六安市第一中学2019学年高一数学下学期期末考试试题理(含解析)

六安一中2017～2018年度高一年级第二学期期末考试

数学试卷（理科）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 数列-1，3，-5，7，-9，…的一个通项公式为（ ） A. 【答案】C 【解析】

【解析】首先是符号规律：

，再是奇数规律

，因此

，选C.

B.

C.

D.

点睛：由前几项归纳数列通项的常用方法及具体策略

(1)常用方法：观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法.

(2)具体策略：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项的符号特征和绝对值特征；⑤化异为同.对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系；⑥对于符号交替出现的情况，可用2. 已知数列A.

中，

，

，则

等于（ ）

处理.

B. C. -1 D. 2

【答案】B 【解析】

分析：根据前几项，确定数列的周期，然后求解数列的项． 详解：数列{an}满足

，

，

可得a2=﹣1，a3=2，a4=，所以数列的周期为3，

=a3×672+2= a2=﹣1， 故选：C．

点睛：数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：①求出数列的前几项，再

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归纳猜想出数列的一个通项公式；②将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项． 3. 已知数列（ ）

A. 4 B. 5 C. 24 D. 25 【答案】C 【解析】

分析：由题意知an为首项为1，公差为1的等差数列，由此可知an=，再结合题设条件解不等式即可得出答案． 详解：由题意an+1﹣an=1，

∴an为首项为1，公差为1的等差数列， ∴an2=1+（n﹣1）×1=n，又an＞0，则an=， 由an＜5得＜5， ∴n＜25．

那么使an＜5成立的n的最大值为24． 故选：C．

点睛：本题考查数列的性质和应用，考查了不等式的解法，解题时要注意整体数学思想的应用． 4. 已知数列的值为（ ）

A. B. 4 C. 2 D. 【答案】A 【解析】

分析：数列{an}是公差d不为0的等差数列，且a1，a3，a7为等比数列{bn}的连续三项，可得=a1•a7，化简可得a1与d的关系．可得公比q=．即可得出

=．

是公差不为0的等差数列，且，，为等比数列

的连续三项，则

2

2

2

2

满足：，，，那么使成立的的最大值为

详解：数列{an}是公差d不为0的等差数列，且a1，a3，a7为等比数列{bn}的连续三项， ∴=a1•a7，可得

=a1（a1+6d），化为：a1=2d≠0．

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∴公比q====2．

则==．

故选：A．

点睛：本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 5. 若A. C. 【答案】C 【解析】

分析：先根据a的范围确定a与 的大小关系，然后根据不等式的解法直接求出不等式的解集． 详解：∵0＜a＜1， ∴a＜， 而∴故选：C．

点睛：（1）解一元二次不等式时，当二次项系数为负时要先化为正，再根据判别式符号判断对应方程根的情况，然后结合相应二次函 数的图象写出不等式的解集．

（2）解含参数的一元二次不等式，要把握好分类讨论的层次，一般按下面次序进行讨论：首先根据二次项系数的符号进行分类，其次根据根是否存在，即判别式的符号进行分类，最后当根存在时，再根据根的大小进行分类． 6. 已知A. 【答案】B 【解析】

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，则不等式 B. D.

的解集是（ ）

是开口向上的二次函数，大于零的解集在两根之外 的解集为{x|

}

，且 B.

，则下列不等式一定成立的是（ ）

C.

D.

分析：利用不等式性质，指数函数的单调性，特值法逐一判断即可. 详解：a，b∈R，且

，

a2﹣b2=（a+b）（a﹣b），若a＜0，b＜0，则a+b＜0，a﹣b＞0，a2﹣b2＜0，A不一定成立； 函数y=2在R上递增，且

x

，∴,即，B正确；

若a=2π，b=0，则cos2π=cos0=1，B不一定成立； 若a＜0，b＞0，则<，C不一定成立；

若a=0，b=2π，则cos2π=cos0=1，D不一定成立； 故选：B．

点睛：不等式的性质及其应用： (1)判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明．常用的推理判断需要利用不等式的性质．

(2)在判断一个关于不等式的命题真假时，先把要判断的命题和不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并应用性质判断命题真假，当然判断的同时还要用到其他知识，比如对数函数，指数函数的性质等． 7. 已知点A.

，若动点

的坐标满足

，则

的最小值为（ ）

B. 2 C. D.

【答案】C 【解析】 【分析】

作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，利用点到直线的距离公式即可得到结论． 【详解】作出不等式组对应的平面区域，

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...........................

由图象可知点A到直线x+y=2的距离最小， 此时d=

=，

即|PA|的最小值为， 故选：C．

【点睛】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围. 8. 若A. C. 【答案】D 【解析】

分析：由条件得到=﹣2，=﹣3，从而较大小即可.

详解：∵ax+bx+c＜0的解集为

22

的解集为 B. D.

，则对于函数应有（ ）

，利用二次函数的图象与性质比

，

∴﹣1，3是ax+bx+c=0的两个实数根，且a＜0． ∴﹣1+3=

，﹣1×3=．

化为=﹣2，=﹣3．

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∴函数=a=a（-3x﹣2x+1）=

．

2

．

∵a＜0，抛物线开口向上，且对称轴为x=∴离轴越近，值越小. 又∴故选：D．

,

,

点睛：本题考查了一元二次不等式的解集与相应的一元二次方程的实数根之间的关系、二次函数的图象与性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 9. 已知A.

，且 B.

， C.

，则，的关系是（ ） D.

【答案】C 【解析】

分析：因为P2﹣Q2=﹣

≤0，所以P2≤Q2，则P≤Q，

详解：因为a，b∈R，且P=，Q=，

所以P2=则P﹣Q=

2

2

，Q2=﹣

=

，

=﹣

≤0，

当且仅当a=b时取等成立，

所以P﹣Q≤0，即P≤Q，所以P≤Q， 故选：C．

点睛：比较大小的常用方法 （1）作差法：

一般步骤：①作差；②变形；③定号；④结论.其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式.当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差.

（2）作商法：

一般步骤：①作商；②变形；③判断商与1的大小；④结论.

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2222

（3）函数的单调性法：将要比较的两个数作为一个函数的两个函数值，根据函数的单调性得出大小关系.

（4）借助第三量比较法 10. 已知，满足A.

B.

C.

，则 D.

的取值范围是（ ）

【答案】A 【解析】

分析：该问题是已知不等关系求范围的问题，可以用待定系数法来解决． 详解：设α+3β=λ（α+β）+v（α+2β） =（λ+v）α+（λ+2v）β． 比较α、β的系数，得从而解出λ=﹣1，v=2．

分别由①、②得﹣1≤﹣α﹣β≤1，2≤2α+4β≤6， 两式相加，得1≤α+3β≤7． 故α+3β的取值范围是[1，7]． 故选：A

点睛：本题考查待定系数法，考查不等式的基本性质，属于基础题． 11. 已知数列A.

B.

的通项为

，则数列

的最大值为（ ）

，

C. D. 不存在

【答案】C 【解析】 分析：an=

=

，而a7=

=

，a8=

=，比较a7与a8即可得出．

详解：∵an=而a7＜a8，

=，而a7==，a8==，

∴数列{an}的最大项为a8故选：C．

．

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点睛：本题考查了数列中项的最值问题、考查了对勾函数的图象与性质，属于基础题． 12. 设正数，满足

，若关于的不等式

的解集中的整数解恰有4个，

则的取值范围是（ ） A.

B.

C.

D.

【答案】C 【解析】

分析：将不等式因式分解可得＞2，则有合条件详解：∴∴

，

，由于解集中整数解恰有4个，则a

，结

，则四个整数解为-3，﹣2，﹣1，0．则有

，可得a＜4，进而得到a的范围．

，即

，

由于解集中整数解恰有4个，则a＞2， ∴

则四个整数解为-3，﹣2，﹣1，0． ∴即∴

，即，又，∴

，又a＞2

∴的取值范围是故选：C

点睛：本题考查一元二次不等式的解法，考查不等式的整数解的求法，考查不等式的性质的运用，考查运算能力，属于易错题．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 中国古代数学著作《算法统宗》有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为：“有一个人要走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后达到目的地.”则该人最后一天走的路程为__________里． 【答案】6

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【解析】

分析：每天走的路形成等比数列{an}，q=，S6=378．利用求和公式即可得出． 详解：每天走的路形成等比数列{an}，q=，S6=378．

∴S6=378=，解得a1=192．

∴该人最后一天走的路程=a1q5=故答案为：6．

=6．

点睛：本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 14. 已知点【答案】4 【解析】

分析：将（1，2）代入直线方程，求得+=2，利用“1”代换，根据基本不等式的性质，即可求得2a+b的最小值． 详解：直线

=1（a＞0，b＞0）过点（1，2），则+=2，

=4，

在直线

上，则

的最小值为__________．

由2a+b=（2a+b）×（+）=1+++1=2++≥2+2当且仅当=，即a=，b=2时，取等号， ∴2a+b的最小值为4， 故答案为：4．

点睛：在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值. 15. 不等式组【答案】1 【解析】

所表示的平面区域的面积等于，则

__________．

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分析：画出不等式组从而求出k的值. 详解：∵不等式组

所表示的平面区域为面积等于的三角形，可知其过点（2，0），

所表示的平面区域三角形，如图：

平面为三角形所以过点（2，0）， ∵y=kx﹣1，与x轴的交点为（，0）， y=kx﹣1与y=﹣x+2的交点为（三角形的面积为：解得：k=1． 故答案为：1．

点睛：本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得. 16. 已知

，

【答案】【解析】

分析：将方程转化为函数，利用一元二次方程根的分布，转化为关于m，n的二元一次不等式组，利用线性规划的知识进行求解即可得到结论． 详解：设f（x）=x+（m+1）x+m+n+1，

∵关于实数x的方程x+（m+1）x+m+n+1=0的两个实根x1、x2满足0＜x1＜1，x2＞1， ∴即

，

，作出不等式对应的平面区域如图，

22

），

=，

，若关于实数的方程

，则的取值范围为__________．

的两个实根，满足

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设k=，

则k的几何意义为过原点的直线的斜率， 由解得

，

，即A（﹣2，1），此时OA的斜率k=

=

，

直线2m+n+3=0的斜率k=﹣2， 故﹣2＜k＜故答案为：

，

．

点睛：线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.

三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 若【答案】【解析】

分析：利用作差法比较大小即可. 详解：∵∴

综上可得：点睛：作差法：

. ，

，

，

，即，即

， ，

，.

，

，比较，，的大小.

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一般步骤是：①作差；②变形；③定号；④结论．其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式．当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差． 18. 已知函数（1）当（2）若

时，求不等式

. 的解集；

的定义域为，求的取值范围.

；（2）

.

【答案】（1）【解析】

分析：（1）当a=1时，不等式f（x）≥log23，即结合单调性转化为一元二次不等式问题． （2）f（x）的定义域为R，即详解：（1）则∴不等式（2）∵当

的解集为

的定义域为，∴

，解得. 时，

≥log23，根据真数大于0，

＞0，对a讨论即可求解． ， ，即

； 对任意.又

恒成立， ，解得

或

.

时，成立，

∴的取值范围是

点睛：本题是一道易错题，解对数型不等式容易忽视真数大于零，二次型不等式恒成立问题注意对二次项系数的讨论.

19. 某研究所计划利用“神舟十号”宇宙飞船进行新产品搭载实验，计划搭载新产品甲，乙，要根据该产品的研制成本、产品重量、搭载实验费用和预计产生收益来决定具体安排，通过调查，有关数据如表： 研制成本与搭载费用之和（万元/200 件） 产品重量（千克/件） 10 5 300 元 最大搭载重量110千产品甲（件） 产品乙（件） 计划最大资金额3000尚水出品

克 预计收益（万元/件）

试问：如何安排这两种产品的件数进行搭载，才能使总预计收益达到最大，最大收益是多少？ 【答案】搭载产品甲9件，产品乙4件，可使得总预计收益最大，为1920万元. 【解析】

分析：由题意，设搭载甲产品x件，乙产品y件，总预计收益为单线性规划应用．

详解：设搭载产品甲件，产品乙件，预计总收益则

，（或写成

.

万元，化为简

160 120 ）作出可行域，如图.

作出直线：解得∴

.

并平移，由图象得，当直线经过点时能取得最大值，，

（万元）.

答：搭载产品甲9件，产品乙4件，可使得总预计收益最大，为1920万元. 点睛：本题考查了实际问题转化为数学问题的能力及简单线性规划，属于中档题． 20. 各项均为正数的等比数列（1）求数列（2）令

，

中，

，

，且

.

的通项公式； ，求数列

的前项和.

【答案】（1），.（2）.

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【解析】

分析：(1)利用等比数列通项公式与性质求出数列到（2）

的通项公式；

，利用错位相减法得到数列

的前项和.

的通项公式，进而利用对数运算法则得

详解：（1），.

（2），数列的前项和，

∴，

∴

∴

.

.

点睛：用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解. 21. （1）若关于的不等式（2）已知，，均为正数，且【答案】（1）【解析】

分析：（1）化简不等式

＜0，通过a与2的范围的讨论，求解即可；

，则a+b+c=（a+b）+9×

，

.（2）12.

的解集是，求

的子集，求实数的取值范围； 的最小值.

（2）根据题意，将abc=9（a+b）变形可得c=9×结合基本不等式的性质分析可得答案． 详解：（1）由题当当

时，不等式的解集为时，不等式的解集为

，

，此时显然是，要使其为

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的子集， 的子集，∴

，综上，

.

（2）根据题意，则当且仅当

，则，

的最小值为12.

，

时，等号成立；则

点睛：（1）解一元二次不等式时，当二次项系数为负时要先化为正，再根据判别式符号判断对应方程根的情况，然后结合相应二次函 数的图象写出不等式的解集．

（2）解含参数的一元二次不等式，要把握好分类讨论的层次，一般按下面次序进行讨论：首先根据二次项系数的符号进行分类，其次根据根是否存在，即判别式的符号进行分类，最后当根存在时，再根据根的大小进行分类． 22. 已知数列

中，

，其前项的和为，且满足

.

（1）求证：数列（2）证明：

是等差数列；

.

【答案】（1）见解析.（2）见解析. 【解析】

分析：（Ⅰ）当n≥2时，

，变形为

，即可证明；

（Ⅱ）由（1）可知，=4+2（n﹣1）=2n+2，求和”与“放缩法”即可证明． 详解：（1）当

时，

，整理得：

，可得=．利用“裂项

，

，从而

（2）由（1）可知，∴当当∴另解：当

时， 时，时，

构成以2为首项，2为公差的等差数列.

，∴

，

，

.

.

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，

∴

， .

点睛：裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧： (1)（4）

；（2）

； （3）

；

；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现

丢项或多项的问题，导致计算结果错误.

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