(完整版)高等数学课后习题答案第六章

习题六

1. 指出下列各微分方程的阶数：

(1)一阶 (2)二阶 (3)三阶 (4)一阶 2. 指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解：

(1)xy2y,y5x2;

解：由y5x得y10x代入方程得 故是方程的解.

2x10x25x210x2

(2)yy0,y3sinx4cosx;

解：y3cosx4sinx; y3sinx4cosx

代入方程得 3sinx4cosx3sinx4cosx0. 故是方程的解.

(3)y2yy0, yx2ex;

解：y2xexe(2xx)e, y(24xx)e

x代入方程得 2e0. 故不是方程的解.

x2x2x2xC11e1xC22e2x, yC112e1xC222e2xy解：

代入方程得

故是方程的解.

3. 在下列各题中，验证所给二元方程为所给微分方程的解：

(4)y(12)y12y0, yC1e1xC2e2x.

C112e1xC222e2x(12)(C11e1xC22e2x)12(C1e1xC2e2x)0.

(1)(x2y)y2xy, x2xyy2C;

22xxyyC两端对x求导： 证：方程

2xyxy2yy0 2xyyx2y 得

代入微分方程，等式恒成立.故是微分方程的解.

(2)(xyx)yxy2yy2y0,yln(xy).

证：方程yln(xy)两端对x求导：

yyyx(y1).

11yxy (*)

得

(*)式两端对x再求导得

y将y,y代入到微分方程，等式恒成立，故是微分方程的解.

4. 从下列各题中的曲线族里，找出满足所给的初始条件的曲线：

1y12x2(y1)2y1x

(1)x2y2C, yx05;

解：当x0时，y=5.故C=-25

22yx25 故所求曲线为：

(2)y(C1C2x)e2x, yx00, yx01.

(C22C12C2x)e2xy解：

当x=0时，y=0故有C10.

又当x=0时，y1.故有C21. 故所求曲线为：yxe. 5. 求下列各微分方程的通解：

2x(1)xyylny0;

dy1dx解：分离变量,得 ylnyx

11dlnydxx 积分得 lnylnlnylnxlnc

lnycx

cxye得 .

(2)ydydx1x 解：分离变量，得 1ydydx1y1x积分得

得通解： 21y21xc.

1y;1x

(3)(exyex)dx(exyey)dy0;

eyeydydxyx1e1e解：分离变量，得

yxln(e1)ln(e1)lnc 积分得

xy(e1)(e1)c. 得通解为

(4)cosxsinydxsinxcosydy0;

cosxcosydxdy0sinxsiny解：分离变量，得

积分得 lnsinylnsinxlnc

得通解为 sinysinxc.

(5)yxy;

dyxdxy解：分离变量，得

1lnyx2c12积分得

得通解为 yce12x2 (cec1)

(6)2x1y0; 解： y2x1

积分得

y(2x1)dx2

得通解为 yxxc.

(7)4x32x3y2y0;

233ydy(4x2x)dx 解：分离变量，得 342yxxc 积分得

即为通解.

(8)yexy.

解：分离变量，得 edyedx

积分得

yxedyedxyxyx

得通解为： eec.

6. 求下列各微分方程满足所给初始条件的特解：

(1)ye2xy, yx00;

解：分离变量，得 edyedx

y2x1eye2xc2积分得 . 1c2 以x0,y0代入上式得1ey(e2x1)2故方程特解为 .

(2)ysinxylny, yxπe2.

dydx解：分离变量，得 ylnysinx

积分得 ye将

ctanx2

xπ,ye2代入上式得c1

tanx2故所求特解为 ye.

7. 求下列齐次方程的通解：

(1)xyyy2x20; dyyy1x解：dxx ydyduuuxxdxdx 令

dudx2x 原方程变为 u1两端积分得 ln(uu1)lnxlnc

22uu21cxyy1cxxx

222yyxcx即通解为：

dyy(2)xylndxx; dyyylndxxx 解：ydyduuuxx， 则dxdx 令

dudxx 原方程变为 u(lnu1)2积分得 ln(lnu1)lnxlnc

lnu1cxyln1cxx

cx1即方程通解为 yxe

(3)(x2y2)dxxydx0 y122dyxyxydxxyx解：

ydyduuuxx， 则dxdx 令

2du1u2uxdxu 原方程变为

du1dxx, udux 即 dxu

1积分得 2u2lnxlnc1 y2x22lnx2lnc1 故方程通解为

y2x2ln(cx2) (cc21) (4)(x3y3)dx3xy2dy0;

3dyx3y31ydx3xy2x23解：

yx y令

udydux, 则dxuxdx du1u3原方程变为 udxx3u2 3u2d即 12u3duxx 积分得 12ln(2u31)lnxlnc1 y以x代替u，并整理得方程通解为

2y3x3cx. (5)dyxdxyxy;

1ydyxdx解：

1yx 令

uydydux， 则dxuxdx 原方程变为

uxdudx1u1u 1u分离变量,得 1u2du1xdx 积分得 arctanu12ln(1u2)lnxlnc1

yyx2y2ce2arctanx. 以x代替u，并整理得方程通解为到

(6)yyxx2y2 (c1c2)1

dydx解：

yxy11x

22dxxx1dyyy即 xdxdvxyv,vyvdydy, 令y， 则

原方程可变为

vyy即

dvv21dy

dvdvvv21dy 分离变量，得

v212dyy

积分得 ln(vv1)lnylnc. 即

vv212yc

y2vv1cy22yv12cc

cy22cx2 以yvx代入上式，得

即方程通解为 y2cxc.

8. 求下列各齐次方程满足所给初始条件的解：

22(1)(y23x2)dy2xydx0, yx01;

dy2dxy3x解：

du2uux2dxu3 令yux，则得

2yxu23dxdu3x 分离变量，得 uu积分得 3lnuln(u1)ln(u1)lncx

u21ln3lncux即

223得方程通解为 yxcy 以x=0，y=1代入上式得c=1. 故所求特解为 yxy.

223(2)yxy, yx12yx.

dyduuxdx 解：设yux， 则dxdxudux 原方程可变为

12ulnxlnc积分得 2.

得方程通解为 y2x(lnxlnc) 以x=1，y=2代入上式得c=e2.

故所求特解为 y2x(lnx2).

9. 利用适当的变换化下列方程为齐次方程，并求出通解：

2222(1)(2x5y3)dx(2x4y6)dy0 解：设xX1,yY1，则原方程化为

YdY2X5YXdX2X4Y24YX

Ydu25uuuXXdX24u 令

4u2dX2du4u7u2X

1(8u7)3lnX2du24u7u213du ln(4u27u2)2224u7u21114 ln(4u27u2)du26u24u1114u1 ln(4u27u2)lnlnc126u2

4u16lnX3ln(4u27u2)lnlnc2 (c2c16)u24u1X6(4u27u2)3c2u2X6(4u1)4(u2)2c225X3(4u1)2(u2)c3, (c3c2)代回并整理得

(4yx3)2(y2x3)c, (cc3).

(2)(xy1)dx(4yx1)dy0;

dyxy14yx1 解：dx作变量替换，令 xX1,yY0Y

YdYXYXYdXX4Y14X 原方程化为

令YuX,则得

1du1udu14u2uXXdX14udX14u

14udXdu2x 分离变量，得 14u积分得

11d(14u2)lnXdu214u214u211arctan2uln(14u2)c22 2即 2lnXln(14u)arctan2uc

lnX2(14u2)arctan2uc

2yln[4y2(x1)2]arctanc.x1代回并整理得

(3)(xy)dx(3x3y4)dy0; dydv1vxy,dxdx 解：作变量替换 则

dvv13v4 原方程化为 dxdv2(v2)dx3v43v4dvdx2(v2)31dvdvdx2v23vln(v2)xc123v2ln(v2)2xc, (c2c1)

代回并整理得 x3y2ln(xy2)c.

(4)dy11dxxy.

dudy1dx 解：令uxy,则dx

du1u 原方程可化为 dx分离变量，得 ududx

12uxc1积分得 2

2u2x2c1

2故原方程通解为 (xy)2xc. (c2c1)

10. 求下列线性微分方程的通解：

(1)yyex;

解：由通解公式

dxxdxdxcexexexdxcex(xc)yeee

(2)xyyx23x2；

解：方程可化为 由通解公式得

y12yx3xx

11dxdx2xxye(x3) edxcx12(x3)xdxcxx13cx2x2.32x

sinx(3)yycosxe;

cosxdxesinxecosxdxdxcesinx(xc).ye解：

(4)y4xy4x; (4x)dx4xe(4x)dxdxce2x24xe2x2dxcye 解：

e2xe2xcce2x1(5)(x2)yy2(x2)3;

222.

dy1y2(xx)2解：方程可化为 dxx2

1dxyex22(x2)2ex2dxdxc2ln(x2)eln(x2)2(x2)edxc(x2)2(x2)dxc(x2)3c(x2)

22(6)(x1)y2xy4x.

1

2x4x2y2y2x1x1 解：方程可化为

xdxx21dx4x2x221yedxc2 ex134xcln(x21)24xdxce3(x21)

2x11. 求下列线性微分方程满足所给初始条件的特解：

dy11ysinx, yxπ1dxxx;

11dxsinxdx1xx1[ccosx]yesinxdxcedxcxxx解：

以xπ,y1代入上式得cπ1，

(1)故所求特解为

y1(π1cosx)x.

(2)y12(23x)y1, yx103x.

23x22Qdxx3lnxc3x解：

233xdxx2+3lnxx23lnxxyeeedxcxedxc

21x213x2exx3ecxce.22

1c2e. 以x=1,y=0代入上式，得

323x2dx2112yx3ex22e. 故所求特解为

12. 求下列伯努利方程的通解：

(1)yyy2(cosxsinx);

解：令zy12y1，则有

dzdz(12)z(12)(cosxsinx)zsinxcosxdxdx

(1)dx(sinxcosx)e(1)dxdxczexcexsinxexe(sinxcosx)dxc即为原方程通解.

1cexsinxy

11(2)yy(12x)y433.

解：令

zy3dzz2x1dx.

即为原方程通解.

13. 求下列各微分方程的通解：

dxdx2x1cexze(2x1)edxc

3xy(ce2x1)1

(1)yxsinx;

解：方程两边连续积分两次得

12xcosxc121yx3sinxc1xc26 y(2)yxex;

解：积分得

yxexdxxexexc1

y(xexexc1)dxxex2exc1xc21y(xex2exc1xc2)dx(x3)exc1x2c2xc32

(3)yyx;

解：令py,则原方程变为

dxppx, ppx, pexedxdxcc1exx11 1y(c1exx1)dxc1exx2xc22故 .

(4)y(y)3y;

解：设yp， 则

ypdpdy

dpp3p原方程可化为 dy

dp2p(1p)0即 dy

p由p=0知y=c，这是原方程的一个解.

dpdp1p2dy2p0dy1p当时，

arctanpyc1dylnsin(yc1)c2tan(yc1) c2xyarcsin(c2e)c1 (c2e)

1(5)y;x

x

1ydxlnxc1x解：

)dxxlnxxc1xc2y(lnxc1)) xlnxc1xc2 (c1(1c11(6)y1x2; 1ydxarcsinxc121x解：

(7)xyy0;

y(arcsinxc1)dxxarcsinx1x2c1xc2.p

1dpdxp00xpx解：令yp,则得

lnplnxlnc1

cp1x 得

cy1dxc1lnxc2x故 .

(8)y3y10.

解：令py，则原方程可化为

ypy3pdpdy.

dp10,pdpy3dydy

c121py21p2y2c1222dyydydxdx22c1yc1y12c1y212c1x2c214.求下列各微分方程满足所给初始条件的特解：

c1y21c1xc2c1y21(c1xc2)2.

(1)y3y10,yx11,yx10;

解：令yp，则

ypdpdy,

dp11pdp3dydyy

111p2y2c12221p22c1y

y3p原方程可化为

由x1,y1,yp0知，c11，从而有

1y2ypyydydx21y1y2xc2

1 由x1,y1,得c2m222xy2xy2xx故 或 .

(2)x2yxy1,yx10,yx11;

解：令yp，则yp. 原方程可化为

1p11p2xx

1dxdx11xxpe2edxc1x(lnxc1)x

1y(lnxc1)x则

以x1,y1代入上式得c11

则

y1(lnx1)x

1yln2xlnxc22

当x=1时，y=0代入得c20 故所求特解为

y12lnxlnx2.

1,yx0yx002x1; 解：yarctanxc1

(3)y当x0,y0，得c10

yarctanxdxxarctanx1xarctanxln(1x2)c22以x=0,y=0代入上式得c20

1yxarctanxln(1x2)2故所求特解为 .

xdx21x

(4)yy21,yx01,yx00;

解：令py，则py.

原方程可化为 pp1

2dpdxp21arctanpxc1yptan(xc1)

以x0,y0代入上式得c1kπ.

ytan(xkπ)dxlncos(xkπ)c2以x=0,y=1代入上式得c21 故所求特解为

(5)ye2y,yx0yx0解：令yp，则

ylncos(xkπ)1 0;

yppdpdy.

原方程可化为

dpe2ydy

2ypdpedy 即

1212y1pec122 积分得 2p2e2yc1

以x0,yy0代入上式得c11,

2y则 pye1 dy2ye1arcsineymxc2

πc22， 以x=0,y=0代入得

故所求特解为

dxarcsineymxπ2

πeysinxcosx2即. 即ylnsecx.

(6)y3y,yx01,yx02.

dpyp,ypdy 解：令

1dpp3y2原方程可化为 dy

12pdp3ydy312p2y2c12

以x0,yp2,y1代入得c10

故 yp2y

34dy由于y3y0. 故y2y，即 y积分得 以x=0,y=1代入得c24

41434342dx

4y2xc2

1yx12. 故所求特解为

15. 求下列微分方程的通解：

(1)yy2y0;

2解：特征方程为 rr20

解得 r11, r22

x2xycece. 12故原方程通解为

(2)yy0;

2解：特征方程为 r10

解得

r1,2i

故原方程通解为 yc1cosxc2sinx

d2xdx(3)422025x0dtdt;

2解：特征方程为 4r20r250

解得 故原方程通解为

r1r252

x(c1c2t)e.

(4)y4y5y0;

r1,22i

5t22解：特征方程为 r4r50

解得

2xye(c1cosxc2sinx). 故原方程通解为

(5)y4y4y0;

2解：特征方程为 r4r40

解得 r1r22

2xye(c1c2x) 故原方程通解为

(6)y3y2y0.

2解：特征方程为 r3r20

解得 r1,r2 故原方程通解为 yc1ec2e. 16. 求下列微分方程满足所给初始条件的特解：

x2x(1)y4y3y0,yx06,yx010;

2解：特征方程为 r4r30

解得 r11,r23

x3x通解为 yc1ec2e

yc1ex3c2e3x

c1c26c14c3c102c22 由初始条件得 1x3xy4e2e故方程所求特解为 .

(2)4y4yy0,yx02,yx00;2

解：特征方程为 4r4r10 解得 通解为

r1r212

1x2y(c1c2x)e

x1x2yccc2e2122 c12c121cc0c21212由初始条件得 

故方程所求特解为 y(2x)e1x2.

(3)y4y29y0,yx00,yx015;2

解：特征方程为 r4r290 解得

r1,225i2xye(c1cos5xc2sin5x) 通解为

ye2x[(5c22c1)cos5x(5c12c2)sin5x]

c10c105c2c151c23 由初始条件得 22xy3esin5x. 故方程所求特解为

(4)y25y0,yx02,yx05.

2解：特征方程为 r250

解得

r1,25i

通解为 yc1cos5xc2sin5x

y5c1sin5x5c2cos5x

c12c125c5c21 由初始条件得 2故方程所求特解为 y2cos5xsin5x.

17. 求下各微分方程的通解：

(1)2yyy2ex;

2解： 2rr10

r11,r2得相应齐次方程的通解为

12

yc1ec2e

*xyAe令特解为,代入原方程得

2AexAexAex2ex, *xyeA1解得, 故,

x1x2故原方程通解为

2解：2r5r0

yec1ec2e.

(2)2y5y5x22x1;

xxx2r10,r252

yc1c2e5x2对应齐次方程通解为

*2

令yx(axbxc), 代入原方程得 比较等式两边系数得

2(6ax2b)5(3ax22bxc)5x22x1

137a,b,c3525 137y*x3x2x3525 则

故方程所求通解为

2解：r3r20

yc1c2e5x2371x3x2x525. 3(3)y3y2y3xex; r11,r22,

x2xycece12对应齐次方程通解为

*xyx(AxB)e令代入原方程得

(2AxB2A)ex3xex

3A,B32解得 32xy*x3xe2 则

32xyc1exc2e2xx3xe2. 故所求通解为

(4)y2y5yexsin2x;

2解：r2r50

相应齐次方程的通解为

r1,212iyex(c1cos2xc2sin2x)

令yxe(Acos2xBsin2x)，代入原方程并整理得

*x4Bcos2x4Asin2xsin2x

1A,B04得 1y*xexcos2x4则

1yex(c1cos2xc2sin2x)xexcos2x4故所求通解为 .

(5)y2yyx;

2解：r2r10

r1,21

xy(ccx)e12相应齐次方程通解为

*令yAxB代入原方程得

2AAxBx

得 A1,B2

*yx2 则

xy(ccx)ex2 12故所求通解为

(6)y4y4ye2x.

2解：r4r40

r1,22

2xy(ccx)e12对应齐次方程通解为

*22xyAxe代入原方程得 令

2A1, Ay(c1c2x)e2x122xxe2.

12

故原方程通解为

18. 求下列各微分方程满足已给初始条件的特解：

(1)yysin2x0,yxπ1,yxπ1;

2解：特征方程为 r10

得

*r1,2i

对应齐次方程通解为 yc1cosxc2sinx 令yAcos2xBsin2x代入原方程并整理得

3Acos2x3Bsin2xsin2x

1A0, B3 得

1yc1cosxc2sinxsin2x3故通解为 .

c11c1121c1c2233 将初始条件代入上式得 11ycosxsinxsin2x33故所求特解为 .

633(2)y10y9ye2x,yx0,yx077.

2解： r10r90

r11,r29

x9xycece12对应齐次方程通解为

1A*2x7 令yAe,代入原方程求得

1ye2xc1exc2e9x7则原方程通解为

11c1,c222 由初始条件可求得

11y(exe9x)e2x27故所求特解为 .

*19. 求下列欧拉方程的通解：

(1)x2yxyy0

解：作变换xe，即t=lnx,

原方程变为 D(D1)yDyy0

td2yy02即 dt

2特征方程为 r10

r11, r21

1yc1etc2etc1c2xx故 .

(2)x2yxy4yx3.

t解：设xe，则原方程化为

D(D1)yDy4ye3t

d2y3t4yedt2 ①

2特征方程为 r40

故①所对应齐次方程的通解为

*3tr12, r22 yc1e2tc2e2t

又设yAe为①的特解，代入①化简得

9A4A1 11Ay*e3t5, 5

11yc1e2tc2e2te3tc1x2c2x2x3.55 故