江西省宜丰中学2013届高三第二次月考数学

江西省宜丰中学2013届高三第二次月考数学（理）

组题：程雪英 审题：邹恒娟 2012、10、06

一、选择题(共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)．

1、集合P ={x ∈Z|0≤x<3 },M ={x ∈R|x2

≤9 },则P ∩ M = ( )

A.{1,2} B.{0,1,2} C.{x|0≤x<3} D.{x|0≤x≤3} 2、函数f(x)x21log2(x1)的定义域是( )

A. B. (11 (,3)3,1) C. (3,3) D. 3,)

、已知：tan(1(sin4)cos)233，则cos2等于（ ）

A．3 B．-3 C．2 D．-2

4、若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 ( )

A .2

B . 1

C.

23 D.

13 5、已知直线l∥平面α，P∈α，那么过点P且平行于直线l的直线( )

A.只有一条，不在平面α内 B. 有无数条，不一定在平面α内 C .只有一条，且在平面α内 D. 有无数条，一定在平面α内

6、若把函数y3cosxsinx的图象向右平移m（m＞0）个单位长度后，所得到的

图象关于y轴对称，则m的最小值是（ ）

A．

π2π53 B．3π C．6 D．6π 7、定义在R的函数yln(x21)|x|，满足f(2x1)＞f(x1)，则x满足的关系是( )

A．(2,)(,0) B．(2,)(,1) C．(,1)(3,) D．(2,)(,1)

8、 设函数D(x)＝

1，x为有理数，



0，x为无理数，

则下列结论错误的是( )

A．D(x)的值域为{0,1} B．D(x)是偶函数

C．D(x)不是周期函数 D．D(x)不是单调函数

1

xy39、若函数y2x0图像上存在点(x,y)满足约束条件x2y30，则实数m的

xm最大值为（ ）A．12 B．1 C．32 D．2 10、设数列{an项和为ss*

n}的前n,a1=1,an = nn2(n1),(n∈N),

若ss2+ss1+233+……+nn(n1)22013，则n的值为( )

A.1007

B.1006

C.2012

D.2013

二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分） 11、复数(11)4i的值为 12、= 13、观察下列等式：

12

＝1 12－22

＝－3 12－22＋32

＝6 12－22＋32－42

＝－10 …

由以上等式推测到一个一般的结论，对于n∈N*,12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2

＝

. 14、函数f(x)的定义域为D，若对于任意x1,x2D，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，则称函数f(x)在D上为非减函数。设函数f(x)为定义在[0，1]上的非减函数，且满足以下三个条件： ① f(0)0；② f(1x)f(x)1x0,1； ③ 当x0,14时，

fx2x恒成立。则f37f59 。 15、已知f(x)m(x2m)(xm3)，g(x)2x2,若xR，f(x)0或g(x)0，

则m的取值范围是_________。

三、解答题:本大题6小题共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16、（本小题满分12分）

在△ABC中，已知→AB·→AC＝3→BA·→

BC.

(1)求证：tanB＝3tanA；

(2)若cosC＝5

5

，求A的值．

17、（本小题满分12分）

已知等差数列{an}前三项的和为－3，前三项的积为8. (1)求等差数列{an}的通项公式；

(2)若a2，a3，a1成等比数列，求数列{|an|}的前n项和．

18、（本小题满分12分）

已知向量→a＝(cos33xxπ

2x，sin2x)，→b＝(cos2，－sin2)，其中x∈[0，2

]

(1)求→a·→b及|→a＋→b|；

(2)若f(x)＝→a·→b－2λ|→a＋→b|的最小值为－32

，求λ的值.

19、（本小题满分12分）

P如图,在四棱锥PABCD中,PA丄平面ABCD,AC丄AD,

AB丄BC,BAC=450,PA=AD=2,AC=1.

(1)证明PC丄AD;

(2)求二面角APCD的正弦值; (3)设E为棱PA上的点,满足异面

B直线BE与CD所成的角为300,求AE的长.

AC D 20、（本小题满分l3分） 已知数列{b1n}满足bn+1=2b17n+4，且b1=2，Tn为{bn}的前n项和.

（1）求证：数列{b1n-2}是等比数列，并求{bn}的通项公式； （2）如果对任意nN*，不等式

12k12n2T2n7恒成立，求实数k的取值范围. n 21、（本小题满分14分） 已知函数f(x)lnx,g(x)32a.x(a为实常数）． (1)当a1时，求函数(x)f(x)g(x)在x[4,)上的最小值； (2)若方程e2f(x)g(x)（其中e2.71828）在区间[12,1]上有解，

求实数a的取值范围；

(3)证明：54n1n60[2f(2k1)f(k)f(k1)]2n1,nN*（参考数据：k1ln20.6931）

2

江西省宜丰中学2013届高三第二次月考数学（理科）参考答案

1-10 BDABC DACBA

2

11． -4 12. 42 13. (－1)n＋1n＋n2 14. 1 15. (- 4 , 0 )

16. (1)证明：因为→AB·→AC＝3→BA·→

BC，所以AB·AC·cosA＝3BA·BC·cosB，

即AC·cosA＝3BC·cosB，由正弦定理知ACBCsinB＝sinA，

从而sinBcosA＝3sinAcosB，又因为00，cosB>0， 所以tanB＝3tanA.

(2)因为cosC＝5255，0C＝5

，从而tanC＝2，

于是tan[π－(A＋B)]＝2，即tan(A＋B)＝－2，

亦即tanA＋tanB1－tanAtanB＝－2，由(1)得4tanA1－3tanA＝－2，解得tanA＝1或－123

，

因为cosA>0，故tanA＝1，所以A＝π

4

.

17. 解：(1)设等差数列{an}的公差为d，则a2＝a1＋d，a3＝a1＋2d.

由题意得

3a1＋3d＝－3，

a解得

a1＝2，

或

a1＝－4，



1a1＋da1＋2d＝8，



d＝－3，





d＝3.

所以由等差数列通项公式可得

an＝2－3(n－1)＝－3n＋5，或an＝－4＋3(n－1)＝3n－7. 故an＝－3n＋5，或an＝3n－7.

(2)当an＝－3n＋5时，a2，a3，a1分别为－1，－4,2，不成等比数列； 当an＝3n－7时，a2，a3，a1分别为－1,2，－4，成等比数列，满足条件．

故|a－3n＋7，n＝1，2，

n|＝|3n－7|＝

3n－7，n≥3.

记数列{|an|}的前n项和为Sn.

当n＝1时，S1＝|a1|＝4；当n＝2时，S2＝|a1|＋|a2|＝5； 当n≥3时，

Sn＝S2＋|a3|＋|a4|＋…＋|an|＝5＋(3×3－7)＋(3×4－7)＋…＋(3n－7)＝5＋n－2[2＋3n－7]2＝32n2－11

2n＋10. 当n＝2时，满足此式．

4，n综上，S

＝1，n＝32

n2－11

2n＋10，n＞1.

18. (1)→a·→b＝cos32xcosx2－sin32xsinx

2

＝cos2x， |→a＋→b|＝2＋2cos2x＝2cosx

(2)f(x)＝→a·→b－2λ|→a＋→b|＝cos2x－4λcosx＝2cos2

x－1－4λcosx ＝2(cosx－λ)2

－2λ2

－1

注意到x∈[0，π

2

]，故cosx∈[0，1]，

若λ＜0，当cosx＝0时f(x)取最小值－1。不合条件，舍去.

若0≤λ≤1，当cosx＝λ时，f(x)取最小值－2λ2

－1，

令－ 2λ2

－1＝－32且0≤λ≤1，解得λ＝12

，

若λ＞1，当cosx＝1时，f(x)取最小值1－4λ， 令1－4λ＝－3

2

且λ＞1，无解

综上：λ＝1

2

为所求.

19. (1)证明,由PA平面ABCD,可得PAAD,又由ADAC,PAACA,故AD平面PAC,又PC平面PAC,所以PCAD.

(2)解:如图,作AHPC于点H,连接DH,由PCAD,PCAH,可得PC平面

ADH.因此,DHPC,从而AHD为二面角APCD的平面角.

在RtPAC中,PA2,AC1,由此得AH25,由(1)知ADAH,故在RtDAH中,DHAD2AH2230AD305, sinAHDDH6,所以二面角APCD的正弦值为306.

3

20. (１) 对任意nN*,都有b1n112bn14，所以b1n1(b1n)，

222则b111n2成等比数列,首项为b123，公比为2， 所以b1n23(12)n1，bn3(12)n11．

2

21. 解：（Ⅰ）当a1时，(x)f(x)g(x)lnx1x32，'(x)1x1x1.x2x2，令'(x)0，又x0，(x)在x(0,1]上单调递减，在x[1,)上单调递增．当x4时，

(x)(4)ln41432ln454．(x)的最小值为ln454．

(2) e2f()g(x)在x[1,1]上有解e2lnx322ax在x[12,1]上有解a32xx3在x[12,1]上有解．令h(x)33132122xx,x[2,1]，h'(.x)23x3(2x)，

令h'(x)0，又x0，解得：0x23122．

h(x)2xx3在x[2,22]上单调递增，x[2,1] 上单调递减，又h(1)h(1)．

h(1)h(x)h(22)．即121222h(x)2．故a[2,2]． (3)ln(k1)ln4k2设af(2k1)f(k)f(k1)，a4k1k2k2ln(2k1)lnkk(k1)

由（Ⅰ），(x)minln4540(x4)，lnx314k24k12x(x4)．k(k1)4．

a3k(k1)511511k24k24k144(2k1)244(2k1)(2k3)518(112k12k3)． 4na511111111kn()5n1(kI4835572n12n348312n3)54n18(1315)54n160构造函数F(x)lnxx2(x4),F'(x)1x11xx，当x4时，F'(x)1xx0．F(.x)在[4,)上单调递减，即F(x)F(4)ln422(ln21)0．当x4时， lnxx2．a1kln(4k1k1)41k1k12．即ria21k1k1．a11kk2n2n1．

k1n151n4n60[2f(2k1)f(k)f(k1)]2n1,nN*． k1

4

5