北师大版-数学-八年级上册-《一次函数与正比例函数》典型例题

《一次函数与正比例函数》典型例题

例1 下列函数中，哪些是一次函数？哪些是正比例函数？

x； 38（2）y；

x（1）y（3）y8xx(18x)； （4）y18x.

例2 判断下列函数关系中，哪些是y关于x的一次函数（以下各题中的k0且为常数）？（是一次函数的打√，若不是打×）

（1）yk3x （ ） （2）yk(x2) （ ） （3）y3xx （ ） （4）ykx3 （ ） （5）y3xk （ ） （6）y5k （ ）.

例3 已知ym与xn成正比例（其中m，n是常数） （1）求证：y是x的一次函数；

（2）如果x1时，y15，x7时，y1，求这个一次函数的解析式.

例4 列出下列函数关系式，判别其中哪些为一次函数、正比例函数． （1）正方形周长p和一边的长a． （2）圆的面积A与半径R． （3）长a一定时矩形面积y与宽x． （4）15斤梨售价20元．售价y与斤数x．

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（5）定期存100元本金，月利率1.8％，本息y与所存月数x．

（6）水库原存水Q立方米，现以每小时a立方米的流量开闸放水，同时上游以每小时b立方米的流量向水库注水，求这时水库的蓄水量M与时间t的函数关系．

例5 、 某工厂有煤m吨，每天烧煤n吨．现已知煤烧3天后余102吨，烧煤8天后余煤72吨，问烧煤15天后余煤多少吨？

例6 已知y-3与x成正比例函数，且x=2时，y=7． （1）求y与x之间的函数关系式． （2）求当x=2时y的值． （3）求当y=-3时x的值．

例7 如图，温度计上表示摄氏温度与华氏温度的刻度，能否用函数解析式表示摄氏温度与华氏温度的关系？如果今天的气温是摄氏32℃，那么华氏是多少度？

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参

例1 解：（1）y数，也是正比例函数.

（2）yx11x即为yx，其中k，b0，所以y是一次函3333888，因为不是整式，所以不能化为kxb的形式，所以y不是一xxx次函数，当然也就不能是正比例函数了.

（3）y8xx(18x)经过恒等变形，转化为yx，其中k1，b0.所以

2y8x2x(18x)是一次函数，也是正比例函数.

（4）y18x，即为y8x1，其中k8，b1. 所以，y18x是一次函数，但不是正比例函数.

说明：判断函数是一次函数、正比例函数，首先看每个函数解析式能否通过恒等变形，转化为ykxb的形式，如果x的次数是1，且k0，则是一次函数，否则就不是一次函数；在一次函数中，如果常数项b0，那么它就是正比例函数.

例2 答案: √ √ ╳ √ √ ╳.

说明：本题考查一次函数的概念，要理解一次函数的概念。

例3分析：要证明y是x的一次函数，只需证明y与x的关系式满足ykxb的形式，其中k,b为常数，且k0.

解：（1）证明：因为ym与xn成正比例， 所以ym=k（xn）(k是不为零的常数). 因为k、m、n是常数，且k0， 所以ykx(knm)， 所以(knm)也是常数，

所以ykx(knm)是一次函数，即y是x的一次函数. （2）因为y是x的一次函数， 所以设函数解析式为ykxb(k0). 因为当x1时，y15，

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当x7时，y1，

得15kb,k2, 所以

17kb,b13.所以所求函数的解析式为y2x13. 说明：在教学中应强调“谁是谁的函数”.

例4 分析：根据几何知识或实际意义列出两变量之间的关系式，再由一次函数和正比例函数的概念进行判别．

解：（1）∵p=4a．自变量a为一次且其系数为4(不为零)．∴p为a的一次函数．又∵不含常数项所以也是正比例函数．

（2）AR，自变量R的次数是二次，所以不是一次函数，也不是正比例函数． （3）y=ax，自变量x为一次且系数a为长度(不为零)．∴y是x的一次函数．∵不含常数项．∴y也是x的正比例函数．

（4）

2y44x,自变量x为一次，又系数0。∴是一次函数，也是正比例函数。 33（5）y=100+100×1.8%x，自变量x的次数为一次，又含有常数项．∴y是x的一次函数但不是正比例函数．

（6）M=Q+(b-a)t，因为自变量t的次数为一次，当a≠b时，M是t的一次函数．若Q=0时，M是t的正比例函数；若a=b时，M是常量函数，不是t的一次函数．

说明：在实际问题中要注意自变量的取值范围.（限于学生的认识水平，教师可酌情处理取值范围问题）

(1)中正方形边长a＞0． (3)中矩形的宽0＜x＜a． (4)中梨的斤数x≥0． (5)所存月数x≥0．

（6）中注放水时间t，当a>b,0tQ,当ba时与水库可存水量有关。 ab例5 分析：设烧煤x天后余煤y吨，则可建立函数关系式y=m-nx．又知当x=3时，y=102；x=8时，y=72．从而组成方程组

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求出m、n后再代回y=m-nx中，令x=15求出y．

解：设烧煤x天后余煤y吨，则余煤数与烧煤天数之间的函数关系式是

y=m-nx

由题意知x=3时y=102，x=8时y=72，可得 从而求出n=6，m=120．

所以函数关系式是y=120-6x(0＜x≤20) 当x=15时，y=120-6×15=30

答：烧煤15天后余煤30吨．

说明：列方程可以解应用题，利用函数观点分析实际问题中条件列函数关系式也可以解决实际问题．

例6 分析：y-3与x成正比例函数；把y-3看成一个变量，首先就可设y-3=kx(k≠0) 解：(1)∵(y-3)是x的正比例函数 ∴设y-3=kx(k≠0)

把x=2时y=7代入上式得k=2 ∴y与x的函数关系式为y=2x+3 y是x的一次函数 (2)当x=2时，y=2×2+3=7 (3)当y=-3时，-3=2x+3 ∴x=-3

说明：①把y-3当作一个整体变量来看待．②凡是正比例函数，一律设y=kx(k≠0)形式．③已知自变量的值求函数值，或已知函数值求自变量的值都只需代入函数关系式通过计算求得．

例7 分析 题目中给出了摄氏温度与华氏温度的部分对应关系，它们之间是一种对应的关系，是一种函数关系，但是不是一次函数关系呢？这需要加以验证，当我们利用现有的对应关系求出一次函数的解析式后，可以把其余的对应关系代入解析式中，确定它们是一次函数关系。现在我们就可以认为它们之间有一次函数的关系，并且当摄氏0℃时，华氏为32℉，因此b=32。

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解 设摄氏温度为x，华氏温度为y，由图中的数据可设

ykx32,k0.

取x100,y212，代入上式，解得k1.8. 则y1.8x32.

把x50,y90以及x20,y4分别代入上式，等式都成立，因此摄氏温度和华氏温度存在一次函数的关系，即y1.8x32.

当摄氏温度与32℃时，y1.83232.6℉.

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