《高等代数》期末考试题A

3512345 ， D2=5D10，则D=1O200OD2=_____________。

2、四阶方阵A、B，已知A=

11，且B=2A-12A，则B=_____________。 16323、三阶方阵A的特征值为1，-1，2，且B=A-5A，则B的特征值为_____________。 4、若n阶方阵A满足关系式A-3A-2EO，若其中E是单位阵，那么

2A1=_____________。

5、设11,1,1，21,则t=_____________。 2,3，31,3,t线性相关，

二、单项选择题 （每小题仅有一个正确答案，将正确答案的番号填入下表内，每小题2分，共20分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 番 号 1、若方程

x130x2x2x123614成立，则x是

（A）-2或3； （B）-3或2； （C）-2或-3； （D）3或2； 2、设A、B均为n阶方阵，则下列正确的公式为

（A）ABA3AB+3AB+B； （B）ABA+B=AB；

3223322（C）AE=AEA+E； （D）AB=AB

22223、设A为可逆n阶方阵，则A=

**（A）AE； （B）A； （C）AA； （D）A4、下列矩阵中哪一个是初等矩阵

nn2A；

100100（A）； （B）010；

002011—

011010（C）101； （D）002；

1000015、下列命题正确的是

（A）如果有全为零的数k1, k2 k3,，m 线性无关； （B）向量组1,2，

，m 若其中有一个向量可由向量组线性表示，则1,2，

，

,km, 使k11k22kmm，则1,2，

m线性相关；

（C）向量组1,2，（D）向量组1,2，6、1,2， 1=2+3+

，m 的一个部分组线性相关，则原向量组本身线性相关； ，m线性相关，则每一个向量都可由其余向量线性表示。

，m为两个n维向量组，且

，m和1，2，+m +m

2=1+3+

m=1+2++m1

则下列结论正确的是 （A）R1 ,2,（B）R1 ,2,（C）R1 ,2,,mR1,2,,mR1,2,,mR1,2,,m ,m ,m

（D）无法判定

7、设A为n阶实对称方阵且为正交矩阵，则有

（A）A=E （B）A相似于E （C）AE （D）A合同于E

8、若1,2,3,4是线性方程组AXO的基础解系，则1+2+3+4是AXO的 （A）解向量 （B）基础解系 （C）通解； （D）A的行向量；

9、1, 2都是n阶矩阵A的特征值，12，且X1和X2分别是对应于1和2的特征向量，当k1, k2满足什么条件时，Xk1X1k2X2必是矩阵A的特征向量。

2欢迎下载 2

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（A）k10且k20； （B）k10，k20 （C）k1k20 （D）k10而k20

11010、下列哪一个二次型的矩阵是130 0002222（A）f(x1,x2)x12x2x23x2； （B）f(x1,x2)x1x1x23x2;

2222(C)f(x1,x2,x3)x12x2x23x2; (D)f(x1,x2,x3)x1x1x2x2x33x2;

三、计算题（每小题9分，共63分）

1、设3阶矩阵，A=22， B=2，其中，，2，3均是3维行向量，且已知333行列式A=18，B=2，求A+B 2、解矩阵方程AX+B=X，其中

01011 ，B20

A=111101533、设有三维列向量组

1110， =1， =1，=

1=1232111为何值时：

（1）可由 1，2，3线性表示，且表示式是唯一的； （2）不能由 1，2，3线性表示；

（3）可由 1，2，3线性表示，且有无穷种表示式，并写出表示式。

4、已知四元非齐次线性方程组AX=满足R(A)3，1，2，3是AX=的三个解向量，其中

214012， 23

0324欢迎下载

3

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求AX=的通解。

1a10005、已知A=B，且A=a1b，B=010 1b1002求a , b

6、齐次线性方程组

2x1x23x30x3x4x01 23x2xax021中当a为何值时，有非零解，并求出通解。

2227、用正交变换法化二次型f(x1,x2,x3)4x14x24x34x1x24x1x34x2x3为标

准型，并求出正交变换。 四、证明题（7分）

设A为m×n矩阵，B为n 阶矩阵，已知R(A)n 证明：若AB=O，则B=O

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4

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《高等代数》期末考试题A题参与评分标准

一、填空题

1、-10； 2、81； 3、4，6，12； 4、二、单项选择题(每小题2分，共20分) 题号 1 2 C 3 D 4 B 5 C 6 C 7 C 8 A 9 D 10 C 答案A 番 号 1A3E； 5、5； 2三、计算题(每小题9分，共63分)

++1、A+B=32=122 （2分）

433 =122+122 （4分）

33 =22+122 （7分）

33 =2×18+12×2=60 （9分） 2、AX+BXEAXB （2分）

11EA110010130 （3分） 2 XEAB （5分）

EA10211 （7分）321

3011021113112020 （9分）X321

301153113、设k11k22k33

欢迎下载 5

1+11111A11+1(+3)11+1=2(+3)0 111+111+0且3时，方程组有唯一解

即可由 1，2，3唯一线性表示， （2）当=3时

21101 A=121321301121129

0006R(A)=2， RA=3 无解

即当=3时，不能由 1，2，3线性表示 （3）当=0时

11101110A=11100000

11100000R(A)= RA=1<3 有无穷组解 基础解系为：111， 01201

c1c2 通解为 Xc11c22c1

c2当=0时 可由 1，2，3线性表示为无穷多种形式

(c1c2)1c12c23 c1，c2为任意常数4、R(A)= 3 <4 AX= 的基础解系含一个解 Ai （i=1，2，3）

2设(4110412)(23)0 033 242欢迎下载

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6分） 9分）

2分）

4分）

6

（ （ （ （—

14 为基础解系 （6分）

32A1211122A12A2

1U122012 为特解 0 11c故AX的通解为XUc24c0 c为任意常数 3c12c5、

AB EAEB

1a1EAa1b332(2a2b2)(ab)2 1b100EBa10(1)(2)3322 002332(2a2b2)(ab)23322 比较同次幂系数有

2a2b22ab)0 (2解之， 得 ab0 6、A2131340111 12a1000a3当a3时， RA=2<3 有非零解 欢迎下载 8分） 9分） 2分）

4分）

6分）

(8分) 9分）

3分）

5分）

7

（

（ （ （ （ （ （ （—

1基础解系为1 （8分）

1通解为 Xc c为任意常数 （9分）

47、EA222(2)2(8)0 （3分）

24224特征值为18， 232 11特征向量为1 ，0120，31 111正交单位化为 11111311012 ，122，1361标准型为 f8y22212y22y3 111326正交变换为X12306Y 113216四、证明题（）

B1,2,,n

ABA1,2,,nA1,A2,,AnO Ai (i1,2,,n)

B的每一列向量为齐次方程组AX的解 由于RAn AX只有零解

BO 欢迎下载 4分）

6分）

7分） 8分）

9分）

2分）

4分）

6分）

8

（（（ （ （ （ （（