高考函数知识点总结

定义域定义对应法则值域映射函数性质奇偶性对数的性质单调性周期性对数反函数互为反函数的函数图像关系对数函数对数函数的图像和性质区间一元二次函数一元二次不等式指数函数根式分数指数指数方程对数方程指数函数的图像和性质积、商、幂与根的对数对数恒等式和不等式常用对数自然对数（二）考点分析

考点1 函数的单调性

题型1：讨论函数的单调性

2例1．（1）求函数ylog0.7(x3x2)的单调区间；

（2）已知f(x)82xx,若g(x)f(2x)试确定g(x)的单调区间和单调性． 例2. 判断函数f(x)=x1在定义域上的单调性.

222题型2：研究抽象函数的单调性

例1．已知函数f(x)的定义域是x0的一切实数，对定义域内的任意x1,x2都有f(x1x2)f(x1)f(x2)，且当x1时f(x)0,f(2)1，

（1）求证：f(x)是偶函数；（2）f(x)在(0,)上是增函数；（3）解不等式f(2x1)2． 题型3：函数的单调性的应用

例1．若函数f(x)x2(a1)x2 在区间（－∞，4] 上是减函数，那么实数a的取值范围是______ 例2．已知函数f(x)22ax1在区间2,上为增函数，则实数a的取值范围_____ x2考点2 函数的值域（最值）的求法 求最值的方法：（1）若函数是二次函数或可化为二次函数型的函数，常用配方法。（2）利用函数的单调性求最值：先判断函数在给定区间上的单调性，然后利用函数的单调性求最值。（3）基本不等式法：当函数是分式形式且分子分母不同次时常用此法（但有注意等号是否取得）。（4）导数法：当函数比较复杂时，一般采用此法（5）数形结合法：画出函数图象，找出坐标的范围或分析条件的几何意义，在图上找其变化范围。 题型1：求分式函数的最值

x22xa1例1．（2007上海）已知函数f(x),x[1,).当a时，求函数f(x)的最小值。

x2题型2：利用函数的最值求参数的取值范围

x22xa例2．（2008广东）已知函数f(x),x[1,).若对任意x[1,),f(x)0恒成立,试求实数a的

x取值范围。

函数的奇偶性

（一）知识梳理

1、函数的奇偶性的定义：①对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)〔或，则称f(x)为奇函数. 奇函数的图象关于原点对称。②对于函数f(x)的定义域内任意一f(x)f(x)0〕

个x，都有f(x)f(x)〔或f(x)f(x)0〕，则称f(x)为偶函数. 偶函数的图象关于y轴对称。 ③通常采用图像或定义判断函数的奇偶性. 具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称（也就是说，函数为奇函

数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称）

2.函数的奇偶性的判断：

（1）可以利用奇偶函数的定义判断f(x)f(x)

（2）利用定义的等价形式, f(x)f(x)0，

f(x)1（f(x)0） f(x)（3）图像法：奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y轴对称 3．函数奇偶性的性质：

（1）奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反.

（2）若奇函数f(x)定义域中含有0，则必有f(0)0.故f(0)0是f(x)为奇函数的既不充分也不必要条件。

（3）定义在关于原点对称区间上的任意一个函数，都可表示成“一个奇函数与一个偶函数的和（或差）”。如设f(x)是定义域为R的任一函数， F(x)f(x)f(x)f(x)f(x)，G(x)。

22（4）复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”.

（5）设f(x)，g(x)的定义域分别是D1,D2，那么在它们的公共定义域上：奇+奇=奇，奇奇=偶，偶+偶=

偶，偶偶=偶，奇偶=奇．

（二）考点分析

考点1 判断函数的奇偶性及其应用 题型1：判断有解析式的函数的奇偶性 例1． 判断下列函数的奇偶性：

（1）f（x）=|x+1|－|x－1|；（2）f（x）=（x－1）·

1x； 1xx(1x)1x2（3）f(x)；（4）f(x)|x2|2x(1x)题型2：证明抽象函数的奇偶性

(x0),(x0).

例1 .(09年山东)定义在区间(1,1)上的函数f (x)满足：对任意的x,y(1,1)，都有f(x)f(y)f(求证f (x)为奇函数；

xy). 1xy例2．（1）函数f(x)，xR，若对于任意实数a,b，都有f(ab)f(a)f(b)，求证：f(x)为奇函数。

（2）设函数f(x)定义在(l,l)上，证明f(x)f(x)是偶函数，f(x)f(x)是奇函数。 考点2 函数奇偶性、单调性的综合应用

例1．已知奇函数f(x)是定义在(2,2)上的减函数，若f(m1)f(2m1)0，求实数m的取值范围。

例2．设函数f(x)对于任意的x,yR，都有f(xy)f(x)f(y)，且x0时f(x)0,f(1)2 （1）求证f(x)是奇函数；

（2）试问当3x3时，f(x)是否有最值？如果有，求出最值；如果没有，说出理由。

22

例3．设函数f(x)是定义在R上的偶函数，并在区间(－∞,0)内单调递增，f(2a+a+1)1a23a1)的单调递减区间. 2函数的周期性

（一）知识梳理

1．函数的周期性的定义：对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得定义域内的每一个x值，都满足

f(xT)f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期。

2．周期性的性质

（1）若yf(x)图像有两条对称轴xa,xb(ab)，则yf(x)必是周期函数，且一周期为

T2|ab|；

（2）若yf(x)图像有两个对称中心A(a,0),B(b,0)(ab)，则yf(x)是周期函数，且一周期为T2|ab|；

（3）如果函数yf(x)的图像有一个对称中心A(a,0)和一条对称轴xb(ab)，则函数yf(x)必是周期函数，且一周期为T4|ab|；

（4）①若f(x+a)=f(x+b) 则T=|b-a|；②函数f(x)满足fxfax，则f(x)是周期为2a的周期函数；

③若f(xa)11(a0)恒成立，则T2a；④若f(xa)(a0)恒成立，则T2a. f(x)f(x)（二）考点分析

考点2函数的周期性

例1．设函数f(x)是定义域R上的奇函数，对任意实数x有f(x)f(x)成立 （1）证明：yf(x)是周期函数，并指出周期； （2）若f(1)2，求f(2)f(3)的值

考点2 函数奇偶性、周期性的综合应用

例1 .（09年江苏题改编）定义在R上的偶函数f(x)满足f(x2)f(x)1对于xR恒成立，且f(x)0，

则f(119) ________ 。

例2．已知函数f(x)的定义域为R，且满足f(x2)f(x) （1）求证：f(x)是周期函数；

（2）若f(x)为奇函数，且当0x1时，f(x)

323211x，求使f(x)x在0,2009上的所有x的个数。 222.5 二次函数

（一）知识梳理

1．二次函数的解析式的三种形式：

(1)一般式：f(x)=ax2+bx+c(a≠0)。 (2)顶点式（配方式）：f(x)=a(x-h)2+k其中(h,k)是抛物线的顶点坐标。 (3)两点式（因式分解）：f(x)=a(x-x1)(x-x2),其中x1,x2是抛物线与x轴两交点的坐标。

2b4acbb,) 2．二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的图象是一条抛物线，对称轴x，顶点坐标(2a4a2a（1）a>0时，抛物线开口向上，函数在(,bbb时，]上单调递减，在[,)上单调递增，x2a2a2af(x)min4acb2；

4a（2）a<0时，抛物线开口向下，函数在(,bbb时，]上单调递增，在[,)上单调递减，x2a2a2af(x)max4acb2。

4a23．二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)当b4ac0时图象与x轴有两个交点M1(x1,0),M2(x2,0)

M1M2x1x2(x1x2)24x1x2。 a4． 根分布问题: 一般地对于含有字母的一元二次方程ax2+bx+c=0 的实根分布问题，用图象求解，有如下结论：令f(x)=ax2+bx+c (a>0) ，

00(1)x1<α,x2<α ,则b/(2a); (2)x1>α,x2>α,则b/(2a)

af()0af()000f()0(3)α (α<),则f()0

f()0f()0b/(2a)(5）若f(x)=0在区间(α,)内只有一个实根，则有f()f)0

5 最值问题：二次函数f(x)=ax+bx+c在区间[α,]上的最值一般分为三种情况讨论，即：(1)对称轴b/(2a)在

区间左边，函数在此区间上具有单调性；;(2)对称轴b/(2a)在区间之内;(3)对称轴在区间右边要注意系数a的符号对抛物线开口的影响 6 二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的关系：

222

①0f(x)=ax+bx+c的图像与x轴无交点ax+bx+c=0无实根ax+bx+c>0(<0)的解集为或者是R;

222

②0f(x)=ax+bx+c的图像与x轴相切ax+bx+c=0有两个相等的实根ax+bx+c>0(<0)的解集为或者是R;

222

③0f(x)=ax+bx+c的图像与x轴有两个不同的交点ax+bx+c=0有两个不等的实根ax+bx+c>0(<0)

2

的解集为(,)()或者是(,)(,)

（二）考点分析

考点1．求二次函数的解析式

例1．已知二次函数f(x)满足f(2)= -1，f(-1)= -1且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数。 法一：利用一般式

a44a2bc122

设f(x)=ax+bx+c(a≠0)，由题意得：abc1解得：b4 ∴f(x)= - 4x+4x+7

24acbc784a法二：利用顶点式

∵f(2)= f(-1) ∴对称轴x2(1)1 又最大值是8 221222∴可设f(x)a(x)8(a0)，由f(2)= -1可得a= - 4 f(x)4(x)84x4x7 法三：由已知f(x)+1=0的两根为x1=2,x2=-1，故可设f(x)+1=a(x-2)(x+1)即f(x)=ax-ax-2a-1,又

2

122ymax4a(2a1)a28即8得a= - 4或a=0(舍) ∴f(x)= - 4x2+4x+7

4a例2．已知二次函数的对称轴为x2，截x轴上的弦长为4，且过点(0,1)，求函数的解析式．

2解：∵二次函数的对称轴为x2，设所求函数为f(x)a(x2)b，又∵f(x)截x轴上的弦长为4，

∴f(x)过点(22,0)，f(x)又过点(0,1)，

1a4ab0∴， 2， 2ab1b2∴f(x)1(x2)22 2考点2．二次函数在区间上的最值问题

2

例1．已知函数f(x)= - x+2ax+1-a在0≤x≤1时有最大值2，求a的值。

2

例2．已知y=f(x)=x-2x+3,当x∈[t,t+1]时，求函数的最大值和最小值。

例3．已知函数ysinxasinx2a1的最大值为2，求a的值 ． 42

考点3．一元二次方程根的分布及取值范围

2

例1．已知关于x的二次方程x+2mx+2m+1=0

(1)若方程有两根，其中一根在区间（-1，0）内，另一根在区间（1，2）内，求m的取值范围。 (2)若方程两根在区间（0，1）内，求m的范围。

思维分析：一般需从三个方面考虑①判别式Δ②区间端点函数值的正负③对称轴x练习：方程x

2b与区间相对位置。 2a3xk在（- 1，1）上有实根，求k的取值范围。 2【反思归纳】根分布问题: 一般地对于含有字母的一元二次方程ax2+bx+c=0 的实根分布问题，用图象求解，主要研究开口、判别式、对称轴、区间端点对应函数值的正负，列出不等式（组）求解。

例2． 已知函数f(x)x(2a1)xa2与非负x轴至少有一个交点，求a的取值范围．

22指数与指数函数

（一）知识梳理 1．指数运算

aamnnm；amn1man；a01；ar•asars(a0,r、sQ)；

(ar)sars(a0,r、sQ)；

(ab)rarbs(a0,r、sQ)

2.指数函数：yax（a0,a1），定义域R，值域为（0,）.⑴①当a1，指数函数：yax在定义域上为增函数；②当0a1，指数函数：yax在定义域上为减函数.⑵当a1时，yax的a值越大，越靠近y轴；当0a1时，则相反.

（二）考点分析

例1．已知下列不等式，比较m，n的大小：（1）22 (2)0.20.2 变式1：设

amnmn11b1()()a1，那么 （ ） 222baaabA.a＜a＜b B.a＜ b＜a C.a＜a＜b D.a＜b＜a

例2．函数ya在[0，1]上的最大值与最小值的和为3，则a的值为（ ）

A．

xbaabaa11 B.2 C.4 D. 24例3．已知函数yf(x)的图象与函数ya（a0且a1）的图象关于直线yx对称，记

x1g(x)f(x)[f(x)2f(2)1]．若yg(x)在区间[,2]上是增函数，则实数a的取值范围是（ ）

211 A．[2,) B．(0,1)(1,2) C．[,1) D．(0,]

22对数与对数函数

（一）知识梳理

1．对数运算：

loga(MN)logaMlogaN；logaalogaNN；换底公式：logaNM1logaMlogaN；logaMnnlogaM；loganMlogaM；

nNlogbNlogablogbclogca1 ；推论：logba2．对数函数：如果a（a0,a1）的b次幂等于N，就是abN，数b就叫做以a为底的N的对数，记作logaNb（a0,a1，负数和零没有对数）；其中a叫底数，N叫真数.

当a1时，ylogax的a值越大，越靠近x轴；当0a1时，则相反.

（二）考点分析

例1．已知函数f(x)loga(x1)，g(x)loga(1x)(a0，且a1)

（1） 求函数f(x)g(x)定义域

（2） 判断函数f(x)g(x)的奇偶性，并说明理由.

(3a1)x4a,x1例2．已知f(x)是(,)上的减函数，那么a的取值范围是

logx,x1aA.(0,1) 例3．若logaB.(0,) C.[,)

131173

D.[,1)

1731(a0，且a1)，求实数a的取值范围. 4

D．(0,)

1a20，则a的取值范围是 （ ） 变式1：若log2a1aA．(,)

12B．(1,) C．(,1)

1212函数图象

（一）知识梳理

1．函数图象

（1）作图方法：以解析式表示的函数作图象的方法有两种，即列表描点法和图象变换法，掌握这两种方法是本讲座的重点。

作函数图象的步骤：①确定函数的定义域；②化简函数的解析式；③讨论函数的性质即单调性、奇偶性、周期性、最值（甚至变化趋势）；④描点连线，画出函数的图象。

运用描点法作图象应避免描点前的盲目性，也应避免盲目地连点成线要把表列在关键处，要把线连在恰当处这就要求对所要画图象的存在范围、大致特征、变化趋势等作一个大概的研究。而这个研究要借助于函数性质、方程、不等式等理论和手段，是一个难点用图象变换法作函数图象要确定以哪一种函数的图象为基础进行变换，以及确定怎样的变换，这也是个难点

（2）三种图象变换：平移变换、对称变换和伸缩变换等等；

①平移变换：

Ⅰ、水平平移：函数yf(xa)的图像可以把函数yf(x)的图像沿x轴方向向左(a0)或向右(a0)平移|a|个单位即可得到；

左移h1）y=f(x)

右移hy=f(x+h)；2）y=f(x)

y=f(xh)；

Ⅱ、竖直平移：函数yf(x)a的图像可以把函数yf(x)的图像沿x轴方向向上(a0)或向下(a0)平移|a|个单位即可得到；

1）y=f(x) ②对称变换：

Ⅰ、函数yf(x)的图像可以将函数yf(x)的图像关于y轴对称即可得到；

上移hy=f(x)+h；2）y=f(x)

下移hy=f(x)h。

y=f(x) y=f(x)

y轴Ⅱ、函数yf(x)的图像可以将函数yf(x)的图像关于x轴对称即可得到；

y=f(x) y= f(x)

x轴Ⅲ、函数yf(x)的图像可以将函数yf(x)的图像关于原点对称即可得到；

y=f(x)

原点y= f(x)

Ⅳ、函数xf(y)的图像可以将函数yf(x)的图像关于直线yx对称得到。

y=f(x)

直线yxx=f(y)

Ⅴ、函数yf(2ax)的图像可以将函数yf(x)的图像关于直线xa对称即可得到；

y=f(x)

直线xay=f(2ax)。

③翻折变换：

Ⅰ、函数y|f(x)|的图像可以将函数yf(x)的图像的x轴下方部分沿x轴翻折到x轴上方，去掉原x轴下方部分，并保留yf(x)的x轴上方部分即可得到；

yy=f(x)yy=|f(x)|aobcxao

bcx

Ⅱ、函数yf(|x|)的图像可以将函数yf(x)的图像右边沿y轴翻折到y轴左边替代原y轴左边部分并保留yf(x)在y轴右边部分即可得到 yy=f(x)yy=f(|x|)aobcxao

bcx

④伸缩变换：

Ⅰ、函数yaf(x)(a0)的图像可以将函数yf(x)的图像中的每一点横坐标不变纵坐标伸长(a1)或压缩（0a1）为原来的a倍得到；

y=f(x)y=af(x)

Ⅱ、函数yf(ax)(a0)的图像可以将函数yf(x)的图像中的每一点纵坐标不变横坐标伸长(a1)或压缩（0a1）为原来的

ya1倍得到。 af(x)y=f(x)y=f(ax)

xa（3）识图：分布范围、变化趋势、对称性、周期性等等方面

（二）考点分析

例1．（08江苏理14）

设函数f(x)ax3x1(xR)，若对于任意的x1,1都有f(x)0成立，则实数a的值为

3

点评：该题属于实际应用的题目，结合函数值变化的趋势和一些特殊点函数值解决问题即可。要明确函数图像与函数自变量、变量值的对应关系，特别是函数单调性与函数图象个关系；

例2．（2009广东卷理）已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线（假定为直线）行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为v甲和v乙（如图2所示）．那么对于图中给定的t0和t1，下列判断中一定正确的是 （ ） A. 在t1时刻，甲车在乙车前面

B. t1时刻后，甲车在乙车后面 C. 在t0时刻，两车的位置相同 D. t0时刻后，乙车在甲车前面

exex（2）. (2009山东卷理)函数yx的图像大致为

eex

y 1O 1 x 1O1xy ( ).

yy 1 O 1 x D

1 O1 xA B C y 1 x 例3．已知函数yf(x)(xR)满足f(x1)f(x1)，且当

x1,1时，f(x)x2，则yf(x)与ylog5x的图象的

-1 O 1 5 交点个数为 （ ）

A、2 B、3 C、4 D、5

x

[巩固]设奇函数f(x)的定义域为R，且对任意实数x满足f(x+1)= -f(x)，若当x∈[0,1]时，f(x)=2-1,则f(log16)= .

2

例4．（2009江西卷文）如图所示，一质点P(x,y)在xOy平面上沿曲线运动， 速度大小不变，其在x轴上的投影点Q(x,0)的运动速度VV(t)的图象

大致为 ( )

V(t)V(t) V(t)V(t) O A B C D tOOtOtt

题型3：函数的图象变换 例5．（2008全国文，21） 21．（本小题满分12分） 设aR，函数f(x)ax3x．

（Ⅰ）若x2是函数yf(x)的极值点，求a的值；

（Ⅱ）若函数g(x)f(x)f(x)，x[0，2]，在x0处取得最大值，求a的取值范围． 点评：借助函数图像的变换规则解决实际问题。

例6．（2009四川卷文）已知函数f(x)是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x都有 xf(x1)(1x)f(x)，则f()的值是 A. 0 B.

题型4：函数图象应用

例7．函数yf(x)与yg(x)的图像如下图：则函数yf(x)g(x)的图像可能是（ ）

yy=f(x)oxoyy=g(x)x3252 ( )

15 C. 1 D. 22

yyxyxyxox

oooA B C D

点评：明确函数图像在x轴上下方与函数值符号改变的关系，数值相乘“同号为正、异号为负”。

例8．已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的图象如图，求b的范围。

yo12x点评：通过观察函数图像，变形函数解析式，得参数的取值范围。 题型5：函数图像变换的应用

例9．已知0a1，方程a|x||logax|的实根个数为（ ）

A．2 B．3 C．4 D．2或3或4

点评：该题属于“数形结合”的题目。解题思路是将“函数的零点”问题转化为“函数的交点问题”，借助函数的图象以及函数的图象变换规则求得结果即可。

例10．设f(x)|2x2|，若ab0，且f(a)f(b)，则ab的取值范围是（ ）

A．(0,2) B．(0,2] C．(0,4] D．(0,2)

2点评：考察函数图像的翻折变换。体现了数学由简到繁的原则，通过研究函数y2x的图像和性质，进而得到f(x)|2x2|的图像和性质。

2.10 函数与方程

（一）知识梳理

1．函数零点

概念：对于函数yf(x)(xD)，把使f(x)0成立的实数x叫做函数yf(x)(xD)的零点。 函数零点的意义：函数yf(x)的零点就是方程f(x)0实数根，亦即函数yf(x)的图象与x轴交点的横坐标。即：方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与x轴有交点函数yf(x)有零点。

零点存在性定理：如果函数yf(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)0，

那么函数yf(x)在区间(a,b)内有零点。既存在c(a,b)，使得f(c)0，这个c也就是方程的根。 2.二分法

二分法及步骤：

对于在区间[a，b]上连续不断，且满足f(a)·f(b)0的函数yf(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．

给定精度，用二分法求函数f(x)的零点近似值的步骤如下： （1）确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)0，给定精度； （2）求区间(a，b)的中点x1； （3）计算f(x1)：

①若f(x1)=0，则x1就是函数的零点；

②若f(a)·f(x1)<0，则令b=x1（此时零点x0(a,x1)）； ③若f(x1)·f(b)<0，则令a=x1（此时零点x0(x1,b)）； （4）判断是否达到精度；

即若|ab|，则得到零点零点值a（或b）；否则重复步骤2~4。

（二）考点分析

题型1：方程的根与函数零点

例1．（1）方程lgx+x=3的解所在区间为（ ）

A．(0，1) B．(1，2) C．(2，3) D．(3，+∞) （2）设a为常数，试讨论方程lg(x1)lg(3x)lg(ax)的实根的个数。

点评：图象法求函数零点，考查学生的数形结合思想。本题是通过构造函数用数形结合法求方程lgx+x=3解所在的区间。数形结合，要在结合方面下功夫。不仅要通过图象直观估计，而且还要计算x0的邻近两个函数值，通过比较其大小进行判断。

例4．若函数yf(x)在区间[a,b]上的图象为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是（ ）

A．若f(a)f(b)0，不存在实数c(a,b)使得f(c)0；

B．若f(a)f(b)0，存在且只存在一个实数c(a,b)使得f(c)0；C．若f(a)f(b)0，有可能存在实数c(a,b)使得f(c)0；

D．若f(a)f(b)0，有可能不存在实数c(a,b)使得f(c)0；

1.（2009福建文）若函数fx的零点与gx4x2x2的零点之差的绝对值不超过0.25， 则fx可以是 A. fx4x1 B. fx(x1)2 C. fxex1 D. fxInx

1 2