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2016年高考文科数学全国2卷试题及答案(Word版)

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2015年高考理科数学试卷全国卷2(解析版) 2016年普通高等学校招生全国统一考试文科数学

注意事项:

一、 选择题:本大题共12小题。每小题5分,在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的。

2,,3}B{x|x29},则AB (1)已知集合A{1,(A){2,1,0,1,2,3} (B){2,1,0,1,2} (2)设复数z满足zi3i,则z=

(A)12i(B)12i(C)32i(D)32i (3) 函数y=Asin(x)的部分图像如图所示,则

(C){1,2,3}

(D){1,2}

(A)y2sin(2x)(B)y2sin(2x)

6 3(C)y2sin(2x+)(D)y2sin(2x+)

6 3(4) 体积为8的正方体的顶点都在同一球面上,则该球面的表面积为 (A)12(B)

32(C)(D) 3(5) 设F为抛物线C:y2=4x的焦点,曲线y=(A)

k(k>0)与C交于点P,PF⊥x轴,则k= x13(B)1 (C)(D)2 2243(B)−(C)3(D)2 34(6) 圆x2+y2−2x−8y+13=0的圆心到直线ax+y−1=0的距离为1,则a= (A)−

(7) 如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积为 (A)20π(B)24π(C)28π(D)32π

(8) 某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现,红灯持续时间为40秒.若一

名行人来到该路口遇到红灯,则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为 (A)

5373(B)(C)(D)

881010(9)中国古代有计算多项式值得秦九韶算法,右图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图,若输入的a为2,2,5,则输出的s=

(A)7 (B)12 (C)17 (D)34

(10) 下列函数中,其定义域和值域分别与函数y=10lgx的定义域和值域相同的是

页脚内容 2015年高考理科数学试卷全国卷2(解析版) (A)y=x(B)y=lgx(C)y=2x(D)y1 x(11) 函数f(x)cos2x6cos((A)4(B)5

πx)的最大值为 2(C)6 (D)7

(12) 已知函数f(x)(x∈R)满足f(x)=f(2-x),若函数y=|x2-2x-3| 与y=f(x) 图像的交点为(x1,y1),(x2,y2),…,

(xm,ym),则

x=

ii1

m

(A)0 (B)m (C) 2m (D) 4m 二.填空题:共4小题,每小题5分.

(13) 已知向量a=(m,4),b=(3,-2),且a∥b,则m=___________.

xy10(14) 若x,y满足约束条件xy30,则z=x-2y的最小值为__________

x30(15)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cosA,cosC,a=1,则b=____________.

135(16)有三张卡片,分别写有1和2,1和3,2和3. 甲,乙,丙三人各取走一张卡片,甲看了乙的卡片后说:“我与乙的卡片上相同的数字不是2”,乙看了丙的卡片后说:“我与丙的卡片上相同的数字不是1”,丙说:“我的卡片上的数字之和不是5”,则甲的卡片上的数字是________________. 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (17)(本小题满分12分)

等差数列{an}中,a3a44,a5a76

(I)求{an}的通项公式; (II)设

bn=[

an],求数列{

bn}的前10项和,其中[x]表示不超过x的最大整数,如[0.9]=0,[2.6]=2

(18)(本小题满分12分)

某险种的基本保费为a(单位:元),继续购买该险种的投保人称为续保人,续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下:

随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况,得到如下统计表:

页脚内容 2015年高考理科数学试卷全国卷2(解析版)

(I)记A为事件:“一续保人本年度的保费不高于基本保费”。求P(A)的估计值; (II)记B为事件:“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”. 求P(B)的估计值;

(III)求续保人本年度的平均保费估计值.

(19)(本小题满分12分)

如图,菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O,点E、F分别在AD,CD上,AE=CF,EF交BD于点H,将DEF沿EF折到D'EF的位置.

(I)证明:ACHD'; (II)若AB5,AC6,AE积.

(20)(本小题满分12分)

已知函数f(x)(x1)lnxa(x1).

(I)当a4时,求曲线yf(x)在1,f(1)处的切线方程; (II)若当x1,时,f(x)>0,求a的取值范围.

(21)(本小题满分12分)

5,OD'22,求五棱锥D'ABCEF体4x2y21的左顶点,已知A是椭圆E:斜率为kk>0的直线交E于A,M两点,点N在E上,MANA.

43(I)当AMAN时,求AMN的面积 (II)当2AMAN时,证明:3k2.

请考生在第22~24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.

(22)(本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲

页脚内容 2015年高考理科数学试卷全国卷2(解析版) 如图,在正方形ABCD中,E,G分别在边DA,DC上(不与端点重合),且DE=DG,过D点作DF⊥CE,垂足为F.

(Ⅰ)证明:B,C,G,F四点共圆;

(Ⅱ)若AB=1,E为DA的中点,求四边形BCGF的面积.

(23)(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy中,圆C的方程为(x+6)2+y2=25.

(Ⅰ)以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,求C的极坐标方程;

x(Ⅱ)直线l的参数方程是

ytcosα,(t为参数),l与C交于A,B两点,ABtsinα,10,求l的斜率.

(24)(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲

已知函数f(x)(Ⅰ)求M;

(Ⅱ)证明:当a,bM时,ax12x1,M为不等式f(x)22的解集.

b1ab.

页脚内容 2015年高考理科数学试卷全国卷2(解析版)

2016年普通高等学校招生全国统一考试文科数学答案

第Ⅰ卷

一. 选择题

(1)【答案】D (5)【答案】D (9)【答案】C

(2)【答案】C (6) 【答案】A

(3) 【答案】A (7) 【答案】C

(4) 【答案】A (8) 【答案】B

(10) 【答案】D (11)【答案】B (12) 【答案】B

二.填空题

(13)【答案】6

(14)【答案】5

(15)【答案】

2113

(16)【答案】1和3

三、解答题

(17)(本小题满分12分) 【答案】(Ⅰ)an【解析】

试题分析:(Ⅰ) 根据等差数列的性质求a1,d,从而求得an;(Ⅱ)根据已知条件求bn,再求数列bn的前10项和.

试题解析:(Ⅰ)设数列an的公差为d,由题意有2a15d4,a15d3,解得a11,d所以an的通项公式为an(Ⅱ)由(Ⅰ)知bn当n=1,2,3时,12n3;(Ⅱ)24. 52, 52n3. 52n3, 52n32,bn1; 52n3当n=4,5时,23,bn2;

52n3当n=6,7,8时,34,bn3;

5页脚内容 2015年高考理科数学试卷全国卷2(解析版) 当n=9,10时,42n35,bn4, 5所以数列bn的前10项和为1322334224. 考点:等茶数列的性质,数列的求和. 【结束】

(18)(本小题满分12分) 【答案】(Ⅰ)由式求解. 【解析】 试题分析:

试题解析:(Ⅰ)事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2.由所给数据知,一年内险次数小于2的频率为

60503030求P(A)的估计值;(Ⅱ)由求P(B)的估计值;(III)根据平均值得计算公20020060500.55, 200故P(A)的估计值为0.55.

(Ⅱ)事件B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.由是给数据知,一年内出险次数大于1且小于4的频率为

30300.3, 200故P(B)的估计值为0.3. (Ⅲ)由题所求分布列为: 保费 频率 0.85a 0.30 a 0.25 1.25a 0.15 1.5a 0.15 1.75a 0.10 2a 0.05 调查200名续保人的平均保费为

0.85a0.30a0.251.25a0.151.5a0.151.75a0.302a0.101.1925a,

因此,续保人本年度平均保费估计值为1.1925a. 考点:样本的频率、平均值的计算. 【结束】

(19)(本小题满分12分) 【答案】(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ)【解析】

试题分析:(Ⅰ)证AC//EF.再证AC//HD.(Ⅱ)证明ODOH.再证OD平面ABC.最后呢五棱

页脚内容 69. 42015年高考理科数学试卷全国卷2(解析版) 锥D'ABCEF体积.

试题解析:(I)由已知得,ACBD,ADCD.又由AECF得

AECF,故AC//EF. ADCD

由此得EFHD,EFHD,所以AC//HD.. (II)由EF//AC得

OHAE1. DOAD4由AB5,AC6得DOBO所以OH1,DHDH3.

AB2AO24.

于是ODOH(22)19DH,故ODOH.由(I)知ACHD,又ACBD,BD所以AC平面BHD,于是ACOD. 又由ODOH,AC又由

22222

HDH,

OHO,所以,OD平面ABC.

EFDH9得EF. ACDO211969五边形ABCFE的面积S683.

2224所以五棱锥D'ABCEF体积V16923222. 342考点:空间中的线面关系判断,几何体的体积. 【结束】

(20)(本小题满分12分)

【答案】(Ⅰ)2xy20.;(Ⅱ),2.. 【解析】

试题分析:(Ⅰ)先求定义域,再求f(x),f(1),f(1),由直线方程得点斜式可求曲线yf(x)在(1,f(1))处的切线方程为2xy20.(Ⅱ)构造新函数g(x)lnx解.

试题解析:(I)f(x)的定义域为(0,).当a4时,

a(x1),对实数a分类讨论,用导数法求x1页脚内容 2015年高考理科数学试卷全国卷2(解析版) f(x)(x1)lnx4(x1),f(x)lnx切线方程为2xy20.

13,f(1)2,f(1)0.曲线yf(x)在(1,f(1))处的x(II)当x(1,)时,f(x)0等价于lnx令g(x)lnxa(x1)0. x1a(x1),则 x112ax22(1a)x1g(x),g(1)0, 22x(x1)x(x1)(i)当a2,x(1,)时,x2(1a)x1x2x10,故g(x)0,g(x)在x(1,)上单调递增,因此g(x)0; (ii)当a2时,令g(x)0得

22x1a1(a1)21,x2a1(a1)21,

由x21和x1x21得x11,故当x(1,x2)时,g(x)0,g(x)在x(1,x2)单调递减,因此g(x)0. 综上,a的取值范围是,2. 考点:导数的几何意义,函数的单调性. 【结束】

(21)(本小题满分12分) 【答案】(Ⅰ)【解析】

试题分析:(Ⅰ)先求直线AM的方程,再求点M的纵坐标,最后求AMN的面积;(Ⅱ)设Mx1,y1,,将直线AM的方程与椭圆方程组成方程组,消去y,用k表示x1,从而表示|AM|,同理用k表示|AN|,再由2AMAN求k.

试题解析:(Ⅰ)设M(x1,y1),则由题意知y10. 由已知及椭圆的对称性知,直线AM的倾斜角为又A(2,0),因此直线AM的方程为yx2.

144;(Ⅱ)4932,2.

, 4页脚内容 2015年高考理科数学试卷全国卷2(解析版) x2y21得7y212y0, 将xy2代入431212,所以y1. 7711212144因此AMN的面积SAMN2. 27749解得y0或yx2y21得 (2)将直线AM的方程yk(x2)(k0)代入43(34k2)x216k2x16k2120.

121k216k2122(34k2)2由x1(2)得x1,故|AM|1k|x12|. 22234k34k34k12k1k21由题设,直线AN的方程为y(x2),故同理可得|AN|.

k43k2由2|AM||AN|得

322k,即4k36k23k80. 2234k43k22设f(t)4t6t3t8,则k是f(t)的零点,f'(t)12t12t33(2t1)0, 所以f(t)在(0,)单调递增,又f(3)153260,f(2)60, 因此f(t)在(0,)有唯一的零点,且零点k在(3,2)内,所以3k2. 考点:椭圆的性质,直线与椭圆的位置关系. 【结束】

请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号 (22)(本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲 【答案】(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ)【解析】

试题分析:(Ⅰ)证DGFCBF,再证B,C,G,F四点共圆;(Ⅱ)证明RtBCGRtBFG,四边形

1. 2BCGF的面积S是GCB面积SGCB的2倍.

试题解析:(I)因为DFEC,所以DEFCDF,

页脚内容 2015年高考理科数学试卷全国卷2(解析版) 则有GDFDEFFCB,DFDEDG, CFCDCB所以DGFCBF,由此可得DGFCBF, 由此CGFCBF180,所以B,C,G,F四点共圆.

(II)由B,C,G,F四点共圆,CGCB知FGFB,连结GB, 由G为RtDFC斜边CD的中点,知GFGC,故RtBCGRtBFG, 因此四边形BCGF的面积S是GCB面积SGCB的2倍,即

0111S2SGCB21.

222

考点:三角形相似、全等,四点共圆 【结束】

(23)(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程 【答案】(Ⅰ)12cos110;(Ⅱ)【解析】

试题分析:(I)利用xy,xcos可得C的极坐标方程;(II)先将直线l的参数方程化为普通方程,再利用弦长公式可得l的斜率.

试题解析:(I)由xcos,ysin可得C的极坐标方程12cos110. (II)在(I)中建立的极坐标系中,直线l的极坐标方程为(R) 由A,B所对应的极径分别为1,2,将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得

2222215. 3212cos110.

页脚内容 2015年高考理科数学试卷全国卷2(解析版) 于是1212cos,1211,

|AB||12|(12)2412144cos244,

2由|AB|10得cos315,tan, 83所以l的斜率为1515或. 33考点:圆的极坐标方程与普通方程互化,直线的参数方程,点到直线的距离公式. 【结束】

(24)(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲 【答案】(Ⅰ)M{x|1x1};(Ⅱ)详见解析. 【解析】

试题分析:(I)先去掉绝对值,再分x1111,x和x三种情况解不等式,即可得;(II)2222采用平方作差法,再进行因式分解,进而可证当a,b时,ab1ab.

12x,x,211试题解析:(I)f(x)1,x,

2212x,x.2当x1时,由f(x)2得2x2,解得x1; 2当11x时,f(x)2; 221时,由f(x)2得2x2,解得x1. 2当x所以f(x)2的解集M{x|1x1}.

(II)由(I)知,当a,bM时,1a1,1b1,从而

(ab)2(1ab)2a2b2a2b21(a21)(1b2)0,

页脚内容 2015年高考理科数学试卷全国卷2(解析版) 因此|ab||1ab|.

考点:绝对值不等式,不等式的证明. 【结束】

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