归纳对数函数易错点

对数函数是高中数学三大基本函数之一．初学者在解答对数问题时，由于对概念理解不深，运算法则掌握不准，特别容易忽视法则成立的条件与题目的隐含条件，从而导致各种错误，下面举几例剖析如下。

易错点1．忽略已知式子的限制条件

【易错点辨析】若对数式中含有字母，则一定要保证字母的值使对数式有意义，即底数大于0且不等于1,真数大于0．不要忽略这些限制条件．

例1．已知函数y=f(x)，且lg(lgy)=lg3x+lg(3-x)． (1)求f(x)的表达式及定义域； (2)求f(x)的值域．

错解：(1)因为lg(lgy)＝1g3x+lg(3-x)， 所以lg(lgy)=lg[3x·(3-x)]，所以1gy=3x(3-x)， 所以y103x(3x)103x29x(xR)． 2727， 44274(2)因为3x·(3-x)=3(x)所以函数yf(x)103x29x322的值域为(,10]．

点拨：错解中忽略了所给式子的限制条件，所求的函数的定义域必须使原式有意义，不能仅根据去掉对数符号后的解析式去确定函数的定义域．

正解:(1)因为lg(lgy)=1g3x+lg(3-x)，

x0,0x3,所以3x0,解得

y1.lgy0,因为lg(lgy)=lg[3x·(3-x)]，所以1gy=3x·(3-x)， 所以yf(x)103x(3x)103x其中032227,0x3, 42727所以03x9x,所以1y104，

42即f(x)的值域为(1,10274]．

易错点2． 求单调区间时易忽略定义域

【易错点辨析】在讨论函数的性质时要先求其定义域，以免使所求的范围无意义或使所求的范围扩大．

例2．求函数ylog2(x5x6)的单调区间． 错解：设ux5x6， 因为y=log2u在定义域内为增函数，

22515ux25x6(x)2在(,]上为减函数，

2425在(,)上为增函数,

252所以函数ylog2(x5x6)在(,)上为增函数，

25在(,]上为减函数，

255即其增区间为(,)，减区间为(,]．

22点拨：产生错解的原因是忽略了x5x60，即忽略了函数的定义域．事实上，应先求出定义域，再在定义域内研究单调区间．

正解：设ux5x6， 由x5x60得x＞3或x<2, 所以函数的定义域为(-∞，2)∪(3，+∞)． 又因为y=log2u在其定义域内为增函数，

且ux5x6在（一∞,2)上为减函数，在(3，+∞）上为增函数， 所以函数ylog2(x5x6)在(-∞,2)上是减函数， 在(3，+∞)上是增函数．

所以其单调减区间为（一∞，2），单调增区间为（3，+∞）．

易错点3．利用对数函数的有关性质时没有注意底数对单调性的影响,忽视真数大于0 【易错点辨析】解决与对数函数有关的问题，首先应保证真数大于零，底数大于零且不等于1．对数函数的单调性取决于底数与1的大小关系．

22222例3．已知f(x)＝loga(x2-3x+2)，g(x)=loga(2x2-5x+2)(a>0,且a≠1)，若f(x)＞g(x)，求x的取值范围．

错解：∵f (x)＞g(x)，

∴loga(x2-3x+2)＞loga(2x2-5x＋2）， 故x2-3x+2>2x2-5x+2， 即x2-2x<0，∴0点拨：产生错解的原因有两点：一是忽略了底数a的取值影响x的取值；二是忽略了真数必须大于0．

x23x20,2正解：当a>1时，等价于2x5x20,

x23x22x25x2,x2或x1,11即x2或x,∴0220x2,x23x20,2当0x23x22x25x2,x2或x1,1即x2或x,∴x>2或x<0．

2x2或x0,综上，当a＞1时，x的取值范围为01；当02或x<0． 24．忽略ylogax(a0,且a1)中真数大于0这一前提条件

【易错点辨析】讨论和对数函数有关的复合函数的单调性及函数值变化情况时忽略在定义域前提条件下进行．

例4．求函数ylog0.3(4x1)的定义域． 错解：∵log0．3(4x-1)≥0，∴4x-1≤1，∴x∴函数定义域为{x|x1． 21}． 2点拨：在log0．3(4x-1)≥0中前提是4x-1>0． 正解：要使函数有意义，必须

4x10,4x10,11即解得x． 42log0.3(4x1)0.4x11.∴函数的定义是{x|

11x}． 42