高考数学压轴专题2020-2021备战高考《函数与导数》分类汇编含答案

数学《函数与导数》复习知识重点

一、选择题

1．若点 (log 14 7,log 14 56) 在函数

A．1

f (x) kx 3 的图象上，则

3 2

f (x) 的零点为（ ）

B．

C． 2

D．

3 4

【答案】 B 【分析】 【剖析】

将点的坐标代入函数

y f x 的分析式，利用对数的运算性质得出 f x 的零点．

k 的值，再解方程

f x

【详解】

0 可得出函数 y

Q log 14 56 log14 4 log 14 14 1 2log 14 2 1 2(1 log 14 7)

k

3 2log 14 7 ，

2 ， f ( x)

2x 3.故 f

x 的零点为

3

，应选 B.

2

【点睛】

此题考察对数的运算性质以及函数零点的观点，解题的重点在于利用对数的运算性质求出

参数的值，解题时要正确掌握零点的观点，考察运算求解能力，属于中等题．

2．设 f ( x) 为 R 上的奇函数，知足 则 f (1)

f (2 x)

)

f (2 x) ，且当 0 x

2 时， f (x)

xex ，

f (2)

2

f (3) L

f (100) (

A． 2e 2e

2B． 50e 50e

2C． 100e 100e

D．

2e 2e2

【答案】 A 【分析】 【剖析】 由 f 2

x

1

f 2 x 可得对称轴，联合奇偶性可知

f 2

f x 周期为 8 ；可将所求式子经过

.

周期化为 f 【详解】 由 f 2 x 又Q f x

f 3

f 4 ，联合分析式可求得函数值

f 2 x 得： f x 对于 x 2 对称

为 R 上的奇函数 f x 是以 8 为周期的周期函数 f 1 f 2

Q f 1

且 f 1

f 2 f 2 1 f 2

f 8

f 3

f 4

f

1 f

2

f

4

0

f 4

2e 2e2 12 f

1 f 2

f

f 100 f 8 f 1 f 2 f 3 f 4

2e 2e2

应选： A

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【点睛】

此题考察利用函数的奇偶性、对称性和周期性求解函数值的问题，重点是可以利用奇偶性 和对称轴获得函数的周期，并求得基础区间内的函数值

.

3．已知函数 f ( x) 是偶函数，当 x 处的切线方程为（ A．

0 时， f ( x) x ln x

1 ，则曲线 y

f ( x) 在 x 1

）

B． yx 2

yx

C． y x

D． y x 2

【答案】 A 【分析】

【剖析】

第一依据函数的奇偶性，求适当

x 0 时， f x 的分析式，而后求得切点坐标，利用导数

.

求得斜率，进而求得切线方程

【详解】 因为 x

0 ， f ( x) f ( x)

1，所以曲线 y

x ln( x) f ( x) 在 x

1， f ( 1) 1 ， f ( x) ln( x) 1 ，

应选： A

f ( 1)

1 处的切线方程为 y 1 x

1 ，即

y

x .

【点睛】

本小题主要考察依据函数奇偶性求函数分析式，考察利用导数求切线方程，属于基础题

.

2 2

4．已知定义在 R 上的函数 f x 若 g x 的最大值和最小值分别为 A．1

知足 f x f x 4x 2 ，设 g x

f x 2x ，

M 和 m ，则 M

m （ ）

B． 2

C． 3 D． 4

【答案】 B 【分析】 ∵ f x

f x

4x2

f (x) 2x2

2 ， g x f x 2x2

f ( x) 2x2

∴ g( x) g ( x) ∴函数 g

4x 2

2 4 x2

2

x 对于点 (0,1) 对称

∵ g x 的最大值和最小值分别为 ∴ M m 1 2 2 应选 B.

M 和 m

5．已知直线 y A． ln 2 【答案】 D 【分析】

kx 2 与曲线 y

B． 1

x ln x 相切，则实数 k 的值为（

）

C． 1 ln2

D． 1 ln2

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由 y

xlnx 得 y' ln x

1 ，设切点为 x0, y0 ，则 k

ln x0 1 ，

y0

kx0 2

，

y0

1 ，

x0 2 ，

x0 ln x0 k

kx0 2 x0 ln x0 ，

k ln x0

2 x0

，对照 k ln x0

ln 2 1 ，故

选 D.

6．曲线 y = x2 与直线 y

x 所围成的关闭图形的面积为（

B．

）

A．

1 6

1 3

C．

1

D．

5 6

2

【答案】 A 【分析】 曲线 y

x

2 与直线 y

x 的交点坐标为 0,0 , 1,1

1

，由定积分的几何意义可得曲线y x2

与直线 y

x 所围成的关闭图形的面积为

0

x x2 dx

1 x2 2

1 x3 |10

3

1 ，应选 A. 6

7．三个数 a

2e

2 ， b

ln 2， c ln 3 的大小次序为 ( )

3

B． bA． bC． c【分析】

【剖析】

经过证明 a

1

b c ，由此得出三者的大小关系 .

1

3

2

，

6

3

1

【详解】

2

2

1 3

1 6

a

2

ln e ，因为

3

e

3

e

1

2

2

8 ，所以 e3

1

6

2 ，所以

e

1

3

1

6

1 2

1

3 ，所以

ln e3 ln

2 ，即 a

1

1

6

b .而 22

23 8, 33

32

3

ln 3 ，即 b

3

9 ，所以

2

3

ln 2

2

1

1 ln 3

c ，所以 a b c .

3

应选： D 【点睛】

本小题主要考察指数式、对数式比较大小，考察指数运算和对数运算，属于中档题

.

8．设函数 f x 在 R 上存在导数 f x ，

x R 有 f x f x 2x2

，在 0， ）

上

f x 2x ，若 f 4 m f m 16 8m ，则实数 m 的取值范围是（

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A． 2，

B． 0， D．

C． 2，2

， 2

2，

【答案】 A 【分析】 【剖析】 通 x 数；利用

R 有 f x f x

f x

2x2 ，结构新函数 g x f x x2

的 函数得出

，可得 g x 奇函

2x ，求 g x

16 8m

g x 的 性，再将不等式

f 4 m

【 解】

f m

化，可求 数 m 的取 范 .

g x f x

x2 ，

∵ g x g x ∴函数 g ∵在 x ∴ g x ∴函数 g ∴函数 g

f x x2

f

x x2 0 ，

x 奇函数， 0,

上， f

x

2x ，即 f x 2x 0 ，

f x x 在 x x 在 x

2x 0 ， 0,

上是减函数，

,0 上也是减函数，

且 g 0 0，

∴函数 g x 在 x

R 上是减函数，

8m ，

2

∵ f 4 m f m 16 ∴ g 4 m4 m

g m m2

16 8m ，

∴ g 4 m g m ，

∴ 4 m m ， 即 m 2 . 故 ： A.

【点睛】

本 考 函数的奇偶性、 性的 用，考 运算求解能力、 化与化 的数学思想，是中档 .

9．已知函数

f（ x）（ x∈ R ） 足 f（x） =f（2-x ），若函数

m

y=|x 2-2x-3| 与 y=f（ x） 像的

交点 （ x1,y1），（ x2,y2）， ⋯，（ xm,ym），

i 1

xi =

C． 2m

D． 4m

A．0 B． m

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【答案】 B 【分析】

试题剖析：因为 y f (x), y

x2 2x 3 的图像都对于 x 1对称，所以它们图像的交点

也对于 x

1 对称，当 m 为偶数时，其和为 2 m

m ；当 m 为奇数时，其和为

2

2m 1 1

m ，所以选 B.

2

【考点】 函数图像的对称性

【名师点睛】假如函数 f (x) ，

x D ，知足 x D ，恒有 f (a

x) f (b x) ，那么函数的图象有对称轴

a b

x

；假如函数 f (x) ，

x

D ，知足 x D ，恒有

2

f (a x)

f (b x) ，那么函数a b

f ( x) 的图象有对称中心 (

,0) .

2

10． 已知函数

f x ln

x2 1 x ，设 a

f log3 0.2 ， b

f 3 0.2 ，

c

f 31.1 ，则（ ）

A． a b c B． b a c

C． c b a

D． c a b

【答案】 D 【分析】

∵ f x

ln

x2 1 x

∴ f (x)

ln( x2

1 x) ln

1

x2

1 x

∴ f ( x)

ln( x2 1 x)

∵当

2

2

x 0 时， x 1 x 1；当 x

0时， 0

x 1 x 1

∴当

x 0 时， f ( x)

ln( x2

1 x) ln( x2

1 x) ln( x2

1 x) ，

；f ( x) ln( x2

1 x)

当 x

0 时 f (x)

ln( x2 1 x) ln( x2 1 x) ； f (ln(.

x)

x

2

1 x)

ln( x

2

1 x)

∴ f ( x) f ( x) ∴函数 f

x 是偶函数

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∴当 x 0 时，易得 f ( x) ∴ a

ln(

x2 1

x) 为增函数

f (log 3 0.2)

2 ， 0

f (log 3 5) ， c

f ( 31.1 ) f (31.1 ) 3

∵ 1 log 3 5

3 0.2

1， 31.1

∴ f (31.1 ) ∴ c a b 应选 D.

f (log 3 5) f (3 0.2 )

11． 已知 a

ln 3 , b ln 4 , c 3

ln ee

（ e 是自然对数的底数），则

a,b, c 的大小关系是

4

（ ）

A． c

a b

B． a c b

C． b a c D． c b a

【答案】 C 【分析】

【剖析】 依据 a

ln 3 3

,

b

ln 4

,

c

ln e e

的结构特色，令

f x

ln x x

，求导

4

，可得 f

f x

1 ln x

x

2

x 在 0,e 上递加，在

e,+

上递减，再利用单一性求解 .

【详解】 令 f x

ln x x 1

，

，

所以 f

x

ln x x2

当 0 x 所以 f 因为 e 所以 f

e时， f x

0 ，当 x e时， f x

上递减 .

0 ，

x 在 0,e 上递加，在 e,+ 3 e

4， f 3

f 4 ，

即 b a c .

应选： C 【点睛】

此题主要考察导数与函数的单一性比较大小，还考察了推理论证的能力，属于中档题

.

12． 已知函数 f

x 的导函数为 f

x 且知足 f x 2 x f 1

ln x ，则 f

1

e

（ ）

A．

1

e

2

B． e 2 C． 1

D． e

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【答案】 B

【分析】

【剖析】

对函数求导获得导函数，代入

x 1 可求得 f

1

1，进而获得 f x ，代入 x

1 e

求得

结果 . 【详解】 由题意得：

f

x 2 f

1 1

x

令 x 1 得： f

2

1 2 f 1 x

f

1 1，解得： f

1 e

e 2

1

1

f x

此题正确选项： B 【点睛】

此题考察导数值的求解，重点是可以经过赋值的方式求得

f 1 ，易错点是忽视

f 1 为

常数，致使求导错误 .

13 ． 已知定义在 R 上的函数

f ( x）

，其导函数为

f x

，若 f x

f x3，

f

A．

0 4 ，则不等式 f x

,1

B．

ex 3的解集是（ ） ,0

C． 0,

D． 1,

【答案】 B 【分析】

不等式 f

x e

x

f x

3得

1

3

f x

ex

f x ex

3

1，

设 g x

f x ex

3

ex

， g x

ex f x

3 0

4 3

所以 g

x 在 R 上是减函数，因为

g 0

1

1

g x g 0x 0 ．

应选 B．

点睛：此题的难点在于解题的思路． 已知条件和研究的问题看起来仿佛没有剖析联系，这里主要利用了剖析法，经过剖析结构函数，利用导数的知识解答．

14． 已知函数

在区间

）

上有最小值，则函数 在区间

上必定（

A．有最小值

B．有最大值

C．是减函数 D．是增函数

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【答案】 D

【分析】

【剖析】

由二次函数

在区间

上有最小值得悉其对称轴

，再由基本初

等函数的单一性或单一性的性质可得出函数

在区间

上的单一性 .

【详解】

因为二次函数

在区间 上有最小值，可知其对称轴

，

.

当

时，因为函数

和函数 在 上都为增函数，

此时，函数

在 上为增函数；

当

时，

在

上为增函数；

当

时，由双勾函数的单一性知，函数 在 上单一递

增，

，所以，函数

在

上为增函数 .

综上所述：函数

在区间 上为增函数，应选

D.

【点睛】

此题考察二次函数的最值，同时也考察了

型函数单一性的剖析，解题时要注意对

的符号进行分类议论，考察分类议论数学思想，属于中等题 .

15． 已知定义在 R 上的函数 f 递加 ,则（ A． f B． f C． f

）

x 知足 f 3 2x

f 2x 1 ,且 f

x 在 [1,

) 上单一

0. 20.3 0. 20.3

f log 30.5 f

f

41.1

41.1

f log 30.5 f log 3 0.5

f

41.1

f 0.20.3

f

D． f log 3 0.5 【答案】 A 【分析】

0.20.3

41.1

【剖析】

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由已知可得

f x 的图象对于直线 x 1 对称 .因为 0.20.3 1

log 3 0.5 1

41.1 1 ，又

f x 在 [1, )上单一递加 ,即可得解 .

【详解】

解：依题意可得 , f x 的图象对于直线 因为 0.20.3 则 0.20.3 又 f x

x 1 对称 . 1, 0 , 41.1

0,1 , log3 0.5

1 log 3 0.5 1

log3 2 4,8 ,

41.1

1 ，

在 [1, ) 上单一递加 ,

f log 3 0.5

f

所以 f 0.20.3

41.1

.

应选 :A.

【点睛】

此题考察了函数的对称性及单一性，重点考察了利用函数的性质判断函数值的大小关系， 属中档题 .

16． 如图，对应此函数图象的函数可能是 ( )

x

A． y

1 2

( x2

1)

B． y

2x ( x2 1)

C． y

ln x

x

y xe 1 D．

【答案】 B 【分析】

【剖析】

察看图象，从函数的定义域，零点，以及零点个数，特色函数值判断，清除选项，获得正

确答案 . 【详解】

由图象可知当 x 当 x 1 时， y

0 时， y

1 ，C 不知足；

2

0 ，D 不知足条件；

x 2

时， y

A.由函数性质可知当

1

4 1 12 ，明显 A 不建立；

2

而 B都建立. 应选： B

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【点睛】

此题考察依据函数图象，判断函数的分析式，重点考察函数性质的判断，包括函数的定义 域，函数零点，零点个数，单一性，特别值，等信息清除选项，此题属于中档题型

.

17． 已知函数 f 立的是（ A． 2019 f C． 2019 f 【答案】 A 【分析】 【剖析】 结构函数 g

x 的导函数为 f x ，在 0,

上知足 xf

x f x ，则以下必定成

）

2020 2020 f 2020 2020 f

2019 2019

B． f D． f

2019 2019

f f

2020 2020

x

f x x

，利用导数判断函数 y g x 在 0,

上的单一性，可得出

g 2019 和 g

【详解】 令

2020 的大小关系，由此可得出结论 .

f x

g x

x

xf x

x 0 ，则 g

f x2

x

.

x

由已知得，当 x 故函数 y 即 f 2020

0 时， g x 0 .

g x 在 0,

上是增函数，所以

g 2020 g 2019 ，

2020

应选： A. 【点睛】

f 2019 ，所以 2019f 2020

2019

2020 f 2019 .

此题考察利用结构函数法得出不等式的大小关系，依据导数不等式的结构结构新函数是解 答的重点，考察推理能力，属于中等题

.

18． 曲线 y cos x 0 x

3π 2

与 x 轴以及直线 x

3π 2

所围图形的面积为（ ）

A． 4

B． 2

C．

5 2

D． 3

【答案】 B

【分析】

【剖析】

【详解】

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3 2

3

试题剖析： S(0 cosx)dx

2

sin x

2

2，选 B.

2

考点：定积分的几何意义

19． 函数 f ( x) A． ,

loga 5 ax , a 0, a 1 在 1,3

B． ,1

上是减函数，则

a 的取值范围是 ( )

D． 1,

51

C． 1,

5

5

3

【答案】 D 【分析】

5 3 3

【剖析】 依据 a

0 可知 y 5 ax 在定义域内单一递减，若使得函数

log a 5 ax , a 0, a 1 在 1,3 上是减函数，则需

f ( x)

a 5 3a

1

，解不等式即可 .

0

【详解】

Q a 0

y 5 ax 在定义域内单一递减

若使得函数 f ( x) log a 5 则需

ax , a 0, a 1 在 1,3 上是减函数

a 5 3a

1

0

，解得 1 a

5 3

应选： D 【点睛】

此题考察对数函数的单一性，属于中档题

.

20． 已知函数 f ( x)

x 2 log 2 x

1,x 0 , x 0

，若 f

a

1，则实数 a 的取值范围是（

）

A． ( 4] U[2, ) B． [ 1,2] D． [ 4,2]

C． [ 4,0) U (0,2] 【答案】 D 【分析】 【剖析】

不等式 f a 1等价于

a a

0,

或

a 0,

分别解不等式组后，取并集可求得a

2 1 1, log2 a 1,

的取值范围 . 【详解】

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f a

1

a 0, a

或

a 0, log2 a

，

2 1 1,

1,

4,2] ，应选 D.

解得： 【点睛】

4 a

0 或 0 a 2 ，即 a [

f ( a) 取不一样的分析式，进此题考察与分段函数相关的不等式，会对

a 进行分类议论，使

.

而

将不等式转变为解绝对值不等式和对数不等式