选修2-1圆锥曲线与方程典型例题

典型题型讲练测

一、椭圆、双曲线与抛物线

1．椭圆 （一）与椭圆定义相关的典型题型 1-1．已知点A(2,0)，点B(2,0)，平面上的点P(x，y)满足：①PAPB6，则点P的轨2．双曲线 （一）与双曲线定义相关的典型题型 2-1．已知点A(2,0)，点B(2,0)，平面上的点P(x，y)满足：①PAPB2，则点P的轨迹方程为 ；②PAPB4，迹方程为 ；②PAPB2，则点则点P的轨迹为 ；③PA⊥PB，则P的轨迹方程为 ；④kPAkPB则P的轨迹方程为 ． 【总结】 1-2．已知动圆P与圆(x3)2y264相切，且过定点A(3,0)，则点P的轨迹方程为 ． 变式：动圆P与圆F1：(x3)y1外切，与圆F2：(x3)y81内切，则点P的轨迹方程为 ． xy1-3．已知点F1、F2是椭圆C：21（b0）4bB两的左右焦点，过点F2的直线与椭圆C交于A、A、B两点，则AF2BF2AB ． 22222214③PAPB4，P的轨迹方程为 ；则点P的轨迹为 ；④kPAkPB2，则P的轨迹方程为 ． ，【总结】 2-2．动圆P与圆F1：(x3)2y29外切，与圆F2：(x3)y1内切，则点P的轨迹方程22为 ． 2-3．已知点F1、F2是双曲线x24yb221（b0）的左右焦点，过点F1的直线与双曲线的左支交于点，则ABF1的周长为 ． x2 1-4．把椭圆25yb221的长轴AB分成8等分，过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于P1、【必修2-1圆锥曲线与方程—典型题型】第 1 页

P2、„„、P7七个点，F是椭圆的一个焦点，则7 2-4．若方程mx2(m22)y21表示双曲线，则i1PiF ． 1-5．若方程mx2(m22)y21表示椭圆，则m的取值范围是 ；若该方程表示焦点在m的取值范围是 ；若该方程表y轴上的椭圆，则m的取值范围示焦点在y轴上的双曲线，则m的取值范围是 ．若该方程表示的椭圆的准线⊥x轴，则m的取值范围是 ． 变式1：“mn0”是“方程mx2ny21表示焦点在y轴上的椭圆”的 条件． 变式2：椭圆mx2(m22)y21的离心率为则m ． 【总结】 1-6．已知椭圆的中心在原点．①经过点(3,2)和点(23,1)，则椭圆方程为 ；②435312是 ．若该方程表示的双曲线的准线⊥x轴，则m的取值范围是 ． 变式1：“m0,n0”是“方程mx2ny21表示焦点在x轴上的双曲线”的 条件． ，变式2：双曲线mx2(m22)y21的离心率为2，则m ． 【总结】 2-5．已知双曲线的中心在原点，且经过点(3,27)和点(62,7)，则双曲线方程为 ； （二）双曲线系方程 x2若椭圆的焦距为23，且过点(,则椭圆方)，程为 ． （二）椭圆系方程 1-7．已知椭圆C：椭圆的方程： ①与椭圆C有相同焦点且过点(2,方程为 ． ②与椭圆C有相同焦距且过点(32,32)的椭圆102)的椭圆9y261，根据下列条件求2-6．已知双曲线C：求双曲线的方程： x216y241，根据下列条件①与双曲线C有相同焦点且过点(32,2)的双曲线方程为 ． ②与双曲线C有相同焦距且过点(32,2)的双曲线方程为 ． 【必修2-1圆锥曲线与方程—典型题型】第 2 页

方程为 ． ③与椭圆C有相同离心率且过点(2,1)的椭圆方程为 ． 【总结】 （三）与椭圆第二定义相关的典型题型 1-8．方程(x1)(y2)22③与双曲线C有相同离心率且过点(32,2)的双曲线方程为 ． ④与双曲线C有相同渐近线且过点(32,2)的双曲线方程为 ． 【总结】 （三）与双曲线第二定义相关的典型题型 2-7．方程(x1)(y2)52xy表示的轨迹为 ． 2-8．点P是双曲线x252xy表示的22轨迹为 ．方程(x1)(y2)222xy5表示的轨迹16y291上一点，F是双曲为 ． 1-9．点P是椭圆x225y291上一点，F是椭圆的1线的左焦点，且OQ(OPOF)，OQ9，2则点P到该双曲线左准线的距离为 ． 1左焦点，且OQ(OPOF)，OQ4，则点2P到该椭圆左准线的距离为 ． （四）与双曲线焦半径、焦点弦、通径有关的题型 2-9．F是双曲线x2 （四）与椭圆焦半径、焦点弦、通径有关的题型 1-10．F是椭圆上．①若PFx24y231的左焦点，点P在椭圆4y2121的左焦点，点P在双曲32，则P的坐标为 ；②若线上．①若PF4，则P的坐标为 ；②若PF⊥x轴，则PF ；③若点P在双曲线的左支上，则PF的取值范围是 ． PF⊥x轴，则PF ；③PF的取值范围是 ． 1-11．椭圆x294y2 1上有n个不同的点P1、27 P2、„、Pn，其中P1、Pn分别是椭圆的右左顶点，椭圆的右焦点为F，数列PnF差数列，d[1,1是公差为d的等669668]，那么正整数n的最小、最大值分别为 ． 【必修2-1圆锥曲线与方程—典型题型】第 3 页

1-12．F是椭圆xa22yb221(a0,b0)的右焦2-10．F是双曲线xa22yb221(a0,b0)的右焦点，倾斜角为600的直线l过点F，与椭圆交于A、点，倾斜角为600的直线l过点F，与双曲线交于则椭圆的离心率为 ；A、B两点．①若AF4FB，则双曲线的离心B两点，AF2FB，如果AB 154，则椭圆的方程为 ． 率为 ；②若AF3BF，则双曲线的离心率为 ；③如果AB10，则双曲线的方程为 ． x21-13．F是椭圆4y231的右焦点，P1、P2、P32-11．F是双曲线C：x24y231的右焦点，P1、是椭圆上不同三点，且P1FP2P2FP3P3FP1，P2、P3是双曲线右支上不同三点，且P1FP2 则 1-14．F1、F2是椭圆C：x21P1F1P2F1P3F ． P2FP3P3FP1，则1P1F1P2F1P3F ． yb2241(0b2)的2-12．F1、F2是双曲线C：x24yb221(b0)的两个焦点，过F1的直线l与椭圆C交于A、B两点，左右焦点，过F1的直线l与双曲线C的左支交于若AF2BF2的最大值为5，则b ． 【总结】 （五）与椭圆焦点三角形有关的典型题型 1-15．F1、F2是椭圆C：xa22A、B两点，若AF2BF2的最小值为9，则b ． 【总结】 （五）与双曲线焦点三角形有关的典型题型 2-13．F1、F2是双曲线C：xa22y231(a2)的两y231(a0)的0个焦点，点P在椭圆上，若F1PF260，则0两个焦点，点P在双曲线上，若F1PF260，F1PF2的面积为 ，离心率的范围是 ． 则F1PF2的面积为 ． 1-16．椭圆C：xa22yb221(ab0)的两个焦点2-14．双曲线C：xa22yb221(a0,b0)的焦点是是F1、F2，P是椭圆C上一点，且PF12PF2，F1、F2，P是C上一点，且PF12PF2，则【必修2-1圆锥曲线与方程—典型题型】第 4 页

则离心率取值范围是 ． 变式1：F1(c,0)、F2(c,0)是椭圆C：221ab的左右焦点，若在椭圆C上存在点P使asinPF1F2csinPF2F1离心率取值范围是 ． x2y2xy变式1：F1(c,0)、F2(c,0)是双曲线C：221ab22的左右焦点，若在双曲线C上存在点P使asinPF1F2csinPF2F1，则该椭圆的离心率的，则该双曲线的离心率的取值范围是 ． 变式2：椭圆C：x2取值范围是 ． 16y2121的焦点是F1、F2，P变式2：双曲线C：x2y2121的焦点是F1、F2，是椭圆C上一点．①若PF1:PF25:3，则PF1F2的面积为 ；②若PF1F2的P是双曲线C上一点．①若PF1:PF23:2，则PF1F2的面积为 ；②若PF1F2的面积为3，则PF1PF2 ． 面积为123，则PF1PF2 ． x21-16．F1、F2是椭圆C：x24y231的左右焦点，变式3：双曲线C：9y2271的左右焦点分别是点P在椭圆上．①PF1PF2的范围是 ；F1、F2，P是双曲线C上一点，M(2,0)，若PM②PF1PF2的范围是 ． x2平分F1PF2，则PF2 ． xa22变式1：F1、F2是椭圆C：9y241的左右焦点，2-14．双曲线C：yb221(a0,b0)的左右点P在椭圆上，则cosF1PF2的最小值为 ． 焦点是F1、F2，点P是双曲线右支上异于顶点xa22变式2：F1、F2是椭圆C：yb221的左右焦点，23(a,0)的一点，动圆M是PF1F2的内切圆，则圆心M的轨迹方程为 ；动圆M与x轴切于，则椭点 ． 【总结】 （六）与双曲线的渐近线有关的典型题型 x2点P在椭圆上，若F1PF2的最大值为圆的离心率为 ． xy1-17．F1、F2是椭圆C：221(ab0)的ab221的渐近线方程为 ．双曲线 左右焦点，点P是椭圆上异于顶点(a,0)的一点，2-15．24【必修2-1圆锥曲线与方程—典型题型】第 5 页

y2动圆M与线段F1P的延长线、F1F2的延长线及PF2都相切，则圆心M的轨迹方程为 ；变式1：已知双曲线x2yb221（b0）的一条渐动圆M与x轴切于点 ． 【总结】 1-18．在椭圆x2近线为y2x，则b ． xa22变式2：已知双曲线32y291（a0）的一条渐近线为y45y2x，则a ． 201上求一点，使它与两焦点变式3：已知双曲线x2的连线互相垂直，这样的点的坐标为 ． 变式1：F1、F2是椭圆C：x29yb221（b0）的焦点到8y241的左右焦渐近线的距离为2，则双曲线的离心率为 ；若该双曲线的离心率为2，则以右焦点为圆心，且与渐近线相切的圆的面积为 ． 变式4：已知中心在原点的双曲线的一条渐近线是y2x，则双曲线的离心率为 ． 点，在C上满足PF1⊥PF2的点个数为 ． x2变式2：F1、F2是椭圆C：9y241的左右焦变式5：已知双曲线9y2m2x21(m0)的一个顶点到它的渐近线的距离为152点，点P在椭圆上，当F1PF2为钝角，则点P的横坐标的取值范围是 ． 变式3：F1、F2是椭圆C：221(ab0)ab的左右焦点，点P在椭圆上．①若F1PF2为锐角，则椭圆离心率的范围是 ；②若PF1F215，PF2F175，则椭圆离心率的00，则m ． y2x2y22-16．已知双曲线C：x41与直线l：yxt，求证：不论t取何值，直线l与双曲线C恒有两个不同的交点． 变式1：双曲线C：xa22yb221与直线l：yxt范围是 ；③若椭圆C上存在点P使恒有两个不同的交点，则双曲线C的离心率的取值范围是 ． PF1PF20，则椭圆离心率的范围是 ；22xy变式2：F是双曲线C：221的左焦点，斜④若满足PF1PF20的点P在椭圆的内部，则椭ab圆离心率的范围是 ． 【总结】 率为3的直线l过点F．①若直线l与双曲线C的左支有两个不同的交点，则双曲线C的离心率的取值范围是 ；②若直线l与双曲线C的左右两支各有一个交点，则双曲线C的离心率的取值范围是 ． 【总结】 【必修2-1圆锥曲线与方程—典型题型】第 6 页

（六）与椭圆离心率有关的典型题型 1-19．F1、F2是椭圆C：xa22（七）求双曲线离心率或离心率的范围的典型题型 2-17．已知双曲线C：xa22yb221(ab0)的yb221(a0,b0)过左右焦点，两准线与x轴的交点为M、N，若则椭圆的离心率的范围为 ． MN2F1F2，22点(2,3)，焦距为4，则离心率为 ；渐近线方程为 ． 22xyxy1-20．椭圆C：221(ab0)的四个顶点为A1、变式1：双曲线C：221(a0,b0)的左abab直线A1B2与直线B1FA2、B2，B1、F是右焦点，交于点T，线段OT与椭圆的交点M恰为OT的中点，则椭圆的离心率的范围为 ． 1-21．F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交椭圆C于点D，且BF2FD，则椭圆的离心率为 ． 右焦点分别为是F1、F2，点P在双曲线上，若PF1⊥PF2，且PF2F1300，则离心率为 ． xa22变式2：双曲线C：yb221(ba0)的半焦距为c，直线l过点(a,0)、(0,b)，且原点到直线lxy1-22．椭圆C：221(ab0)的右焦点为F，ab22的距离为34c，则离心率为 ． 其右准线与x轴的交点为A，在椭圆C上存在点则椭圆的离心P使线段AP的垂直平分线过点F，率为 ． 1-23．F1、F2是椭圆C：xa22变式3：中心在原点的双曲线的一条渐近线方程为x2y0，则离心率为 ． yb221(ab0)的变式4：中心在原点的双曲线的一条渐近线过点(4,2)，则离心率为 ． AF2与椭圆C分左右焦点，等边AF1F2的边AF1、别交于点B、C，且2BCF1F2，则椭圆的离心率为 ． 1-24．F1、F2是椭圆C：xa222-18．双曲线C：xa22yb221(a0,b0)的左右0焦点是F1、F2，过F1作倾斜角为30的直线交双yb221(ab0)的曲线的右支于点M，若MF2⊥x轴，则双曲线的离心率为 ． 变式1：双曲线C：xa22左右焦点，F1F22c，点A在椭圆上，且AF1⊥2x轴，若AF1AF2c，则椭圆的离心率的范围yb221(a0,b0)的两为 ． 变式：F1、F2是椭圆C：xa22个焦点是F1、F2，若F1、F2、P(0,2b)是正三角yb221(ab0)的形的三个顶点，则双曲线的离心率为 ． 变式2：双曲线C：xa22左右焦点，点P在椭圆上，且PF1PF2的最大值的yb221(a0,b0)的两【必修2-1圆锥曲线与方程—典型题型】第 7 页

取值范围是[c2,3c2]，其中c的离心率的范围为 ． 1-25．ABC内接于椭圆xa22ab，则椭圆22个焦点是F1、F2，若双曲线C上存在一点P满足：PF1:F1F2:PF24:3:2，则离心率为 ． xa22yb221(ab0)，点A2-19．F1、F2是双曲线C：yb221(a,b0)的左2是椭圆的上顶点，ABAC，若ABC的面积不大于 （七）椭圆中的最值问题 1-26．已知F1、F2分别是椭圆5x29y245的左右焦点，点P在椭圆上，A(1,1)、B(1,2)是定点．则PA32PF1的最小值为 ，此时点P的32b，则离心率的范围为 ． 2右焦点，P为双曲线左支上的一点，若PF2PF1的最小值为8a，则双曲线的离心率的范围为 ． 2-20．以AB为直径的圆内有一内接梯形ABCD，AB∥CD，一双曲线以A、B为焦点，且经过点C、D，当梯形ABCD的周长最大时，该双曲线的离心率为 ． （八）双曲线中的最值问题 2-21．已知F是双曲线7x29y263的左焦点，点则P在双曲线的右支上，A(5,1)，B(1,2)是定点．PA34PF的最小值为 ，此时点P的坐标坐标为 ；PAPF1的取值范围是 ；为 ；PAPF的取值范围是 ；PAPF1的取值范围是 ；PBPF1的PAPF的取值范围是 ；PBPF的取值范围是 ． 【总结】 221-27．实数x、y满足x4y4，则取值范围是 ． 【总结】 222-22．实数x、y满足x4y4，则xy2x的取值范围是 ；xy4y的取值范围是 ；2xy的2222xy2x的取值范围是 ；xy4y2222的取值范围是 ；2xy的取值范围是 ；xy1的取值范围是 ． 【总结】 取值范围是 ；2x3y6的取值范围是 ． 【总结】 【必修2-1圆锥曲线与方程—典型题型】第 8 页

二、曲线与方程

求轨迹方程的主要方法：直接法，定义法，相关点法（代入法），参数法，交轨法，待定系数法等．

1．已知点A(0,1)，B在直线y3上，点M满足MB∥OA，MAABMBBA，则点M的轨迹方程为 ．

变式1：点P到点F(3,0)的距离的4倍与它到直线x2的距离的3倍之和记为d，当点P运动时，

d恒等于点P的横坐标与18之和，则点P的轨迹C为 ．

变式2：已知定点A(1,0)，F(2,0)，定直线l：x12，不在x轴上的动点P与点F的距离是它到

直线l的距离的2倍，则动点P的轨迹方程为 ．

2．M(2,0)和N(2,0)是平面上的两点，动点P满足PMPN6，则点P的轨迹方程为 ；若动点Q满足QMQN22，则点Q的轨迹方程为 ．

变式1：动圆P与定圆C：(x2)2y21外切，与定直线l：x1相切，则点P的轨迹方程为 ．

xa22变式2：F1、F2是椭圆C：

yb221(ab0)的左右焦点，点P在椭圆上，过焦点F2向F1PF2的

外角平分线作垂线，垂直为D，并延长F2D交F1P于点Q，则点D的轨迹方程为 ；点

Q的轨迹方程为 ．

变式3：F1、F2是双曲线的左右焦点，点P在双曲线上（不是顶点），过焦点F1引F1PF2的平分线的垂线，垂直为Q，并延长F2D交F1P于点Q，则点Q的轨迹方程为 ．

变式4：在正方体ABCDA1B1C1D1中，点P是侧面BCC1B1内一动点，若点P到直线BC与到直线

C1D1的距离相等，则动点P的轨迹为 ．

变式5：正三棱锥SABC中，侧面SAB与底面ABC所成的锐二面角为，顶点P在侧面SAB内，

PQ⊥底面ABC，垂足为Q，若PQPSsin，则动点P的轨迹为 ．

变式6：线段AB的长度为定值，A，B，C，若ABC的面积为定值S，则点C的轨迹为 ．

变式7：已知直线l、m是两条互相垂直的异面直线，两异面直线间的距离为定值d，过直线l作平面

，使m∥，点P是平面内一动点，点P到直线l、m的距离分别为d1和d2，若d1d2，则点P的轨迹为 ．

3．已知A为椭圆

x225y2161上的点，点B(2,1)为定点，若AP2PB，则点P的轨迹方程为 ．

C在抛物线yx上，变式1：则ABC的重心G的轨迹方程为 ． A(1,1)、B(2,4)是两个定点，

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2变式2：设0，点A(1,1)，点B在抛物线yx上，点Q满足BQQA，经过点Q与x轴垂直

2的直线交抛物线与点M，点P满足QMMP，则点P的轨迹方程为 ．

变式3：椭圆的中心为原点O，离心率e（Ⅰ）求该椭圆的标准方程；

，一条准线的方程为x．

uuuruuuruuur（Ⅱ）设动点P满足：OPOMON，其中M,N是椭圆上

的点，直线OM与ON的斜率之积为，问：是否存在两个定点

F,F，使得PFPF为定值？若存在，求F,F的坐标；若不存

在，说明理由．

4．过点M(0,1)的直线与椭圆x2x241交于A、B两点，点O是坐标原点，点P满足

1OP(OAOB)，则动点P的轨迹方程为 ．

2变式1：已知圆C：x2y22m2x2(2m1)ym44m25m10，则圆心C的轨迹方程为 ．

变式2：已知圆C：xy2(t)x2(t)y2ttt221122t210（t0），则圆心C的轨迹方程

为 ．

5．过点M(0,p)作直线l与抛物线x22py(p0)交于A、B两点，分别过点A、B作抛物线的两条切线l1和l2，且l1和l2相较于点P．

（Ⅰ）求证：直线l1和l2的斜率的乘积为定值； （Ⅱ）求点P的轨迹方程． 变式：已知双曲线

x22y1的左右顶点为A1、A2，点P(x0,y0)和Q(x0,y0)是双曲线上不同的

2两个动点，则直线A1P和直线A2Q的交点E的轨迹方程为 ．

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