材料力学第三章习题选及其解答

Me Me Me 3Me 10kNm 20kNm 15kNm (a)

(b) (c) 30kNm 解: (a)

（1）用截面法求内力

2 Me 1 1 Me T1 Me T2 2 Me Me 2 1 1 2 截面1-1

m截面2-2

X0 MeT10T1Me

m（2）画扭矩图

T X0 MeMeT20T22Me

x

(-) 2Me Me （b）

（1）用截面法求内力

Me 1 2 3Me Me 1 T1

Me 1 2 3Me T2

1 2 1 1 2 截面1-1

m截面2-2

X0 MeT10T1Me

m（2）画扭矩图

（c）

（1）用截面法求内力

1 T1 T2 2 20kNm X0 Me3MeT20T22Me

T (-) Me Me (+) x T2 3 20kNm T4 4 10kNm 20kNm 30kNm 1 2 30kNm 3 15kNm 30kNm 4

15kNm 30kNm 截面1-1

m截面2-2

X0 30T10T130kN

m截面3-3

X0 2030T20T110kN

m截面4-4

X0 152030T30T35kN

m（2）画扭矩图

X0 10152030T40T415kNT(kNm)

15 5

(+) x

10 (-) 30 3-6. 发电量为1500kW的水轮机主轴如图示。D=550mm，d=300mm，正常转速n=250r/min。材料的许用剪应力[τ]=500MPa。试校核水轮机主轴的强度。

D d 发电机轴 水轮机轴 解：（1）计算外力扭矩

N1500Me9549954957294Nm

n250（2）计算扭矩

TMe57294Nm

（3）计算抗弯截面模量

πWt(D4d4)29.8103m3

16D（4）强度校核

τ强度足够。

T19.2MPa[σ] Wt3-7. 图示AB轴的转速n=120 r/min，从B轮输入功率N=60马力，此功率的一

半通过锥形齿轮传给垂直轴C，另一半由水平轴H输出。已知D1=60cm，D2=24cm，d1=10cm，d2=8cm，d3=6cm，[τ]=20MPa。试对各轴进行强度校核。

D2 d3 C D1 d2 H d1 A B 解：（1）计算外力扭矩

Me7024MeHN6070243512Nmn120

1Me1756(Nm)2N2Mec7024702.4Nm1206024（2）计算内力扭矩

TABMe3512Nm THMeH1756NmTCM702.4Nm（3）计算抗扭截面模量

Ce

π3d1196106m316πWtHd23100106m3

16πWtCd3342.4106m316WtAB（4）强度校核

τABmaxτHmaxτCmax强度足够。

TAB17.9MPa[τ]WtABTH17.5MPa[τ] WtHTC16.6MPa[τ]WtC3-8. 阶梯形圆轴直径分别为d1=40mm，d2=70mm，轴上装有三个皮带轮。已知

由轮3输入的功率为N3=30kW,轮1输出的功率为N1=13kW，轴作匀速转动，转速n=200 r/min，材料的许用剪应力[τ]=60MPa，G=80GPa，许用扭转角[θ]=2o/m。试校核轴的强度和刚度。

M1 A d1 C M2 D M3 d2 1 2 1m 3 B 解：（1）计算外力扭矩

0.5m 0.3m N113M195499549620.7Nmn200

N330M3954995491432.4Nmn200（2）计算内力扭矩

T12M1620.7NmT23M31432.4Nm

（3）计算抗扭截面模量

π3d112.56106m316

πWt2d2367.31106m316Wt1（4）强度校核

τmax1τmax2强度足够。 （5）刚度校核

T1249.42MPaWt1T2321.28MPaWt2

T12180oθmax11.77o/m[θ]

GIpπ刚度足够。

3-11. 实心轴和空心轴由牙嵌式离合器相联接。已知轴的转速为n=100 r/min，传

递的功率N=7.5kW，材料的许用剪应力[τ]=40MPa。试选择实心轴直径d1和内外径比值为1/2的空心轴外径D2。

D2 d2 d1 解：（1）计算外力扭矩

Me9549（2）计算内力扭矩

N1716.18Nm nTMe716.18Nm

（3）计算抗扭截面模量

π3W1d116

π314W2D2(1α) α162（4）设计截面

TW117.9106m3 d145mm[τ]

TW217.9106m3 d223mm D246mm[τ]2-13. 传动轴的转速为n=500 r/min，主动办公轮1输入功率N1=500马力，从动

轮2、3分别输出功率N2=200马力，N3=300马力。已知[τ]=70MPa，[θ]=1o/m，G=80GPa。

(1). 分另确定AB段的直径d1和BC段的直径d2； (2). 基AB和BC两段选用同一直径，试确定直径d。 (3). 主动轮和从动轮应如何安排才比较合理？

N1 A 1 N2 B 2 N3 C 3 500 400 解：（1）计算外力扭矩

N17024NmnN2M270242809.6Nm

nN3M370244214NmnM17024（2）计算内力扭矩

T12M17024NmT23M34214Nm（3）计算AB段的直径d1和BC段的直径d2

由强度条件：

W1π3T12d1100.34106m316[τ]d180mm

π3T23W2d260.2106m316[τ]d267.4mm由刚度条件：

Ip1π4T12180d15.0106(m4)32G[θ]πd184.6mmπ4T23180d23.0106(m4)32G[θ]πd274.5mm

Ip2综合强度和刚度条件，取

d184.6mm d274.5mm

（4）若AB和BC两段选用同一直径，则取

d1 d284.6mm

（5）A轮和B轮对调位置即主动轮放在中间更合理。

3-14. 设圆轴横截面上的扭矩为T，试求四分之一截面上内力系的合力的大小、

方向及作用点。

T O

d

解：（1）横截面上剪应力分布为：

TρTρ32Tρτρ4πdIπd432（2）将四分之一截面上的力系向O点简化

y MO Qx α Qy d R RO x

d32Tπ24T22QxτρsinθdAsinθdθ0ρdρ40πd3πdAd32Tπ24T22QyτρcosθdAcosθdθρdρ0πd403πdA42T3πdTMOτρρdA4A22ROQxQy

（3）Ro与x轴之间的夹角

παarctg

Qx4（4）将Ro和Mo进一步简化为一合力R，即将Ro平移

QyMo3πdd

Ro1623-19. 钻头简化成直径为20mm的圆截面杆，在头部受均布阻抗扭矩m的作用，

许用剪应力为[τ]=70MPa。(1).求许可的Me；(2).若G=80GPa，求上、下两端的相对扭转角。

Me 200 m 100 解：（1）画扭矩图

由扭矩图知

T

TmaxMe0.1m

（2）确定许可载荷：

π3MeTmaxW[τ]d[τ]110Nm

16（3）求上、下两端的相对扭转角：

υ00.20.1mxMedx0dxGIpGIp

0.0180.00440.0224rad1.28o3-22. AB和CD两杆的尺寸相同。AB为钢杆，CD为铝杆，两种材料的切变模量

之比为G钢：G铝=3：1。若不计BE和ED两杆的变形，试部P的影响将以怎样的比例分配于AB和CD杆上。

C P D

A E a B a 解：（1）受力分析 A

C P D

R’E E RE E B 本题为扭转一次静不定问题 （2）计算杆的扭转角

AB：

υABCD：

R'EaLABGABIp

υCD(PRE)aLCD

GCDIp（3）变形协调关系：

υABaυCDa

考虑到

LABLCD GAB3GCD 解得

R3E4P

4）AB和CD两杆受力分别为：3P/4和P/4

RER'E

（