基于导数误差的移动网格方法

维普资讯 http://www.cqvip.com 第３Ｏ卷第２期　２００８年６月　湘潭大学　自　然科学学报　Ｖｏ１．３Ｏ　Ｎｏ．２　Ｎａｔｕｒａｌ　Ｓｃｉｅｎｃｅ　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｘｉａｎｇｔａｎ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　Ｊｕｎ．２００８　Ｍｏｖｉｎｇ　Ｍｅｓｈ　Ｍｅｔｈｏｄ　ｆｏｒ　Ｍ　ｉｎｉｍｉｚｉｎｇ　Ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅ　Ｅｒｒｏｒ　ＹＡＮＧ　Ｙｉｎ，ＨＵＡＮＧ　Ｙｕｎ—ｑｉｎｇ　（Ｈｕｎａｎ　Ｋｅｙ　Ｌａｂｏｒａｔｏｒｙ　ｆｏｒ　Ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎ　ａｎｄ　Ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ　ｉｎ　Ｓｃｉｅｎｃｅ　ａｎｄ　Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，　Ｓｃｈｏｏｌ　ｏｆ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ　ａｎｄ　Ｃｏｍｐｕｔｉｎｇ　Ｓｃｉｅｎｃｅ，Ｘｉａｎｇｔａｎ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｘｉａｎｇｔａｎ　４１１１０５　Ｃｈｉｎａ）　［Ａｂｓｔｒａｃｔ］Ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎ　ｏｆ　ｏｐｔｉｍａｌ　ｍｅｓｈｅｓ　ｆｏｒ　ｃｏｎｔｒｏｌｌｉｎｇ　ｔｈｅ　ｅｒｒｏｒｓ　ｉｎ　ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅ　ｅｓｔｉｍａｔｉｏｎ　ｆｏｒ　ｐｉｅｃｅｗｉｓｅ　ｌｉｎｅａｒ　ｉｎｔｅｒｐｏｌａｔｉｏｎ　ｏｆ　ｄａｔａ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ　ｉｓ　ｄｉｓｃｕｓｓｅｄ．Ｂｙ　ｔｈｅ　ｏｐｔｉｍａｌ　ｍｅｓｈ，ｔｈｅ　ｇｒｉｄｓ　ａｒｅ　ｉｔｅｒａｔｉｖｅｌｙ　ａｄａｐｔｅｄ　ｔｏ　ｂｅｔｔｅｒ　ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎ　ｔｈｅ　ｓｏｌｕｔｉｏｎ．Ｎｕｍｅｒｉｃａｌ　ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔｓ　ｓｈｏｗ　ｔｈａｔ　ａ　ｆｉｎｉｔｅ　ｅｌｅｍｅｎｔ　ｓｃｈｅｍｅ　ｂａｓｅｄ　ｏｎ　ｔｈｉｓ　ｐｒｏｐｅｒｌｙ　ａｄａｐｔｅｄ　ｍｅｓｈ　ｗｏｒｋｓ　ｉｎ　ａ　ｅｆｆｉｃｉｅｎｔ　ｍａｎｎｅｒ．　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅ　ｅｒｒｏｒ；ｍｏｖｉｎｇ　ｍｅｓｈ；ｏｐｔｉｍａｌ　ｍｅｓｈ；ａｄａｐｔｉｖｅ　基于导数误差的移动网格方法　杨银，黄云清　（湘潭大学数学与计算科学学院，科学工程计算与数值仿真湖南省重点实验室，湖南湘潭４１１１０５）　［摘要］该文首先在理论上利用线性插值构造基于导数误差的最优插值网格，然后通过后验误差估计设计了基于导数　的有限元移动网格迭代算法来求解微分方程．数值实验说明了该文提出的算法是有效的．　关键词：导数误差｝移动网格｝有限元｝自适应　文献标识码：Ａ　、　文章编号：１０００—５９００（２００８）０２—０００１—０６　中图分类号：Ｏ２１４　１　Ｉｎｔｒｏｄｕｃｔｉｏｎ　Ａｄａｐｔｉｖｅ　ｍｏｖｉｎｇ　ｍｅｓｈ　ｍｅｔｈｏｄｓ　ａｒｅ　ｎｏｗ　ｗｉｄｅｌｙ　ｕｓｅｄ　ｉｎ　ｎｕｍｅｒｉｃａｌ　ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎｓ　ｏｆ　ＰＤＥｓ　ｔｏ　ａｃｈｉｅｖｅ　ｂｅｔｔｅｒ　ａｃｃｕｒａｃｙ　ｗｉｔｈ　ｍｉｎｉｍｕｍ　ｄｅｇｒｅｅｓ　ｏｆ　ｆｒｅｅｄｏｍ．Ｉｎ　ｔｈｉｓ　ｐａｐｅｒ，ｗｅ　ｍａｉｎｌｙ　ｄｉｓｃｕｓｓ　ｒ－ｒｅｆｉｎｅｍｅｎｔ，　ｗｈｉｃｈ　ｉｓ　ｓｏ—ｃａｌｌｅｄ　ｍｏｖｉｎｇ　ｍｅｓｈ　ｍｅｔｈｏｄ．Ｍｏｖｉｎｇ　ｍｅｓｈ　ｍｅｔｈｏｄ　ｕｓｅｓ　ｆｌ　ｆｉｘｅｄ　ｎｕｍｂｅｒ　ｏｆ　ｍｅｓｈ　Ｄｏｉｎｔｓ　ａｎｄ　ｌｅｔ　ｔｈｅ　ｍｅｓｈ　ｐｏｉｎｔｓ　ｄｙｎａｍｉｃａｌｌｙ　ｍｏｖｅ　ｗｉｔｈ　ｔｈｅ　ｕｎｄｅｒｌｙｉｎｇ　ｆｅａｔｕｒｅ　ｏｆ　ｔｈｅ　ＰＤＥ．Ａ　ｗｅｌｌ—ｋｎｏｗｎ　Ｄｒｉｎｃｉｐ１ｅ　（ｉｎ　ｏｎｅ　ｓｐａｃｅ　ｄｉｍｅｎｓｉｏｎ）ｔｈａｔ　ｍａｙ　ｕｓｅｄ　ｔｏ　ｍｏｖｅ　ｍｅｓｈ　ｉｓ　ｄｅｓｃｒｉｂｅｄ　ｂｙ　ｔｈｅ　ｓｏ—ｃａｌｌｅｄ　ｅｑｕｉｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ　ｐｒｉｎｃｉｐｌｅ［７￣８３．Ｗｅ　ｗｏｕｌｄ　ｌｉｋｅ　ｔｏ　ｅｑｕａｌｌｙ　ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ　ｗｅｉｇｈｔ　ｏｒ　ｍｏｎｉｔｏｒ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ　Ｍ　ｏｎ　ａ　ｓｐａｔｉａｌ　ｍｅｓｈＩ—　．ｄｅａｌｌｙ，ｔｈｉｓ　Ｍ　ｒｅｐｒｅｓｅｎｔｓ　ｓｏｍｅ　ｍｅａｓｕｒｅ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｎｕｍｅｒｉｃａｌ　ｅｒｒｏｒ　ｉｎ　ｔｈｅ　ｄｉｓｃｒｅｔｉｚａｔｉｏｎ．　Ｉｎ　ｏｔｈｅｒ　ｗｏｒｄｓ．　ｗｅａｌｍｓ　ｔｏ　ｃｈｏｏｓｅ　ｏｒ　ｃｏｍｐｕｔｅ　ｆｌ　ｎｏｎ—ｕｎｉｆｏｒｍ　ｍｅｓｈ｛ｘｉ『０＝ｘ０＜ｘｌ＜…＜ｚ　ｌ＜ｘＮ＝１｝ｓｕｃｈ　ｔｈａｔ　广　１　ｌ…Ｍ（ｚ）ｄｘ＝ｃｏｎｓｔａｎｔ，　ｉ＝０，１，２，…，Ｎ一１．　Ｊ　ｘｉ　Ｏｒｄｉｎａｒｉｌｙ，ａ　ｒｅｌａｔｅｄ　ｃｈｏｉｃｅ　ｆｏｒ　ｔｈｅ　ｍｏｎｉｔｏｒ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ　ｉｓ　ｔｈｅ　ｓｏ—ｃａｌｌｅｄ　ａｒｃ－ｌｅｎｇｔｈ　ｍｏｎｉｔｏｒ　ａｎｄ　ｍａｎｖ　ｏｔｈｅｒ　ｃｈｏｉｃｅｓ　ｆｏｒ　ｔｈｅ　ｗｅｉｇｈｔ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ　ａｒｅ　ｐｏｓｓｉｂｌｅ．　Ｉｎ　ｔｈｉｓ　ｐａｐｅｒ，ｗｅ　ａｒｅ　ｉｎｔｅｒｅｓｔｅｄ　ｉｎ　ｏｂｔａｉｎｉｎｇ（ｎｅａｒｌｙ）ｏｐｔｉｍａｌ　ｍｅｓｈ　ｗｉｔｈ　ｒｅｇａｒｄ　ｔｏ　ｔｈｅ　ｉｓｓｕｅｓ　ｏｆ　ｃｏｎｔｒｏｌｌｉｎｇ　ｄａｔａ　ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎ　ｅｒｒｏｒｓ．Ｔｈｅ　ｅｒｒｏｒ　ｍｅａｓｕｒｅ　ｉｓ　ｔｈｅ　ｍａｘｉｍｕｍ　ｅｒｒｏｒ　ｏｖｅｒ　ｔｈｅ　ｍｅｓｈ　ｉｎ　ｅｓｔｉ—　ｍａｔｉｎｇ　ｔｈｅ　ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅ　ｏｆ　ａ　ｓｍｏｏｔｈ　ｄａｔａ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ　ｂｙ　ｔｈｅ　ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅ　ｏｆ　ａ　ｌｉｎｅａｒ　ｉｎｔｅｒｐｏ１ａｎｔ　ａｔ　ｔｈｅ　ｖｅｒｔｉｃｅｓ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｍｅｓｈ．Ｗｈｉｌｅ　ｃｏｎｔｒｏｌ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅ　ｅｒｒｏｒ　ｈａｓ　ｐｒａｃｔｉｃａｌ　ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ．Ｐｒａｃｔｉｃａ１　ｍｅｔｈｏｄｓ　ｏｆ　ｃａ—　ｍｅｓｈ　ｇｅｎｅｒａｔｉｏｎ　ｔｙｐｉｃａｌｌｙ　ｕｓｅ　ａ　ｖａｒｉｅｔｙ　ｏｆ　ｈｅｕｒｉｓｔｉｃｓ，ａｉｍｅｄ　ａｔ　ｉｍｐｒｏｖｉｎｇ　ｔｈｅ　ｍｅｓｈｅｓ　ａＰＰｒｏｘｉｍａｔｉｎｇ　ｐａｂｉｌｉｔｙ　ｏｒ　ａｔ　ｒｅｄｕｃｉｎｇ　ｔｈｅ　ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎａｌ　ｃｏｓｔ　ｏｆ　ｉｔｓ　ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎ．　Ａｎ　ｉｍｐｏｒｔａｎｔ　ｒｏｌｅ　ｏｆ　ｏＤｔｉｍａ１　ｍｅｓｈ　．　ｓｔｕｄｉｅｓ　ｉｓ　ｔｏ　ｐｒｏｖｉｄｅ　ｆｌ　ｓｔａｎｄａｒｄ　ｆｏｒ　ｍｅａｓｕｒｉｎｇ　ｔｈｅ　ｅｆｆｅｃｔｉｖｅｎｅｓｓ　ｏｆ　ｓｕｃｈ　ｈｅｕｒｉｓｔｉｃｓＴｈｅ　ｔｅｒｍ“ｏｐｔｉｍａｌ，，ａｓ　ａｐｐｌｉｅｄ　ｔｏ　ａ　ｍｅｓｈ　ｉｎ　ｒｅｆｅｒｅｎｃｅ　ｔｏ　ｃｏｎｔｒｏｌｌｉｎｇ　ｄａｔａ　ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎ　ｅｒｒｏｒｓ　ｃａｎ　＊收稿日期：２００７—１２—１３　基金项目：国家９７３项目资助（２００５ＣＢ３２１７０１）　作者简介：杨银（１９８２一），女，湖南湘乡人，博士．Ｅ—ｍａｉｌ｝ｙａｎｇｙｉｎｘｔｕ＠ｘｔｕ．ｅｄｕｃ“　．维普资讯 http://www.cqvip.com

Ｎａｔｕｒａｌ　Ｓｃｉｅｎｃｅ　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｘｉａｎｇｔａｎ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　２００８　ｈａｖｅ　ａｎｙ　ｏｆ　ｓｅｖｅｒａｌ　ｃｏｎｎｏｔａｔｉｏｎｓ　ｆｏｕｎｄ　ｉｎ　ｔｈｅ　ｌｉｔｅｒａｔｕｒｅ．Ｔｗｏ　ｃｌｏｓｅｌｙ　ｒｅｌａｔｅｄ　ｏｎｅｓ　ａｒｅ：　（ａ）ｔｈｅ　ｍｉｎｉｍｕｍ　ｅｒｒｏｒ　ｃｒｉｔｅｒｉｏｎ，ｉ．ｅ．ａｎ　ｏｐｔｉｍａｌ　ｍｅｓｈ　ｒｅｄｕｃｅｓ　ｔｈｅ　ｅｒｒｏｒ　ｔｏ　ａ　ｍｉｎｉｍｕｍ　ｆｏｒ　ａ　ｐｒｅ—　ｓｃｒｉｂｅｄ　ｎｕｍｂｅｒ　ｏｆ　ｍｅｓｈｅｓ．　（ｂ）ｔｈｅ　ｍａｘｉｍｕｍ　ｅｆｆｉｃｉｅｎｃｙ　ｃｒｉｔｅｒｉｏｎ，ｉ．ｅ．ａｎ　ｏｐｔｉｍａｌ　ｍｅｓｈ　ａｃｈｉｅｖｅｓ　ａ　ｓｐｅｃｉｆｉｅｄ　ｅｒｒｏｒ　ｔｏｌｅｒａｎｃｅ　ｗｉｔｈ　ｔｈｅ　ｍｉｎｉｍｕｍ　ｎｕｍｂｅｒ　ｏｆ　ｍｅｓｈｅｓ．ｍｅｒａｔｅ　Ｏｕｒ　ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎ　ｉｓ　ｐａｒｔｉｔｉｏｎｅｄ　ｉｎｔｏ　ｓｅｃｔｉｏｎｓ　ｏｎ　ｔｈｅ　ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ　ｔｏｐｉｃｓ．Ｉｎ　Ｓｅｃｔ．２，ｗｅ　ｄｅｍｏｎｓｔｒａｔｅ　ｔｈｅ　ｃｏｎ—　ｓｔｒｕｃｔｉｏｎ　ｏｆ　ａｎ　ｏｐｔｉｍａｌ　ｍｅｓｈ　ｆｏｒ　ｃｏｎｔｒｏｌｌｉｎｇ　ｔｈｅ　ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅ　ｅｒｒｏｒ　ｆｏｒ　ｑｕａｄｒａｔｉｃ　ｄａｔａ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ　ｕｓｉｎｇ　ｌｉｎｅａｒ　ｉｎｔｅｒ－　ｐｏｌａｎｔ　ａｎｄ　ｅｘｔｅｎｄ　ｔｈｅｓｅ　ｉｄｅａ　ｔｏ　ｄｅａｌ　ｗｉｔｈ　ｇｅｎｅｒａｌ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ　ｂｅｌｏｎｇｉｎｇ　ｔｏ　Ｃ２．Ｉｎ　Ｓｅｃｔ．３，ｗｅ　ｕｓｅ　ｔｈｉｓ　ｍｅｓｈ　ｇｅｎ—　ｅｒａｔｉｏｎ　ｔｏ　ｆｉｎｉｔｅ　ｅｌｅｍｅｎｔ　ｍｅｔｈｏｄ，ａ　ｉｔｅｒａｔｉｖｅ　ｍｅｔｈｏｄ　ｔｏ　ｍｏｖｅ　ｍｅｓｈ　ｂｙ　ｅｓｔｉａｔｉｍｎｇ　ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅ　ｅｒｒｏｒ　ｉｓ　ｄｅｓｉｇｎｅｄ．　Ｉｎ　Ｓｅｃｔ．４，ｔｈｅ　ｎｕｍｅｒｉｃａｌ　ｅｘａｍｐｌｅ　ｓｈｏｗｅｄ　ｏｕｒ　ｔｈｅｏｒｙ　ａｎｄ　ａｌｇｏｒｉｔｈｍ　ｉｓ　ｅｆｆｅｃｔｉｖｅ．　２　Ｏｐｔｉｍａｌ　ｍｅｓｈｅｓ　ｆｏｒ　ｍｉｎｉｍｉｚｉｎｇ　ｔｈｅ　ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅ　ｅｒｒｏｒ　Ｉｎ　ｔｈｉｓ　ｓｅｃｔｉｏｎ，ｗｅ　ｆｉｒｓｔ　ｉｎｔｒｏｄｕｃｅ　ｔｈｅ　ｌｉｎｅａｒ　ｔｒａｎｓｆｏｒｍ　ｆｏｒ　ｓｉｍｐｌｉｆｙｉｎｇ　ｔｈｅ　ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅ　ｅｒｒｏｒ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ　ｆｏｒ　ｌｉｎｅａｒ　ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎ　ｔｏ　ａ　ｎｏｎｄｅｇｅｎｅｒａｔｅ　ｑｕａｄｒａｔｉｃ　ｄａｔｅ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ　ｂａｓｅｄ　ｏｎ　ｉｎｔｅｒｐｏｌａｔｉｏｎ　ａｔ　ｔｈｅ　ｖｅｒｔｉ—　ｃｅｓ　ｏｆ　ａ　ｇｅｎｅｒａｌ　ｍｅｓｈ．Ｗｅ　ｃａｎ　ｗｒｉｔｅ　ｔｈｅ　ｄａｔａ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ　ａｓ　厂（ｚ）＝ａｘ。＋ｂｘ＋ｃ，　ｗｈｅｒｅ　ａ，６，ｃ　ａｒｅ　ｃｏｎｓｔａｎｔｓ．Ｌｅｔ　ｐ（ｚ）ｂｅ　ｔｈｅ　ｌｉｎｅａｒ　ｉｎｔｅｒｐｏｌａｎｔ　ｏｆ厂（ｚ）ｏｎ　ｔｈｅ　ｅｌｅｍｅｎｔ　ｏｆ　Ｔ一［ｚ　１，ｚｉ］，　ｔｈｅｎ　ｐ（ｘ卜１）＝ｆ（ｘ　１），ｐ（ｘｆ）＝ｆ（ｘ　）．　Ｌｅｔ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ　Ｅ（ｚ）ｂｅ　ｔｈｅ　ｉｎｔｅｒｐｏｌａｔｉｏｎ　ｅｒｒｏｒ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ，　Ｅ（ｚ）一厂（ｚ）一Ｐ（ｚ）＝ａｘ。＋ｄ１ｚ＋ｄ２．　Ｗｅ　ｈａｖｅ　Ｅ（ｘ　１）＝Ｅ（ｘｆ）＝０，Ｅ（ｚ）ｉｓ　ａ　ｑｕａｄｒａｔｉｃ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ　ａｎｄ　ｉｔｓ　ｌｅｖｅｌ　ｃｕｒｖｅ　ｆｏｒｍ　ａ　ｃｏｎｉｃｓ　ｗｉｔｈ　ａ　ｃｅｎｔｅｒ　ｚ　．Ｌｅｔ￡＝Ｅ（ｘ　），ｔｈｅｎ　ｄ１＝一２ａｘ　。Ｉｔ　ｉｓ　ｓｈｏｗｎ　ｔｈａｔ　ｔｈｅ　ｅｒｒｏｒ　ａｔ　ａ　ｄｉｓｐｌａｃｅｍｅｎｔ　ｄｘ　ｆｒｏｍ　ｔｈｅ　ｃｅｎｔｅｒ　ｃａｎ　ｂｅ　ｅｘｐｒｅｓｓｅｄ　ａｓ　Ｅ（ｚ）一Ｅ（ｘ　＋ｄｘ）＝ｅ＋ａ（ｄｘ）。．　Ｗｅ　ｄｅｆｉｎｅ　ｔｈｅ　ｅｒｒｏｒ　ｉｎ　ｔｈｅ　ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅ　ｅｓｔｉｍａｔｅ　ｂａｓｅｄ　ｏｎ　ｐ（ｚ），　（１）　ＥＧ（ｚ）＝ｌ　Ｐ　（ｚ）一／（ｚ）ｌ＝ｌ（ｐ（ｚ）一厂（ｚ））　ｌ＝ｌ　Ｅ　（ｚ）ｌ＝ｌ　２ａｄｘ　１．　Ｂｙ（１）ｗｅ　ｈａｖｅ　ＥＧ（ｚ　）＝０．Ｉｎｔｒｏｄｕｃｅ　ａ　ｃｏｏｒｄｉｎａｔｅ　ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ　一２ａｄｚ，三一２ａｘ，主　一２ａｘ　，　（２）　ｔｈｅｎ　Ｅ　（ｚ）＝ｌ　２ａｄｘ　ｌ—ｌ　ｄ主ｌ＝　（主），　Ｅ（ｚ）＝￡＋口（ｄｚ）。一￡＋　（　）＝　（主）．　‘士ａ　（３）　（４）　Ｌｅｔ　ｂｅ　ｔｈｅ　ｉｍａｇｅ　ｏｆ　Ｔ　ｕｎｄｅｒ　ｔｈｅ　ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ　ｏｆ（２）．　Ｉｔ　ｗａｓ　ｐｏｉｎｔｅｄ　ｏｕｔ　ｔｈａｔ　ｔｈｅ　ｉｎｔｅｒｐｏｌａｔｉｏｎ　ｅｒｒｏｒ　ｖａｎｉｓｈｅｓ　ａｔ　ｔｈｅ　ｖｅｒｔｉｃｅｓ．Ｆｏｒ　ａ　ｇｉｖｅｎ　ｅｒｒｏｒ　ｔｏｌｅｒａｎｃｅ　，ｗｅ　ｈａｖｅ　Ｅｃ（ｚ）　，ｚ∈Ｔ．Ｌｅｔ　２ａｄｚ＝ｄ　＝　，ｎａｍｅ１ｙ　ｔｈｅ　ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅ　ｅｒｒｏｒ　ａｔ　ｔｈｅ　ｖｅｒｔｉｃｅｓ　ｏｎ　ｔ　ｉｓ　ｔｈｅ　ｔｏｌｅｒａｎｔ　ｅｒｒｏｒ．Ｂｙ（２），ｔ＝［主　一ｒ，主　十ｒ］，　ａｎｄ　ｔｈｉｓ　ｅｌｅｍｅｎｔ　ｈａｓ　ｔｈｅ　ｍａｘｉｍａｌ　ｌｅｎｇｔｈ　ａｍｏｎｇ　ａｌｌ　ｅｌｅｍｅｎｔ　ｍｅｅｔｉｎｇ　ｔｈｅ　ｅｒｒｏｒ　ｔｏｌｅｒａｎｃｅ．Ｗｅ　ｃａｎ　ｃｏｎ—　ｓｔｒｕｃｔ　ｍｅｓｈｅｓ　ｂｙ　ｕｓｉｎｇ　ｔｈｉｓ　ｅｌｅｍｅｎｔ　ｔｏ　ｃｏｖｅｒ　ｔｈｅ　ｒｅｇｉｏｎ　ｓｕｃｈ　ｔｈａｔ　ｔｈｅ　ｎｕｍｂｅｒ　ｏｆ　ｅｌｅｍｅｎｔ　ｉｓ　ｎｏｔ　ｌａｒｇｅｒ　ｔｈａｎ　ｔｈｅ　ｎｕｍｂｅｒ　ｒｅｑｕｉｒｅｄ　ｂｙ　ａｎｙ　ｏｔｈｅｒ　ｅｌｅｍｅｎｔｓ　ｔｈａｔ　ｍｅｅｔｓ　ｔｈｅ　ｓａｍｅ　ｔｏｌｅｒａｎｃｅ　ｆｏｒ　ｔｈｅ　ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅ　ｅｒｒｏｒ．　Ｉｔ　ｃａｎ　ｂｅ　ｉｎｖｅｒｓｅ　ｔｒａｎｓｆｏｒｍｅｄ　ｂｙ（２）ｔｏ　ｔｈｅ　ｄｅｓｉｒｅｄ　ｏｐｔｉｍａｌ　ｍｅｓｈｅｓ　ｆｏｒ　ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅ　ｅｒｒｏｒ　ｔｏｌｅｒａｎｃｅ　ｂａｓｅｄ　ｏｎ　ｔｈｅ　ｍａｘｉｍａｌ　ｃｒｉｔｅｒｉｏｎ．　Ａｓ　ｗｅ　ｎｏｗ　ｓｅｅｋ　ｔｏ　ｅｘｔｅｎｔ　ｔｈｅ　ｏｐｔｉｍａｌ　ｍｅｓｈ　ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎ　ｔｏ　ｍｏｒｅ　ｇｅｎｅｒａｌ　ｄａｔａ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ，ｗｅ　ｏｂ—　ｓｅｒｖｅ　ｔｈａｔ　ｌｏｃａｌｌｙ　ａ　Ｃ。ｆｕｎｃｔｉｏｎｂｅｈａｖｅｓ　ａｓ　ａ　ｑｕａｄｒａｔｉｃ　ｇｉｖｅｎ　ｂｙ　ｉｔｓ　Ｔａｙｌｏｒ　ｅｘｐａｎｓｉｏｎ，　厂（ｚ＋ｄｚ）≈ｌｒ（ｚ）（ｄｚ）。＋／（ｚ）（ｄｚ）＋厂（ｚ）＋。（ｄｚ）。，　（５）　维普资讯 http://www.cqvip.com Ｎｏ．２　ＹＡＮＧ　Ｙｉｎ　ｅｔ　ａ１　Ｍｏｖｉｎｇ　Ｍｅｓｈ　Ｍｅｔｈｏｄ　Ｆｏｒ　Ｍｉｎｉｍｉｚｉｎｇ　ＤｅｒｉＶａｔｉＶｅ　Ｅｒｒｏｒ　３　ｗｈｅｒｅ厂，（　），　（　）ａｒｅ　ｔｈｅ　ｆｉｒｓｔ　ａｎｄ　ｓｅｃ。ｎｄ　ｄｅｒｉｖａｔｉＶｅ。ｆ厂（ｚ）ｅＶａｌｕａｔｅｄ　ａｔ　・　Ｏｎ　ｅｌｅｍｅｎ　丁＇ｌｅ　痧（　）　ｔｈｅ‰ｅ吖ｉｎｔｅｒｐ。　讥ｔ。ｆ　ｆ（ｘ）。ｎ　ｔｈｅ　ｅｌｅｍｅｎｔ。ｆ丁一［　１，ｚ　］，　ｈｅｎ　Ｅ（　）一厂（　）一　（ｚ）一　１（ｚ—ｚ）（ｘ－－ｘ￣）　・　卜　Ｌｅｔｚ　一（　ｉ＋　卜１）／２，ｔｈｅｎ　Ｅ（　）一Ｅ（　＋ｄ　）一号（（　＋如）一　卜－）（（　ｃ＋ｄ　）一ｚ　）　一　专（（ｚｃ—ｚ卜－）＋ｄｚ）（（ｚｃ—ｚ　＋ｄ　一　［（　一ｚ卜。）（　一　）＋（（　一　卜　）＋（　一　））如＋（　）。］／一Ｅ（　ｃ）＋专（ｄ　）。　＇‘６　（　）一ＥＧ（　＋ｄｘ）一Ｉ　ｆ＂（ｘ）ｄｘ　Ｉ—Ｉ　ｄ；Ｉ，　ｗｈｅｒｅ　ｄ；一Ｊ　０　．　（７）　＋　（　）ｄ　．Ｆ。ｒ　ａ　ｇｉｖｅｎ　ｅｒｒｏｒ　ｔｏｌｅｒａｎｃｅ　ｒ，Ｅｃ（　）一Ｉ　ｄ；Ｉ　ｒ，ｌｅｔ　一／（　）妇，ｎａｍｅｌｙ　；（　）一ｒ　（　）ｄｚ，ｗｈｅｎ　Ｉ　ｄ；Ｉ—Ｉ；　一；　Ｉ—Ｉ　ｒ　（　）ｄｘ　Ｉ—Ｉ／（ｚ　）一　（　）Ｉ—ｒ，　ｃｏｎｓｔｒｕｃｔ　ｏｐｔｉｍａｌ　ｍｅｓｈｅｓ　ｂａｓｅｄ　ｏｎ　ｔｈｅ　ｍａｘｉｍａｌ　ｃｒｉｔｅｒｉｏｎ．　（８）　ｅｌｅｍｅｎｔ丁一［　卜１，　ｆ　ｊ　ｈａｓ　ｔｈｅ　ｍａｘｉｍａ１　ｌｅｎｇｔｈ　ａｍ。ｎｇ　ａ１１　ｅｌｅｍｅｎｔ　ｍｅｅｔｉｎｇ　ｔｈｅ　ｅｒｒｏｒ　ｔ。１ｅｒａｎｃｅ．ｗｅ　ｃａｎ　＋　Ｔｈｅｏｒｅｍ：　Ｌｅｔ　ｆ　ａｎｄ户斗１　ａｒｅ　ｔｈｅ　ｌｉｎｅａｒ　ｉｎｔｅｒｐｏｌａｔｉｏｎ　ｏｎ　ｅｌｅｍｅｎｔ丁ｆ　ａｎｄ　Ｔ．－１　ｒｅｓｐｅｃｔｉｖｅｌｙ＇ｓｅｔ　ｈｉ—　ｚｆ—　１，ｔｈｅｎ　ｗｅ　ｈａｖｅ　／ｃｚ　一南‰　Ｐｒｏｏｆ　＋０（＾。）．　Ｐ　ｉ：　ｆ（ｘ　）一厂（　．　件ｌ　二　兰　斗　厂（　斗　）一厂（　）＋＾斗。／（　）＋　＾　－厂（　ｒ）＋　＾　－厂（　），　（　卜。）一厂（　）一ｈ　厂　（　）＋　＾；。　（　；）一　。厂（　），　／（　一　／（　一　／（　）一　ｈｉｆｌ（ｘ，）　一扣－　（　一扣－。厂（　），　一专ｈ　（　一　（　）・　（　件１＋ｈ　ｉ）＾件１　＋　　。ｈ（＾件ｌ＋　）＾　ｌ　＋　ｗｈｅｒｅ　∈（　ｆ，　斗１），　∈（　卜１，Ｘｉ）．Ｃｏｕｐｌｉｎｇ　ａｂｏｖｅ　ｆｏｕｒ　ｅｑｕａｔｉｏｎ＇ｗｅ　ｈａｖｅ　专厂（　（　一　）一　（　厂（　）　＋ｏ（ｈ。）．　一　ｈｉｐ　斗　ｈｉ＋１＋ｈｆ　３　Ｍｏｖｉｎｇ　ｍｅｓｈ　ｍｅｔｈｏｄ　ｂａｓｅｄ　ｏｎ　ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅ　ｅｒｒｏｒ　‘　Ｉｎ　Ｓｅｃｔ．２，ｗｅ　ｈａｖｅ　ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｅｄ　ａｎ　ｏｐｔｉｍａｌ　ｍｅｓｈ　ｆｏｒ　ｃｏｎｔｒｏｌｌｉｎｇ　ｔｈｅ　ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅ　ｅｒｒｏｒ．　Ｉｔ　ｉｓ　ｔｈｅ　ｂａ—　ｓｉｓ　ｏｆ　ｇｒｉｄ　ａｄａｐｔａｔｉｏｎ　ａｌｇｏｒｉｔｈｍ．Ｒｏｕｇｈｌｙ　ｓｐｅａｋｉｎｇ，ｆｏｒ　ａ　ｇｉｖｅｎ　，ｗｅ　ｗｉｌｌ　ａｄａｐｔ　ＯＵｒ　ｇｒｉｄｓ　ｉｎ　ｓｕｃｈ　ａ　ｗａｙ　ｔｈａｔ（８）ｗｉｌｌ　ｂｅ　ｂｅｔｔｅｒ　ａｎｄ　ｂｅｔｔｅｒ　ｓａｔｉｓｆｉｅｄ．Ｉｎ　ｔｈｉｓ　ｓｅｃｔｉｏｎ，ｗｅ　ｗａｎｔ　ｔｏ　ｕｓｅ　ｔｈｉｓ　ｉｄｅａ　ｔｏ　ｇｅｎｅ　ａｔ　ｔｈｅ　ｍｅｓｈ　ｔｏ　ｓｏ１ｖｅ　ＰＤＥｓ　ｗｉｔｈ　ｓｔａｎｄａｒｄ　ｆｉｎｉｔｅ　ｅｌｅｍｅｎｔ　ｍｅｔｈｏｄｓ．　Ｗｅ　ｃｏｎｓｉｄｅｒ　ｔｈｅ　ｏｎｅ　ｄｉｍｅｎｓｉｏｎ　ｐａｒｔｉａｌ　ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ　ｅｑｕａｔｉｏｎ　维普资讯 http://www.cqvip.com

４　Ｎａｔｕｒａｌ　Ｓｃｉｅｎｃｅ　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｘｉａｎｇｔａｎ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　２００８　ｆＬＭ一厂　ｌ“　ｇ　ｉｎ　ｎ　ｏｎ　ｎ，　（９）　ｗｈｅｒｅ　Ｌ　ｉｓ　ａ　ｐａｒｔｉａｌ　ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ　ｏｐｅｒａｔｏｒ．Ｌｅｔ　ｎ＝ａ，６］，“＾（ｚ）一∑“　乒　（ｚ）ｉｓ　ｔｈｅ　ｌｉｎｅａｒ　ｆｉｎｉｔｅ　ｅｌｅ—　ｆ＝０　ｍｅｎｔ　ｓｏｌｕｔｉｏｎ　ｏｆ　ｔｈｅ　ＰＤＥ　ｏｎ　ｍｅｓｈｎＮ一｛ａ＝ｘｏ＜ｘ１＜ｘ２……＜ｘＮ＝ｂ）．“＾（ｚ）ｉｓ　ａ　ｐｉｅｃｅｗｉｓｅ　ｌｉｎｅａｒ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ．Ｓｉｎｃｅ　ｔａｋｉｎｇ　ｐｉｅｃｅｗｉｓｅ　ｓｅｃｏｎｄ　ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅｓ　ｔｏ　ｐｉｅｃｅｗｉｓｅ　ｌｉｎｅａｒ　ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ　ｗｉｌｌ　ｇｉｖｅｎ　ｎｏ　ａｐｐｒｏｘｉ—　ｍａｔｉｏｎ　ｔｏ　ｈｅｓｓｉａｎ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ，ｓｐｅｃｉａｌ　Ｐｏｓｔｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ　ｔｅｃｈｎｉｑｕｅｓ　ｎｅｅｄ　ｔｏ　ｂｅ　ｕｓｅｄ　ｔｏ　ｏｂｔａｉｎ　ｒｅａｓｏｎａｂｌｅ　Ｈｅｓｓｉａｎ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ　ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎ　ｆｒｏｍ　ｌｉｎｅａｒ　ｆｉｎｉｔｅ　ｅｌｅｍｅｎｔ．Ｏｎｅ　ｍｏｓｔ　ｐｏｐｕｌａｒ　ｔｅｃｈｎｉｑｕｅ　ｉｓ　ｐａｔｃｈ　ｒｅｃｏｖ—　ｃｒｙ　ｔｅｃｈｎｉｑｕｅ　ｐｒｏｐｏｓｅｄ　ｂｙ　Ｚｉｋｉｅｎｗｉｃｚ—Ｚｈｕ［　．　Ｌｅｔ　０＂ｈ　ｚ一“　＾（ｚ），ｗｈｅｒｅ“　＾（ｚ）ｉｓ　ａ　ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎａｌ　ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅ，ｉ．ｅ．，ｐｉｅｃｅｗｉｓｅ　ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅ．Ｌｅｔ　ｚｆ　ａｎｄ主斗１　ｂｅ　ｔｈｅ　ｃｅｎｔｅｒｓ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｅｌｅｍｅｎｔ　Ｊ　＝［ｚ卜１，ｘｆ］ａｎｄ　Ｊ升１＝［ｚ。，ｚ汁１］ｒｅｓｐｅｃｔｉｖｅｌｙ．Ｗｅ　ｃｏｎｓｔｒｕｃｔ　ａ　ｐｏｌｙｎｏｍｉａｌ　（ｚ）一ａ１＋ａ２ｘ　ｓｕｃｈ　ｔｈａｔ　Ｆ（ａ。，口２）一∑（　（ｚ，）一　（ｚ，））　＝ｍｉｎ，　（１０）　Ｊ　ｆ，升１　ａｎｄ　ｆｕ　ｎｃｔｉｏ　Ｎ　（ｚ）一∑ｊ＆　（ｚ）　（　），　（１１）　ｉ＝０　ｗｈｅｒｅ　（ｚ）ｉｓ　ｔｈｅ　ｂａｓｉｓ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ　ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇ　ｔｏ　ｔｈｅ　ｉｎｔｅｒｉｏｒ　ｎｏｄｅ　ｘｉ．Ｔｈｅｎ　（ｚ）ｉｓ　ｔｈｅ　ｒｅｃｏｖｅｒｙ　ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ　ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅ　ｏｆ“＾（ｚ）．　Ｂａｓｅｄ　ｏｎ　ｔｈｅ　ｍｉｎｉｍｕｍ　ｅｒｒｏｒ　ｃｒｉｔｅｒｉｏｎ，ａｎ　ｏｐｔｉｍａｌ　ｍｅｓｈ　ｆｏｒ　ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅ　ｅｒｒｏｒ　ｗｉｔｈ　ａ　ｐｒｅｓｃｒｉｂｅｄ　ｎｕｔｕｂｅｒ　ｏｆ　ｅｌｅｍｅｎｔｓ　ｉｓ　ｔｈｅ　ｍｅｓｈ　ｓａｔｉｓｆｙｉｎｇ　　１（ｚ　）一　（ｚ　）１—１　（ｚ　）一　（ｚ　）１一…一１　（ｚ　）一　（ｚ　・）１．　（１２）　（８）ｐｒｏｖｉｄｅｓ　ａ　ｃｈｏｉｃｅ　ｏｆ　ｍｏｎｉｔｏｒ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ　ｏｆ　ｍｏｖｉｎｇ　ｍｅｓｈ　ｍｅｔｈｏｄｓ，ｉ．ｅ．Ｍ（ｚ）一　（ｚ）．Ｔｈｅ　ｇｒｉｄ　Ｄｏｉｎｔｓ　ｘｉ　ａｄｊ　ｕｓｔ　ｉｎ　ｓｕｃｈ　ａ　ｗａｙ　ｔｈａｔ　ｔｈｅ　ｓａｍｅ　ｃｈａｎｇｅ　ｉｎ　ｔｈｅ　ｓｏｌｕｔｉｏｎ“　ｏｃｃｕｒｓ　ｏｖｅｒ　ｅａｃｈ　ｇｒｉｄ　ｉｎｔｅｒｖａｌ　（ｚ　１，ｚ。）．Ｂｕｔ　ｔｈｅ　ｄｉｓａｄｖａｎｔａｇｅ　ｉｓ　ｔｈｅ　ｆａｃｔ　ｔｈａｔ，ｉｆ“　０，ｔｈｅｎ　ｈｌ—ｘｉ—Ｘｉ，－１　。。．Ａｎ　ａｌｔｅｒｎａｔｉｖｅ　ｃｈｏｉｃｅ　ｆｏｒＭｉｓ　ｔｏ　ｔａｋｅＭ（ｚ）一１＋ｌ“　（ｚ）ｌ，ｉｎ　ｔｈｉｓ　ｃａｓｅ，（１２）ｉｓ　ｃｈａｎｇｅｄ　ｔｏ　ｆ　－（ｚ斗１）一　（ｚ　）ｆ＋ｈ斗１一ｃｏｎｓｔａｎｔ，ｈ升１一ｘ斗１一ｚｉ，　ｉ一０，１，２，…，Ｎ一１．　（１３）　Ｉｎ　Ｄｒａｃｔｉｃａ１　ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎ，ｔｈｅ　ｐｒｏｂｌｅｍ（９）ｉｓ　ｓｏｌｖｅｄ　ｉｔｅｒａｔｉｖｅｌｙ．Ｗｅ　ｃｏｎｓｔｒｕｃｔ　ｔｈｅ　ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ　ｉｔｅｒａ—　ｔｉｏｎ　ａｌｇｏｒｉｔｈｍ：　ＳｔｅＤ　１　Ｉｎｉｔｉａｌｉｚｅ　ｍｅｓｈ：ｔｈｅ　ｉｎｉｔｉａｌ　ｍｅｓｈ｛ｚ　∞ｆ　ｚ；∞＝　／Ｎ，ｉ一０，１，２，…，Ｎ｝ｉｓ　ｕｎｉｆｏｒｍ．　ＳｔｅＤ　２　Ｆｏｒ　ｋ一０，１，…，ａｓｓｕｍｉｎｇ　ｔｈａｔ　ｔｈｅ　ｍｅｓｈ｛ｚ　｝ｉｓ　ｇｉｖｅｎ，ｃｏｍｐｕｔｅ　ｔｈｅ　ｌｉｎｅａｒ　ｆｉｎｉｔｅ　ｅｌｅｍｅｎｔ　ｓｏｌｕｔｉｏｎ｛“　｝ｏｎ｛ｚ　｝．　ＳｔｅＤ　３　ＲｅｃＯｖｅｒｙ　ｔｈｅ　ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅ　ｏｆ“　（ｚ）ｂｙ　ＺＺ　ｓｕｐｅｒｃｏｎｖｅｒｇｅｎｔ　ｐａｔｃｈ　ｒｅｃｏｖｅｒｙ　ｍｅｔｈｏｄｓ，ｓｕｃｈ　ｔｈａｔ　Ｎ＋Ｉ　Ｚ　＝ｌ　。　的（ｚ　’）一　Ｄ（ｚＨ‘的）Ｉ＋＾　，Ｌ　一　∑Ｌ　娃　］．　一１　Ｓｔｅｐ　４　Ｔｅｓｔ　ｍｅｓｈ：Ｌｅｔ　Ｃｏ　ｂｅ　ａ　ｕｓｅｒ—ｃｈｏｓｅｎ　ｃｏｎｓｔａｎｔ　ｗｉｔｈ　ｏＣ＞１＇　ｉｆ　ｍａｘ　ｌ　／Ｌ　Ｃ０／Ｎ　ｈｏｌｅ　ｔｒｕｅ。ｔｈｅｎ　ｇｏ　ｔｏ　ｓｔｅｐ　６，ｏｔｈｅｒｗｉｓｅ，ｃｏｎｔｉｎｕｅ　ｔｏ　ｓｔｅｐ　５．　Ｓｔｅｐ　５　Ｃ－ｅｎｅｒａｔｅ　ｔｈｅ　ｎｅｗ　ｍｅｓｈ　ｂｙ（１３）．Ｏｕｒ　ｎｅｗ　ｍｅｓｈ　ｉｓ　ｔｈｅｎ　ｄｅｆｉｎｅｄ　ｔｏ　ｂｅ｛　㈣｝・Ｒｅｔｕｒｎ　ｔｏ　ｓｔｅｐ　２・　Ｓｔｅｐ　６　Ｓｅｔ　ｚ　一ｚ；　ａｎｄ　ｕｉ＊一Ｈ；　ｔｈｅｎ　ｓｔｏｐ．　４　Ｎｕｍｅｒｉｃａｌ　ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔ　Ｗｅ　ｃｏｎｓｉｄｅｒ　ｔｈｅ　ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ　ｐａｒｔｉａｌ　ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ　ｅｑｕａｔｉｏｎ（ＰＤＥ）：　ｆ—ｆ“　（ｚ）一“　（ｚ）＝０，　ｚ∈（０，１），　Ｉ“（０）一０，“（１）一１，　（１４）　ｗｈｉｃｈ　ｈａｓ　ｔｈｅ　ｅｘａｃｔ　ｓｏｌｕｔｉｏｎ“（ｚ）一（１一ｅ－　。）／（１一ｅ　）．　维普资讯 http://www.cqvip.com Ｎｏ．２　ＹＡＮＧ　Ｙｉｎ　ｅｔ　ａｌ　Ｍｏｖｉｎｇ　Ｍｅｓｈ　Ｍｅｔｈｏｄ　Ｆｏｒ　Ｍｉｎｉｍｉｚｉｎｇ　Ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅ　Ｅｒｒｏｒ　５　Ｆｏｒ　ｆ《１　ｔｈｅ　ｓｏｌｕｔｉｏｎ　ｈａｓ　ａ　ｂｏｕｎｄａｒｙ　ｌａｙｅｒ　ｏｆ　ｔｈｉｃｋｎｅｓｓ　０（０　ｎｅａｒ　ｔｈｅ　ｂｏｕｎｄａｒｙ　Ｘ一０，ｉｔ　ｉｓ　ａｄｖａｎｔａ—　ｇｅｏｕｓ　ｔｏ　ｕｓｅ　ａ　ｍｅｓｈ　ｔｈａｔ　ｃｏｎｃｅｎｔｒａｔｅｓ　ｎｏｄｅｓ　ｉｎ　ｔｈｅ　ｂｏｕｎｄａｒｙ　ｌａｙｅｒ．Ｗｅ　ｃｏｍｐｕｔｅ（１　４）ｕｓｅ　ｔｈｅ　ａｌｇｏ—　ｒｉｔｈｍ　ｉｎ　ｓｅｃｔｉｏｎ　３　ａｎｄ　ｄｅｆｉｎｅ　Ｅ　ｌｌ一　）一　＾（ｚｆ）ｌ　１／２　一ｌＯｇ　（　），　Ｎ　Ｎ　）一　（ｚ　）Ｉ　１／２　ｌｌ一　∑（Ｉ　。（ｚ　ｆ＝１　，ｒａｔｅ—ｌｏｇ２　Ｎ　ｗｈｅｒｅ　ｕ（ｘ　）ｉ∑　ｓ　ｔｈｅ　ｖａｌｕｅ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｅｘａｃｔ　ｓｏｌｕｔｉｏｎ　（ｚ）ａｔ　Ｘ　，　。（ｚ　）ｉｓ　ｔｈｅ　ｖａｌｕｅ　ｏｆ　。（ｚ）ａｔ　Ｘｆ　ａｎｄ　（ｚｆ）　／　ｉｓ　ｔｈｅ　ｖａｌｕｅ　ｏｆ　（ｚ）ａｔ　Ｘ　．　／　ｚ　Ｔａｂ．１　ＥｒｒｏｒｆｏｒＭ（ｚ）一１＋ｌ　（ｚ）ｌ　Ｔａｂ．２　Ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅ　ｅｒｒｏｒ　ｆｏｒ　Ｍ（ｚ）＝１＋ｌ　（ｚ）　Ａｎ　ｏｔｈｅｒ　ｃｈｏｉｃｅ　ｏｆＭｉｓ　ａｒｃ—ｌｅｎｇｔｈ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ，ｉ．ｅ．Ｍ（ｚ）一、／ｒ干而，ｓｅｅ［２，３，６，８，９１．Ｔａｂ．３　ａｎｄ　Ｔａｂ．４　ｉｓ　ｔｈｅ　ｎｕｍｅｒｉｃａｌ　ｒｅｓｕｌｔｓ　ｕｓｉｎｇ　ｔｈｅ　ｓａｍｅ　ｉｔｅｒａｔｉｖｅ　ａｌｇｏｒｉｔｈｍ．　Ｔａｂ．３　Ｅｒｒｏｒ　ｆｏｒ　Ｍ（ｚ）一～／『干　厂　Ｔｈｅ　ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ　ｆｉｇｕｒｅｓ　ｉｌｌｕｓｔｒａｔｅ　ｔｈｅ　ｐｏｉｎｔｗｉｓｅ　ｅｒｒｏｒ　ａｎｄ　ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅ　ｅｒｒｏｒ　ｕｓｉｎｇ　Ｍ一１＋Ｉ　（ｚ）Ｉ　ａｎｄ　Ｍ（ｚ）一　干而ｒｅＳｐｅｃｔｉｖｅｌｙ．Ｃｏｍｐａｒｉｎｇ　ｔｈｅ　ｔａｂｌｅｓ　ａｎｄ　ｆｉｇｕｒｅＳ，ｔｈｅｙ　ｓｈｏｗ　ｔｈａｔ　ｐｏｉｎｔｗｉｓｅ　ｅ卜　ｒｏｒ　ａｎｄ　ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅ　ｅｒｒｏｒ　ｕｓｉｎｇ　ｔｈｅ　ｍｏｎｉｔｏｒ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ　Ｍ一１＋Ｉ　（ｚ）Ｉ　ａｒｅ　ｓｍａｌｌｅｒ　ｔｈａｎ　ｕｓｉｎｇ　ｔｈｅ　ｍｏｎｉｔｏｒ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ　Ｍ（ｚ）一、／ｒ干而．　维普资讯 http://www.cqvip.com

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