∶CF=3EF=3EC=EF+CF=

525252（或EC=4EF=52） 442=5. 2在等腰直角三角形DEC中，DC=EC·cos45°=52× 当点D在△ABC内部时，过点D作DH⊥AC于H

AC=32,AD=1,∠DAC=45° AH= DH=

252 ，CH=AC-AH= 222225222CDDHCH2213 综上所述，满足条件的CD的值为5或13

中考数学压轴题分析：折叠与几何求值问题

（2021·襄阳）在△ABC中，∠ACB=90°，连接BE. （1）特例发现

如图1，当m =1，AE落在直线AC上时 . ①求证∶∠DAC=∠EBC; ②填空∶

ACm，D是边BC上一点，将△ABD沿AD折叠得到△AED，BCCD的值为___; CECG的CE（2）类比探究

如图2，当m ≠1，AE与边BC相交时，在AD上取一点G，使∠ACG=∠BCE ,CG交AE于点H. 探究值（用含m的式子表示）），并写出探究过程; （3）拓展运用

在（2）的条件下，当m =

2,D是BC的中点时，若EB•EH=6，求CG的长. 2 【分析】

（1）①根据翻折得到对应角相等，再利用直角三角形两锐角互余进行转化。 ②通过证明全等得到结论。

（2）根据（1）中证明角度相等的思路证明两个角相等，再加上条件中的一组角相等，进而得到相似，利用相似三角形的性质可以得到结论。

（3）在（2）的基础上面，可以得到AF与BE垂直，根据相似可以得到CG与AD垂直。那么根据比例关系即可得到所有边的比例关系。进而可以得到AG与CE是相等的。那么再根据比例关系，可以得到CG、EB与EH的长度。那么结论就不难求了。本题的关键还是怎么证明∠AGC为直角的问题。 【答案】解（1）①如图1，延长AD交BE于F，

由折叠知，∠AFB=90°=∠ACB，

∠DAC+∠ADC=∠BDF+∠EBC=90° ∠ADC= ∠BDF, ∠DAC=∠EBC;

②由①知，∠DAC=∠EBC， m =1, AC=BC,

∠ACD=∠BCE,

∽△ACD△BCE（ASA） CD=CE,

CDCE1 （2）如图2，延长AD交BE于F，由（1）①知，∠DAC=∠EBC

∠ACG=∠BCE, △ACG∽△BCE,

CGCEACBCm （3）由折叠知，∠AFB=90°，BF=FE，

点D是BC的中点， BD=CD,

DF是△BCE的中位线，DF//CE,

∠BEC=∠BFD=90°,∠AGC=∠ECG,∠GAH=∠CEA

由（2）知，△ACG∽△BCE，

∠AGC=∠BEC=90°，

ACCDAC12m2 2BCCGAGtanGACDCAC12 设CG=x，则AG=2x，BE=2x，

AG=CE,

△AGH△ECH（AAS），

AH=EH,GH=CH,

GH1x 2AG2GH23x 2在Rt△AGH中，根据勾股定理得，AHEB•EH=6,

2x• x3x6 22或x-2（舍） 即CG=2