高一数学必修二《圆与方程》知识点整理

高一数学必修二《圆与方程》知识点整理

一、标准方程

xayb22r2

1.求标准方程的方法——关键是求出圆心a,b和半径r

①待定系数：往往已知圆上三点坐标，例如教材P119例2 ②利用平面几何性质

往往涉及到直线与圆的位置关系，特别是：相切和相交 相切：利用到圆心与切点的连线垂直直线 相交：利用到点到直线的距离公式及垂径定理

2.特殊位置的圆的标准方程设法（无需记，关键能理解） 条件 方程形式 圆心在原点 x2y2r2r0 过原点 xaybab2222a2b20

圆心在x轴上 xayr222r0 r0 a0 b0

2圆心在y轴上 xybr22222圆心在x轴上且过原点 xaya圆心在y轴上且过原点 xybb22222与x轴相切 xaybb222b0 a0

与y轴相切 xayba与两坐标轴都相切 xayba二、一般方程

2222ab0

x2y2DxEyF0D2E24F0

1.AxByCxyDxEyF0表示圆方程则

22AB0AB0C0 C0D2E24AF022DE4F0AAA2.求圆的一般方程一般可采用待定系数法：如教材P122例r4 3.DE4F0常可用来求有关参数的范围

22

三、点与圆的位置关系

1.判断方法：点到圆心的距离d与半径r的大小关系

dr点在圆内；dr点在圆上；dr点在圆外 2.涉及最值：

（1）圆外一点B，圆上一动点P，讨论PB的最值

PBminBNBCr PBmaxBMBCr

（2）圆内一点A，圆上一动点P，讨论PA的最值

PAminANrAC PAmaxAMrAC

思考：过此A点作最短的弦？（此弦垂直AC） 四、直线与圆的位置关系

1.判断方法（d为圆心到直线的距离）

（1）相离没有公共点0dr （2）相切只有一个公共点0dr （3）相交有两个公共点0dr

这一知识点可以出如此题型：告诉你直线与圆相交让你求有关参数的范围. 2.直线与圆相切 （1）知识要点 ①基本图形

②主要元素：切点坐标、切线方程、切线长等 问题：直线l与圆C相切意味着什么？ 圆心C到直线l的距离恰好等于半径r （2）常见题型——求过定点的切线方程

①切线条数

点在圆外——两条；点在圆上——一条；点在圆内——无 ②求切线方程的方法及注意点 ．．．i）点在圆外

如定点Px0,y0，圆：xaybr，[x0ay0br]

222222第一步：设切线l方程yy0kxx0 第二步：通过drk，从而得到切线方程

特别注意：以上解题步骤仅对k存在有效，当k不存在时，应补上——千万不要漏了！ 如：过点P1,1作圆xy4x6y120的切线，求切线方程.

22答案：3x4y10和x1 ii）点在圆上

1） 若点x0，y0在圆x2y2r2上，则切线方程为x0xy0yr2 会在选择题及填空题中运用，但一定要看清题目.

2） 若点x0，y0在圆xaybr上，则切线方程为

222x0axay0bybr2

碰到一般方程则可先将一般方程标准化，然后运用上述结果.

由上述分析，我们知道：过一定点求某圆的切线方程，非常重要的第一步就是——判断点与圆的位置关系，得出切线的条数.

③求切线长：利用基本图形，APCPrAP求切点坐标：利用两个关系列出两个方程3.直线与圆相交

（1）求弦长及弦长的应用问题 垂径定理及勾股定理——常用 ．．．．

弦长公式：l1k2x1x2222CPr2 2ACr

kACkAP1xx1k21224x1x2（暂作了解，无需掌握）

（2）判断直线与圆相交的一种特殊方法（一种巧合）：直线过定点，而定点恰好在圆内. （3）关于点的个数问题

例：若圆x3y5r上有且仅有两个点到直线4x3y20的距离为1，则半径r的取

222值范围是_________________. 答案：4,6 4.直线与圆相离

会对直线与圆相离作出判断（特别是涉及一些参数时） 五、对称问题

1.若圆xym1x2mym0，关于直线xy10，则实数m的值为____. 答案：3（注意：m1时，DE4F0，故舍去）

变式：已知点A是圆C:xyax4y50上任意一点，A点关于直线x2y10的对称点在圆C上，则实数a_________.

2.圆x1y31关于直线xy0对称的曲线方程是________________.

变式：已知圆C1：x4y21与圆C2：x2y41关于直线l对称，则直线l的方程为_______________.

3.圆x3y11关于点2,3对称的曲线方程是__________________.

222222222222222

4.已知直线l：yxb与圆C：xy1，问：是否存在实数b使自A3,3发出的光线被直线l反

22射后与圆C相切于点B247,？若存在，求出b的值；若不存在，试说明理由. 2525六、最值问题 方法主要有三种：（1）数形结合；（2）代换；（3）参数方程 1.已知实数x，y满足方程xy4x10，求：

22y的最大值和最小值；——看作斜率 x5（2）yx的最小值；——截距（线性规划）

（1）

（3）xy的最大值和最小值.——两点间的距离的平方

2.已知AOB中，OB3，OA4，AB5，点P是AOB内切圆上一点，求以PA，PB，

22PO为直径的三个圆面积之和的最大值和最小值.

数形结合和参数方程两种方法均可！

3.设Px,y为圆xy11上的任一点，欲使不等式xyc0恒成立，则c的取值范围是

22____________. 答案：c七、圆的参数方程

21（数形结合和参数方程两种方法均可！）

xrcos，为参数 x2y2r2r0yrsinxayb八、相关应用

22xarcos，为参数 rr0ybrsin2221.若直线mx2ny40（m，nR），始终平分圆xy4x2y40的周长，则mn的取值范围是______________.

2.已知圆C：xy2x4y40，问：是否存在斜率为1的直线l，使l被圆C截得的弦为AB，以AB为直径的圆经过原点，若存在，写出直线l的方程，若不存在，说明理由.

2提示：x1x2y1y20或弦长公式d1kx1x2. 答案：xy10或xy40

223.已知圆C：点A0,1，设P点是圆C上的动点，dPAPB，B0,1，x3y41，求d的最值及对应的P点坐标.

4.已知圆C：x1y225，直线l：2m1xm1y7m40（mR） （1）证明：不论m取什么值，直线l与圆C均有两个交点； （2）求其中弦长最短的直线方程.

5.若直线yxk与曲线x1y恰有一个公共点，则k的取值范围.

6.已知圆xyx6ym0与直线x2y30交于P，Q两点，O为坐标原点，问：是否存

222222222

在实数m，使OPOQ，若存在，求出m的值；若不存在，说明理由. 九、圆与圆的位置关系

1.判断方法：几何法（d为圆心距）

（1）dr1r2外离 （2）dr1r2外切 （3）r1r2dr1r2相交 （4）dr1r2内切 （5）dr1r2内含 2.两圆公共弦所在直线方程

2222圆C1：xyD1xE1yF10，圆C2：xyD2xE2yF20，

则D1D2xE1E2yF1F20为两相交圆公共弦方程. 补充说明：

若C1与C2相切，则表示其中一条公切线方程； 若C1与C2相离，则表示连心线的中垂线方程. 3圆系问题

2222（1）过两圆C1：xyD1xE1yF10和C2：xyD2xE2yF20交点的圆系方程

为x2y2D1xE1yF1x2y2D2xE2yF20（1）

说明：1）上述圆系不包括C2；2）当1时，表示过两圆交点的直线方程（公共弦）

（2）过直线AxByC0与圆xyDxEyF0交点的圆系方程为

22x2y2DxEyFAxByC0

（3）有关圆系的简单应用 （4）两圆公切线的条数问题

①相内切时，有一条公切线；②相外切时，有三条公切线；③相交时，有两条公切线；④相离时，有四条公切线 十、轨迹方程

（1）定义法（圆的定义）：略

（2）直接法：通过已知条件直接得出某种等量关系，利用这种等量关系，建立起动点坐标的关系式——轨迹方程.

例：过圆xy1外一点A2,0作圆的割线，求割线被圆截得的弦的中点的轨迹方程.

22分析：OPAPOA

（3）相关点法（平移转换法）：一点随另一点的变动而变动

222

 

动点 主动点

特点为：主动点一定在某一已知的方程所表示的（固定）轨迹上运动.

例1.如图，已知定点A2,0，点Q是圆xy1上的动点，AOQ的平分线交AQ于M，当Q点

22在圆上移动时，求动点M的轨迹方程. 分析：角平分线定理和定比分点公式.

例2.已知圆O：xy9，点A3,0，B、C是圆O上的两个动点，A、B、C呈逆时针方向

22排列，且BAC法1：

33，求ABC的重心G的轨迹方程. ，BC为定长且等于33 BACxAxBxC3xBxCx33设Gx,y，则

yyyyyBCCyAB33取BC的中点为xE22233333,，yE,

2442OECEOC，xE2yE294 （1）

32xExBxC3x3xxxxBxC2xEEE322， yByC2yEyyByCy2yEy3yEE23222323x33932,1 故由（1）得：yx1y1x0,,y22422法2：（参数法）

设B3cos,3sin，由BOC2BAC2，则 32C3cos3设Gx,y，则

2,3sin

3233cos3cosxAxBxC23x1coscos33323sin3sinyAyByC23sinsin2y3331

4,33232232,1 ，由112得：x1y1x0,,y22参数法的本质是将动点坐标x,y中的x和y都用第三个变量（即参数）表示，通过消参得到动．．点轨迹方程，通过参数的范围得出x，y的范围. （4）求轨迹方程常用到得知识

xAxBxCx1x2xx32①重心Gx,y，②中点Px,y，

yyAyByCyy1y223③内角平分线定理：

④定比分点公式：⑤韦达定理.

BDCDABAC

xxByyBAM，yMA ，则xMAMB11