圆的动点问题

所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题. 在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质

1．在直角坐标平面内，O为原点，点A的坐标为（1，0），点C的坐标为（0，4），直线CM∥x轴（如图所示）．点B与点A关于原点对称，直线y＝x＋b（b为常数）经过点B，且与直线CM相交于点D，联结OD．

（1）求b的值和点D的坐标；

（2）设点P在x轴的正半轴上，若△POD是等腰三角形，求点P的坐标；

（3）在（2）的条件下，如果以PD为半径的圆P与圆O外切，求圆O的半径．

B y 4 3 2 1 y＝x＋b C D M x O 1 1

(1)点B（-1，0），代入得到b=1，直线BD：y=x+1，Y=4，代入x=3，点D（3，1） （2）1.PO=OD=5,则P（5，0）

2 .PD=OD=5,则PO=2*3=6，则P（6，0）

3.PD=PO 设P（x，0），D（3，4） 勾股定理，解得x=25/6，则P（25/6，0） （3）由P,D两点坐标可以算出

1.PD=2根号5 r=5-2根号5 2.PD=5 r=1 3.PD=25/6 r=0

2．如图，已知射线DE与x轴和y轴分别交于点D（3，0）和点E（0，4），动点C从点M（5，0）出发，以1个单位长度/秒的速度沿x轴向左作匀速运动，与此同时，动点P从点D出发，也以1个单位长度/秒的速度沿射线DE的方向作匀速运动．设运动时间为t秒． （1）请用含t的代数式分别表示出点C与点P的坐标；

1（2）以点C为圆心、t个单位长度为半径的⊙C与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），连

2接PA、PB．

① 当⊙C与射线DE有公共点时，求t的取值范围； ② 当△PAB为等腰三角形时，求t的值．

E y A P O D A C B M x 解：（1），；

（2）①当⊙C的圆心C由点M（5，0）向左运动，使点A到点D并随⊙C继续向左运动时，

有，即，

当点C在点D左侧时，过点C作CF⊥射线DE，垂足为F，则由∠CDF=∠EDO，

得△CDF∽△EDO，则，解得，

由t，即，解得，

∴当⊙C与射线DE有公共点时，t的取值范围为 ②当PA=AB时，过P作PQ⊥x轴，垂足为Q，

，

有PA2=PQ2+AQ2

，

∴，即，

解得当

时，有

，

，

∴，解得，

当时，有，

∴，即，

解得（不合题意，舍去），

∴当

是等腰三角形时，，t=4或，t=5或，或。

3．如图，射线OA⊥射线OB，半径r＝2cm的动圆M与OB相切于点Q（圆M与OA•没有公共点），P是OA上的动点，且PM＝3cm，设OP＝xcm，OQ＝ycm． （1）求x、y所满足的关系式，并写出x的取值范围． （2）当△MOP为等腰三角形时，求相应的x的值．

（3）是否存在大于2的实数x，使△MQO∽△OMP？若存在，求相应x的值，若不存在，请说明理由．

解：（1）过点M作MD⊥OA，垂足为D，显然ODMQ为矩形， ∴x2-4x+y2=5．∴x取值范围为2②若MP=OP时，x=3；③若OM=OP时，∵OM=4+y2，∴4+y2=x2，于是 解得x= ……………………（8分） （3）分三种情况依次讨论：

①假设两三角形相似，若∠OPM=90°，则MP=y，OP=2=x，得x=2，不是大于2的实数，故∠OPM不可能是90°；

②若∠MOP=90°，由于圆M在第一象限，所以这不可能． ③假设△QMO∽△MOP，此时∠OMP=90°，则 ，∴ = = ． 得4+y2=2x，于是 得x=1+ <2 ．

∴存在这样的实数x，并且x=1+ ．………………………（12分）

B M Q O

P A

∴OD=MQ=2，MD=OQ=•y，•∴PD=x-2．在Rt△MDP中，y2+（x-2）2=32，

4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过A(－1，0)，B(4，0)，C(0，－4)，⊙M是△ABC的外接圆，M为圆心．

（1）求抛物线的解析式； （2）求阴影部分的面积；

（3）在x轴的正半轴上有一点P，作PQ⊥x轴交BC于Q，设PQ＝k，△CPQ的面积为S，求S关于k的函数关系式，并求出S的最大值．

y

解：（1）由抛物线经过A（-1，0），B（4，0）， 设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x-4）， 将C（0，-4）代入上式中，得-4a=-4，a=1． ∴y=（x+1）（x-4）=x2-3x-4．

（2）∵A（-1，0），B（4，0），C（0，-4）． ∴OB=OC=4，OA=1

∴∠OBC=45°，∴∠AMC=90° ∴AM2+MC2=OA2+OC2=12+42=17 ∴AM2=CM2=17/2 ∴S

阴影

A O M P Q B x C =17/8

π．

（3）∠OBC=45°，PQ⊥x轴； ∴BP=PQ=k， ∴S=1/2 k•（4-k）=-1/2 k2+2k．

∴当k=2时，Smax=2．

5．如图，在平面直角坐标系中，半圆M的圆心M在x轴上，半圆M交x轴于A（－1，0）、B（4，0）两点，交y轴于点C，弦AC的垂直平分线交y轴于点D，连接AD并延长交半圆M于点E． （1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式； （2）求证：AC＝CE；

1（3）若P为x轴负半轴上的一点，且OP＝AE，是否存在过点P的直线，使该直线与（1）中所得

2的抛物线的两个交点到y轴的距离相等？若存在，求出这条直线的解析式；若不存在．请说明理由．

y E C D A O M B x 6．如图所示，在直角坐标系中，⊙P经过原点O，且与x轴、y轴分别相交于A（－6，0）、B（0，－8）两点，两点．

（1）求直线AB的函数表达式；

（2）有一开口向下的抛物线过B点，它的对称轴平行于y轴且经过点P，顶点C在⊙P上，求该抛物线的函数表达式；

1（3）设（2）中的抛物线交x轴于D，E两点，在抛物线上是否存在点Q，使得S△QDE＝S△ABC？若存在，

15

求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

7．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90º，AB＝12cm，AD＝8cm，BC＝22cm，AB为⊙O的直径，动点P从点A开始沿AD边向点D以1cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿CB边向点B以2cm/s的速度运动，P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为t(s)．

（1）当t为何值时，四边形PQCD为平行四边形？ （2）当t为何值时，PQ与⊙O相切？ A P D O

Q C B

8．如图，⊙M与x轴相切于点A（－23，0），⊙M交y轴正半轴于B，C两点，且BC＝4． （1）求⊙M的半径；

（2）求证：四边形ACBM为菱形；

y A C O E D P B x （3）若抛物线y＝ax2＋bx＋c经过O，A两点，且开口向下，当它的顶点不在直线AB的上方时，求a的

取值范围．

y

B

M

C

x AO

9．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝kx＋b与x轴负半轴交于点A，与y轴正半轴交于点B，⊙P经过点A、点B（圆心P在x轴负半轴上），已知AB＝10，AP＝（1）求点P到直线AB的距离； （2）求直线y＝kx＋b的解析式；

（3）在⊙P上是否存在点Q，使得以A，P，B，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． y

B

A

x P O

10．如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为1的圆的圆心O在坐标原点，且与两坐标轴分别交于A、B、C、D四点．抛物线y＝ax 2＋bx＋c与y轴交于点D，与直线y＝x交于点M、N，且MA、NC分别与圆O相切于点A和点C．

（1）求抛物线的解析式；

（2）抛物线的对称轴交x轴于点E，连结DE，并延长DE交圆O于F，求EF的长．

（3）过点B作圆O的切线交DC的延长线于点P，判断点P是否在抛物线上，说明理由．

y D N E F B 25． 4A M O C x

11．如图，在平面直角坐标系中，以点A(－3，0)为圆心、5为半径的圆与x轴相交于点B、C两点（点B在点C的左边），与y轴相交于D、M两点（点D在点M的下方）．

（1）求以直线x＝－3为对称轴、且经过D、C两点的抛物线的解析式；

（2）若点P是这条抛物线对称轴上的一个动点，求PC＋PD的取值范围；

（3）若点E为这条抛物线对称轴上的点，则在抛物线上是否存在这样的点F，使得以点B、C、E、F

为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，说明理由．

y M B A O C D x