高等数学下册B2试题2009级A-B卷

东华理工大学2009—2010学年第2学期 7、设D:(x2)2(y1)21，I123，(xy)dxdyI(xy)dxdy，则有 2DD高等数学BⅡ试题（A1）卷 题 号 （A）I1I2； (B) I1I2； (C) I1I2 ； （D）不能比较 答【 A 】 十一 十二 总分 8、已知a2,b一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 2，且ab2，则 ab 成 绩 阅卷人 (A) 1 (B) 2 (C) 2 (D) 22 答【 C 】 2一、 单项选择题(本大题分8小题, 每小题２分, 共16分) 二、填空题(本大题分8小题, 每小题3分, 共24分) 1、设zln(3xy2)，则dz=__________1、f(x,y)在一点的一阶偏导数存在是f(x,y)在该点连续的什么条件？ （A）充分 （B）必要 （C）充要 （D）既不是充分也不是必要 答【 D 】 32ydxdy 3xy23xy22z= ______________zey yx42、展开成x的幂级数是 21x（A） 3、yc1ec2e是微分方程 的通解． x2xn2n2n2nn2n（B） （C） （D） (1)xxx(1)x 答 【 B 】n2n2n1n12、设zz(x,y)由lnzxyetdt0确定，则23、使ab与ab垂直的负实数= .7 a(1,2,3),b(1,0,1)，4、幂级数1x3n()的收敛域为 .[1,5) n2n1y3y2y0yy0 答 【 C 】（A）y3y2y0（B）y2y3y0（C）（D） 4、设y1(x),y2(x)是某个非齐次线性微分方程的两个特解，则y1(x)y2(x) (1)n15、若级数收敛，则p .0 pnn16、y2y5y10的一个特解是 ．2 (A)．是对应齐次方程的特解 (B)．是该非齐次方程的特解 (C)．是该非齐次方程的通解 (D)．既不是齐次方程也不是非齐次方程的解 答【 A 】 d= .6 7、由二重积分的几何意义得到5、下列级数中不收敛的是 x2y2 12232113n(1)n1 答【 D 】8、yex是微分方程ypy6y0的一个特解，则另一个线性无关的特解是 ． （A） （B） （C） （D） ln(1)nn4nn1n(n2)n13n1n1ye6x

6、有且仅有一个间断点的函数是 （A）、

yx （B）、exln(x2y2) （C）、 （D）、arctanxy 答【 B 】 xxy说明：1.试题须用碳素墨水钢笔集中填在方格内，答题纸另附并装订于后，字迹须工整清晰；2.试题须经教研室或系（部）领导认真审核并签署本人代号；3.学生只须在第一页试题纸上填写姓名等

东华理工大学2009—2010学年第2学期 高等数学BⅡ试题（A2）卷 三、（本题6分) 求曲线xtcost,ytsint,zt上对应于t3nn!六、（本题6分) 判定数项级数的敛散性. nnn1点处的切线. 2解：比值审敛法 limun1nn3lim3()1 （4分） nunn1en解：t对应曲线上点(0,,) （2分） 222 该点处切线斜率为T(xt,yt,zt)t(22,1,1) （4分） 所以切线方程为 x2y2z2 （6分） 故发散. （6分） 七、（本题6分）已知F(xaz,ybz)0，求azzb. xy 解：FxF1，FyF2，FzaF1bF2 （3分） 四、（本题6分) 画出积分区域D： 解：用极坐标I2y4x2与x轴包围，并计算二重积分ydxdy. D所以F1Fz x=xFzaF1bF20dsind （3分） 0sind0201162dcos03 （6分） 3032FyF2z （5分） =yFzaF1bF2故a 八、（本题6分) 画出积分区域，交换该二次积分 五、（本题6分) 求微分方程yycotxsin2x的通解. 解：先解对应齐次方程yycotx0 分离变量zzb1 （6分） xy2xx2dx122xf(x,y)dy的积分次序. 解：（图略） dycotxdxycsinx （3分） ydx122xx22xf(x,y)dy=0dy2y111y2f(x,y)dx （6分） 常数变易，令yc(x)sinx，代入原方程c(x)sinxsin2x，得c(x)2sinxc （5分） 于是原方程通解为c(x)(c2sinx)sinx （6分）

说明：1.试题须用碳素墨水钢笔集中填在方格内，答题纸另附并装订于后，字迹须工整清晰；2.试题须经教研室或系（部）领导认真审核并签署本人代号；3.学生只须在第一页试题纸上填写姓名等

东华理工大学2009—2010学年第2学期 十一、 (本题6分) 已知zz(x,y)由方程ze2x3zsiny确定，求全微分dz. 解： 令F(x,y,z)ze2x3zsiny 则Fx2e2x3z，Fycosy，Fz13e2x3z （3分） 高等数学BⅡ试题（A3）卷 九、 (本题6分) 已知正项级数un12n和vn1n都收敛，证明级数uvn1nn是绝对收敛. un2解：un收敛，则lim0，故un收敛， nun1n1nFycosyFx2e2x3zzz于是 ，= （5分） = 13e2x3zxFz13e2x3zyFzcosy2e2x3zdx所以dz+dy （6分） 13e2x3z13e2x3z 也可以直接微分，利用微分形式不变性。 十二、 (本题6分)（1）普通班同学做：利用e的幂级数展开式求数项级数x同理， vn12n也收敛. （3分） 22而unvnunvn，由比较审敛法，unvn收敛， 2n1n1的和. n1n!所以 uvn1nn绝对收敛. （6分） 十、 (本题6分) 已知曲线yy(x)经过原点，且在原点处的切线与直线 2xy60平行，而y(x)满足微分方程 y2y5y0，求该曲线的方程. 解： 由题意，即解下列二阶齐线性微分方程初值问题 xn1（2）试验班同学做：求函数项级数的收敛域及和函数. n1n1xn1解：（1）e，所以当x1，有e及e1 （2分） n0n!n1n!n0n!xn1n1112e1 （6分） n1n!n1n!n1n!n1(n1)!n1n!y2y5y0 （2分） y(0)0,y(0)2 特征方程r2r50 特征根r1,212i 2 （2）由limnan1nlim1，收敛半径R1,通过讨论端点x1,1，知收敛域是[1,1). nann1xn1xn设s(x)，x[1,1),则xs(x)，逐项求导n1nn1nx1xn1dxln(1x) [xs(x)],得xs(x)01xn1xn1yex(c1cos2xc2sin2x) （4分） 代入初值条件，得c10,c21 所以，曲线方程为yesin2x （6分）

x1ln(1x)x[1,0)(0,1)所以 s(x)x x01说明：1.试题须用碳素墨水钢笔集中填在方格内，答题纸另附并装订于后，字迹须工整清晰；2.试题须经教研室或系（部）领导认真审核并签署本人代号；3.学生只须在第一页试题纸上填写姓名等

东华理工大学2009—2010学年第2学期 7、设D:(x2)2(y1)21，I123，(xy)dxdyI(xy)dxdy，则有 2DD高等数学BⅡ试题（B1）卷 题 号 （A）I1I2； (B) I1I2； (C) I1I2； （D）不能比较 答【 B 】 十一 十二 总分 8、已知a2,b一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 2，且ab2，则 ab 成 绩 阅卷人 (A) 2 (B) 22 (C) 2 (D) 1 答【 A 】. 2一、 单项选择题(本大题分8小题, 每小题２分, 共16分) 二、填空题(本大题分8小题, 每小题3分, 共24分) 323y21、设zln(2xy)，则dz=__________dxdy 33 2xy2xy（A）必要 （B）充分 （C）充要 （D）既不是充分也不是必要 答【 A 】 x2z4x2x2、设zz(x,y)由lnzetdt0确定，则= ______________ze y2、展开成x的幂级数是（ ） x21x3、a(1,2,3),b(1,1,0)，使ab与ab垂直的正实数= .7 （A） 3、yc1exc2ex是微分方程 的通解 1、f(x,y)在一点的一阶偏导数存在是f(x,y)在该点可微的什么条件？ n1 x （B）(1)x （C）x （D）(1)x 答 【 C 】2nn2n2nn2nn1n2n24、幂级数1(x2)n的收敛域为 . [1,5) n1n35、若级数(1)n1n1np发散，则p .0 （A）yy0 （B）yy0（C）yy0（D）yy0 答 【 B 】 6、y2y5y10的一个特解是 ．2 4、设y1(x),y2(x)是某个非齐次线性微分方程的两个特解，则y1(x)y2(x) 7 、由二重积分的几何意义得到x2d= . 12 y21342 (A)．是该非齐次方程的特解 (B)．是该非齐次方程的通解 (C)．是对应齐次方程的特解 (D)．既不是齐次方程也不是非齐次方程的解 答【 C 】 8、ye2x是方程ypy6y0的一个特解，则另一个线性无关的特解是 ． 5、下列级数中不收敛的是 2 113n(1)n1 答【 D 】（A）  （B） （C） （D） ln(1)nn4nn1n(n2)n13n1n1ye3x 6、有且仅有一个间断点的函数是 （A）、

yx （B）、 （C）、exln(x2y2) （D）、arctanxy 答【 C 】 xxy说明：1.试题须用碳素墨水钢笔集中填在方格内，答题纸另附并装订于后，字迹须工整清晰；2.试题须经教研室或系（部）领导认真审核并签署本人代号；3.学生只须在第一页试题纸上填写姓名等

东华理工大学2009—2010学年第2学期 高等数学BⅡ试题（B2）卷 三、（本题6分) 求曲线xtsint,ytcost,zt上对应于t2nn!六、（本题6分) 判定数项级数的敛散性. nnn1点处的切线. 2解：比值审敛法 limun1nn2lim2()1 （4分） nunn1en解：t对应曲线上点(,0,) （2分） 222 该点处切线斜率为T(xt,yt,zt)t(1,2故收敛. （6分） 七、（本题6分）已知F(axz,byz)0，求2,1) （4分） 所以切线方程为x 2y2z2 （6分） 1z1z. axby 解：FxaF1，FybF2，FzF1F2 （3分） 所以四、（本题6分) 画出积分区域D： 解：用极坐标I1y1x2与x轴围成区域，并计算二重积分Ixdxdy. DaF1Fz x=xFzF1F20dcosd （3分） 0FybF2z （5分） =yFzF1F2故  01cosd2dsin030 （6分） 030111z1z1 （6分） axby111y2或用对称性说明，也易得积分为0. 五、（本题6分) 求微分方程yytanxsin2x的通解. 解：先解对应齐次方程yytanx0 八、（本题6分) 画出积分区域，交换该二次积分 解：（图略） dy02yf(x,y)dx的积分次序. dy0111y22yf(x,y)dx= dx122xx22xf(x,y)dy （6分） 分离变量dytanxdxyccosx （3分） y常数变易，令yc(x)cosx，代入原方程c(x)cosxsin2x，得c(x)2cosxc （5分） 于是原方程通解为c(x)(c2cosx)cosx （6分）

说明：1.试题须用碳素墨水钢笔集中填在方格内，答题纸另附并装订于后，字迹须工整清晰；2.试题须经教研室或系（部）领导认真审核并签署本人代号；3.学生只须在第一页试题纸上填写姓名等

东华理工大学2009—2010学年第2学期 十一、 (本题6分) 已知zz(x,y)由方程ze3x2zcosy确定，求全微分dz. 解： 令F(x,y,z)ze3x2zcosy 则Fx3e3x2z，Fysiny，Fz12e3x2z （3分） 高等数学BⅡ试题（B3）卷 九、 (本题6分) 已知正项级数un12n和vn1n都收敛，证明级数uvn1nn是绝对收敛. un2解：un收敛，则lim0，故un收敛， nun1n1nFysinyFx3e3x2zzz于是 ，= （5分） = 12e3x2zxFz12e3x2zyFzsiny2e2x3zdx所以dz+dy （6分） 13e2x3z13e2x3z 也可以直接微分，利用微分形式不变性。 同理， vn12n也收敛. （3分） 22unvn而unvn，由比较审敛法，unvn收敛， 2n1十二、 (本题6分)（1）普通班同学做：利用e的幂级数展开式求数项级数x2n1的和. n!n1所以 uvn1nn绝对收敛. （6分） xn（2）试验班同学做：求函数项级数的收敛域及和函数. n0n1x1xn1解：（1）e，所以当x1，有e及e1 （2分） 十、 (本题6分) 已知曲线yy(x)经过原点，且在原点处的切线与直线2xy60平行，而y(x)满n0n!n1n!n0n!2n1n111223e1 （6分） n!n1n1n!n1n!n1(n1)!n1n!足微分方程 y2y2y0，求该曲线的方程. 解： 由题意，即解下列二阶齐线性微分方程初值问题 y2y2y0 （2分） y(0)0,y(0)2特征方程r2r20 特征根r1,21i 2 （2）由limnan1n1lim1，收敛半径R1,通过讨论端点x1,1，知收敛域是[1,1). nn2anxnxn1设s(x)，x[1,1),则xs(x)，逐项求导n0n1n0n1x1xn11dxln(1x) [xs(x)],得xs(x)01xn11xn0yex(c1cosxc2sinx) （4分） 代入初值条件，得c10,c22 所以，曲线方程为y2esin2x （6分）

x1ln(1x)x[1,0)(0,1)所以 s(x)x x01说明：1.试题须用碳素墨水钢笔集中填在方格内，答题纸另附并装订于后，字迹须工整清晰；2.试题须经教研室或系（部）领导认真审核并签署本人代号；3.学生只须在第一页试题纸上填写姓名等