2021年贵州省黔西南州中考数学试题(解析版)

一、选择题（本题10小题，每题4分，共40分） 1．2的倒数是（ ）

11C． D．

22 2．某市为做好“稳就业、保民生”工作，将新建保障性住房360 000套，缓解中低收入

A．－2 B．2

人群和新参加工作大学生的住房需求．把360 000用科学记数法表示应是（ ） A．0.36×106

B．3.6×105

C．3.6×106

D．36×105

3．如图，由6个相同的小正方体组合成一个立体图形，它的俯视图为（ ）

A．

A．a3＋a2＝a5

B．B．a3÷a＝a3

C．C．a2•a3＝a5

D．

D．(a2)4＝a6

4．下列运算正确的是（ ）

5．某学校九年级1班九名同学参加定点投篮测试，每人投篮六次，投中的次数统计如下：4，3，5，5，2，5，3，4，1，这组数据的中位数、众数分别为（ ） A．4，5 A．37°

B．5，4 B．43°

C．4，4 C．53°

D．5，5 D．°

6．如图，将一块三角板的直角顶点放在直尺的一边上，当∠2＝37°时，∠1的度数为（ ）

7．如图，某停车场入口的栏杆AB，从水平位置绕点O旋转到A′B′的位置，已知AO的长为4米．若栏杆的旋转角∠AOA′＝α，则栏杆A端升高的高度为（ ） A．

4米 sin4米 cosB．4sinα米 C．D．4cosα米

8．已知关于x的一元二次方程(m－1)x2＋2x＋1＝0有实数根，则m的取值范围是（ ） A．m＜2

B．m≤2

C．m＜2且m≠1

D．m≤2且m≠1

9．如图，在菱形ABOC中，AB＝2，∠A＝60°，菱形的一个顶点C在反比例函数y＝（k≠0）

kx的图象上，则反比例函数的解析式为（ ） A．y＝33 xB．y＝3 x3C．y＝

xD．y＝3 x

10．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋4交y轴于点A，交过点A且平行于x轴的直线于另一点B，交x轴于C，D两点（点C在点D右边），对称轴为直线x＝

5，连接AC，AD，BC．若2点B关于直线AC的对称点恰好落在线段OC上，下列结论中错误的是（ ） A．点B坐标为（5，4） B．AB＝AD

1C．a＝

6D．OC•OD＝16

二、填空题（本题10小题，每题3分，共30分） 11．把多项式a3－4a分解因式，结果是________． 12．若7axb2与－a3by的和为单项式，则yx＝________． ﹐2x63x 13．不等式组x2x1的解集为________．

045 14．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在线段BC上，且∠B＝30°，∠ADC＝60°，BC＝33，则BD的长度为________．

15．如图，正比例函数的图象与一次函数y＝－x＋1的图象相交于点P，点P到x轴的距离是2，则这个正比例函数的解析式是________．

16．如图，对折矩形纸片ABCD，使AB与DC重合得到折痕EF，将纸片展平，再一次折叠，使点D落到EF上点G处，并使折痕经过点A，已知BC＝2，则线段EG的长度为________．

17．如图，是一个运算程序的示意图，若开始输入x的值为625，则第2020次输出的结果为________．

18．有一人患了流感，经过两轮传染后，共有121人患了流感，每轮传染中平均每人传染了________个人．

19．如图图形都是由同样大小的菱形按照一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有3个菱形，第②个图形中一共有7个菱形，第③个图形中一共有13个菱形，…，按此规律排列下去，第⑦个图形中菱形的个数为________．

20．如图，在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°，AB＝2，点D为AB的中点，以点D为圆心作圆心角为90°的扇形DEF，点C恰在弧EF上，则图中阴影部分的面积为________．

三、解答题（本题6小题，共80分）

21．（1）计算：(－2)2－|2|－2cos45°＋(2 020－π)0；

2a2a （2）先化简，再求值：()÷，其中a＝5－1． 2a1a1a1

22．规定：在平面内，如果一个图形绕一个定点旋转一定的角度α（0°＜α≤180°）后能与自身重合，那么就称这个图形是旋转对称图形，转动的这个角度α称为这个图形的一个旋转角．例如：正方形绕着两条对角线的交点O旋转90°或180°后，能与自身重合（如图1），所以正方形是旋转对称图形，且有两个旋转角． 根据以上规定，回答问题：

（1）下列图形是旋转对称图形，但不是中心对称图形的是________； A．矩形 号）；

B．正五边形

C．菱形

D．正六边形

（2）下列图形中，是旋转对称图形，且有一个旋转角是60度的有：________（填序

（3）下列三个命题：①中心对称图形是旋转对称图形；②等腰三角形是旋转对称图形；③圆是旋转对称图形，其中真命题的个数有（ ）个；

A．0

180°，将图形补充完整．

B．1

C．2

D．3

（4）如图2的旋转对称图形由等腰直角三角形和圆构成，旋转角有45°，90°，135°，

23．新学期，某校开设了“防疫宣传”“心理疏导”等课程．为了解学生对新开设课程的掌握情况，从八年级学生中随机抽取了部分学生进行了一次综合测试．测试结果分为四个等级：A级为优秀，B级为良好，C级为及格，D级为不及格．将测试结果绘制了如图两幅不完整的统计图．根据统计图中的信息解答下列问题：

（1）本次抽样测试的学生人数是________名；

（2）扇形统计图中表示A级的扇形圆心角α的度数是________，并把条形统计图补充完整；

（3）该校八年级共有学生500名，如果全部参加这次测试，估计优秀的人数为____； （4）某班有4名优秀的同学（分别记为E，F，G，H，其中E为小明），班主任要从中随机选择两名同学进行经验分享．利用列表法或画树状图法，求小明被选中的概率．

24．随着人们“节能环保，绿色出行”意识的增强，越来越多的人喜欢骑自行车出行，也给自行车商家带来商机．某自行车行经营的A型自行车去年销售总额为8万元．今年该型自行车每辆售价预计比去年降低200元．若该型车的销售数量与去年相同，那么今年的销售总额将比去年减少10%，求：

（1）A型自行车去年每辆售价多少元？

（2）该车行今年计划新进一批A型车和新款B型车共60辆，且B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍．已知，A型车和B型车的进货价格分别为1500元和1800元，计划B型车销售价格为2 400元，应如何组织进货才能使这批自行车销售获利最多？

25．古希腊数学家毕达哥拉斯认为：“一切平面图形中最美的是圆”．请研究如下美丽的圆．如图，线段AB是⊙O的直径，延长AB至点C，使BC＝OB，点E是线段OB的中点，DE⊥AB交⊙O于点D，点P是⊙O上一动点（不与点A，B重合），连接CD，PE，PC． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）小明在研究的过程中发现小明发现的结论加以证明．

PE是一个确定的值．回答这个确定的值是多少？并对PC

26．已知抛物线y＝ax2＋bx＋6（a≠0）交x轴于点A（6，0）和点B（－1，0），交y轴于点C．

（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；

（2）如图（1），点P是抛物线上位于直线AC上方的动点，过点P分别作x轴，y轴的平行线，交直线AC于点D，E，当PD＋PE取最大值时，求点P的坐标；

（3）如图（2），点M为抛物线对称轴l上一点，点N为抛物线上一点，当直线AC垂直平分△AMN的边MN时，求点N的坐标．

2020年贵州省黔西南州中考数学试卷答案解析

考试时间：120分钟 满分：150分

一、选择题（本题10小题，每题4分，共40分） 1．2的倒数是（ ） A．－2

B．2

1C．

21 2D．

1．D，解析：本题考查了倒数的定义，乘积为1的两个数互为倒数，由于2×

1＝1，因2此本题选D．

2．某市为做好“稳就业、保民生”工作，将新建保障性住房360 000套，缓解中低收入人群和新参加工作大学生的住房需求．把360 000用科学记数法表示应是（ ） A．0.36×106

B．3.6×105

C．3.6×106

D．36×105

2．B，解析：本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥1时，n是非负数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．360 000＝3.6×105，因此本题选B．

3．如图，由6个相同的小正方体组合成一个立体图形，它的俯视图为（ ）

A． B． C． D．

3．D，解析：本题考查了几何体的俯视图，从几何体的上方向下看到的图形是几何体的俯视图，从该几何体上方向下看，一共看到四个相邻的正方形排成一行，因此本题选D．

4．下列运算正确的是（ ） A．a3＋a2＝a5

B．a3÷a＝a3

＋

C．a2•a3＝a5 D．(a2)4＝a6

4．C，解析：本题考查了整式的加减运算及幂的运算性质，求解时根据选项中的运算选择相应的法则进行计算．a2·a3＝a32＝a5，因此本题选C．

5．某学校九年级1班九名同学参加定点投篮测试，每人投篮六次，投中的次数统计如下：4，3，5，5，2，5，3，4，1，这组数据的中位数、众数分别为（ ） A．4，5

B．5，4

C．4，4

D．5，5

5．A，解析：本题考查了求一组数据的中位数，众数．将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．出现次数最多的数据叫做这组数据的众数．将4，3，5，5，2，5，3，4，1按由小到大的顺序排列为：1，2，3，3，4，4，5，5，5，处在最中间的数是4，所以中位数是4，其中5出

现了3次，出现次数最多，所以众数是5，因此本题选A． 6．如图，将一块三角板的直角顶点放在直尺的一边上，当∠2＝37°时，∠1的度数为（ ） A．37°

B．43°

C．53°

D．°

6．C，解析：本题考察了平行线的性质，平角、直角的意义．如答图，因为AB∥CD，所以∠2＝∠3＝37°，又因为∠FEG＝90°，所以∠1＝180°－90°－∠3＝90°－37°＝53°，因此本题选C．

FA1CE3D2GB

7．如图，某停车场入口的栏杆AB，从水平位置绕点O旋转到A′B′的位置，已知AO的长为4米．若栏杆的旋转角∠AOA′＝α，则栏杆A端升高的高度为（ ） A．

4米 sin4米 cosB．4sinα米 C．D．4cosα米

7．B，解析：本题考查了锐角三角函数的应用．如答图，过点A′作A′C⊥AB于点C．在

ACRt△OCA′，sinα＝，所以A′C＝A′O·sinα．由题意得A′O＝AO＝4，所以A′C＝4sinα，

AO因此本题选B．

8．已知关于x的一元二次方程(m－1)x2＋2x＋1＝0有实数根，则m的取值范围是（ ） A．m＜2

B．m≤2

C．m＜2且m≠1

D．m≤2且m≠1

8．D，解析：本题考查了根的判别式的性质：当b2－4ac≥0时，方程有实数根．因为关于x的一元二次方程x2－2x＋m＝0有实数根，所以b2－4ac＝22－4(m－1)×1≥0，解得m≤2．又因为(m－1)x2＋2x＋1＝0是一元二次方程，所以m－1≠0．综合知，m的取值范围

是m≤2且m≠1，因此本题选D．

9．如图，在菱形ABOC中，AB＝2，∠A＝60°，菱形的一个顶点C在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，则反比例函数的解析式为（ ） A．y＝33 xkxB．y＝3 x3C．y＝

xD．y＝3 x

9．B，解析：本题考查了待定系数法，菱形的性质，点的坐标的意义．因为在菱形ABOC中，∠A＝60°，菱形边长为2，所以OC＝2，∠COB＝60°．如答图，过点C作CD⊥OB于点D，则OD＝OC·cos∠COB＝2×cos60°＝2×＝2×1＝1，CD＝OC·sin∠COB＝2×sin60°23＝3．因为点C在第二象限，所以点C的坐标为（－1，3）．因为顶点C在2反比例函数y═kk的图象上，所以3＝，得k＝3，所以反比例函数的解析式为y＝

1x3，因此本题选B． xyACBDOx

10．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋4交y轴于点A，交过点A且平行于x轴的直线于另一点B，交x轴于C，D两点（点C在点D右边），对称轴为直线x＝

5，连接AC，AD，BC．若2点B关于直线AC的对称点恰好落在线段OC上，下列结论中错误的是（ ） A．点B坐标为（5，4） B．AB＝AD

1C．a＝

6D．OC•OD＝16

10．D，解析：本题考查了二次函数的性质，点的坐标意义，平行线的性质，等腰三角形的判定与性质及勾股定理．因为抛物线y＝ax2＋bx＋4交y轴于点A，所以A（0，4）．因为对称轴为直线x＝

5，AB∥x轴，所以B（5，4），选项A正确，不符合题意．如答图，2过点B作BE⊥x轴于点E，则BE＝4，AB＝5．因为AB∥x轴，所以∠BAC＝∠ACO．因为点B关于直线AC的对称点恰好落在线段OC上，所以∠ACO＝∠ACB，所以∠BAC＝∠ACB，所以BC＝AB＝5．在Rt△BCE中，由勾股定理得EC＝3，所以C（8，0），因为对称轴为直线x＝

5，所以D（－3，0）．在Rt△ADO中，OA＝4，OD＝3，所以AD＝5，2所以AB＝AD，选项B正确，不符合题意．设y＝ax2＋bx＋4＝a(x＋3)(x－8)，将A（0，4）1代入得4＝a(0＋3)(0－8)，解得a＝，选项C正确，不符合题意．因为OC＝8，OD＝3，

6所以OC•OD＝24，选项D错误，符合题意，因此本题选D．

二、填空题（本题10小题，每题3分，共30分） 11．把多项式a3－4a分解因式，结果是________．

11．a(a＋2)(a－2)，解析：本题考查了因式分解．把一个多项式分解因式，一般先提公因式，然后再考虑运用公式法，要注意分解因式一定要彻底．a3－4a＝a(a2－4)＝a(a＋2)(a－2)，因此本题答案为a(a＋2)(a－2)．

12．若7axb2与－a3by的和为单项式，则yx＝________．

12．8，解析：本题考查了整式的加减法法则，同类项的意义（所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项）．因为7axb2与－a3by的和为单项式，所以7axb2与－a3by是同类项，所以x＝3，y＝2，所以yx＝23＝8，因此本题答案为8．

﹐2x63x13．不等式组x2x1的解集为________．

04513．－6＜x≤13，解析：本题考查了一元一次不等式组的解法，先求出每个不等式的解集，再确定出各个解集的公共部分作为不等式组的解集．解不等式2x－6＜3x得x＞－6；解不等式

x2x1≥0得x≤13，所以不等式组的解集为－6＜x≤13，因此本题答案为－6＜x≤13．

14．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在线段BC上，且∠B＝30°，∠ADC＝60°，BC＝33，则BD的长度为________．

14．23，解析：本题考查了解直角三角形，含30°角的直角三角形的性质（在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半）．因为∠C＝90°，∠ADC＝60°，所以∠DAC＝30°，所以CD＝

1AD．因为∠B＝30°，∠ADC＝60°，所以∠BAD＝30°，所以BD＝AD，2所以BD＝2CD．因为BC＝33，所以CD＋2CD＝33，所以CD＝3，所以DB＝23，因此本题答案为23．

15．如图，正比例函数的图象与一次函数y＝－x＋1的图象相交于点P，点P到x轴的距离是2，则这个正比例函数的解析式是________．

15．y＝－2x，解析：本题考查了一次函数的性质，正比例函数的性质，点的坐标意义．∵点P到x轴的距离为2，∴点P的纵坐标为2，∵点P在一次函数y＝－x＋1上，∴2＝－x＋1，解得x＝－1，∴点P的坐标为（－1，2）．设正比例函数解析式为y＝kx，把P（－1，2）代入得2＝－k，解得k＝－2，∴正比例函数解析式为y＝－2x，因此本题答案为y＝－2x．

16．如图，对折矩形纸片ABCD，使AB与DC重合得到折痕EF，将纸片展平，再一次折叠，使点D落到EF上点G处，并使折痕经过点A，已知BC＝2，则线段EG的长度为

________．

16．3，解析：本题考查了矩形、勾股定理、图形的变换等知识． 考查了翻折变换的性质以及矩形的性质．如答图，由第一次折叠得EF⊥AD，AE＝DE，∴∠AEF＝90°，AD＝2AE．∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝∠DAB＝90°，∴∠AEF＝∠D，∴EF∥CD，∴△AEN∽△ADM，∴

ANAE11＝＝，∴AN＝AM，∴AN＝MN，又由第二次折叠得∠AGMAMAD221AM，∴AN＝NG，∴∠2＝∠4．由第二次折叠得∠1＝∠2，∴∠12＝∠D＝90°，∴NG＝

＝∠4．∵AB∥CD，EF∥CD，∴EF∥AB，∴∠3＝∠4，∴∠1＝∠2＝∠3．∵∠1＋∠2＋∠3＝∠DAB＝90°，∴∠1＝∠2＝∠3＝30°．∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝2．由第二次折叠得AG＝AD＝2．由第一次折叠得AE＝

11AD＝×2＝1．在Rt△AEG中，由22勾股定理得EG＝AG2AE2＝2212＝3，因此本题答案为3．

17．如图，是一个运算程序的示意图，若开始输入x的值为625，则第2020次输出的结果为________．

117．1，解析：本题考查了求代数式的值以及规律探究．当x＝625时，x＝125；当x＝

5111125时，x＝25；当x＝25时，x＝5；当x＝5时，x＝1；当x＝1时，x＋4＝5；当x

5551＝5时，x＝1，…，于是可知，从第3次输入开始，输出结果以5，1为循环节循环出现．因

5为(2 020－2)÷2＝1 010，所以输出的结果是1，因此本题的答案为1．

18．有一人患了流感，经过两轮传染后，共有121人患了流感，每轮传染中平均每人传染了________个人．

18．10，解析：本题考查了一元二次方程的实际应用．设每轮传染中平均每人传染了x人，根据题意得1＋x＋x(1＋x)＝121，即(1＋x)2＝121，解得x1＝10，x2＝－12（舍去），因此本题答案为10．

19．如图图形都是由同样大小的菱形按照一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有3个菱形，第②个图形中一共有7个菱形，第③个图形中一共有13个菱形，…，按此规律排列下去，第⑦个图形中菱形的个数为________．

19．57，解析：本题考查了图形规律探究．第①个图形中一共有3个菱形，即2＋1×1＝3；第②个图形中一共有7个菱形，即3＋2×2＝7；第③个图形中一共有13个菱形，即4＋3×3＝13；…，按此规律排列下去，所以第⑦个图形中菱形的个数为：8＋7×7＝57，因此本题答案为57．

20．如图，在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°，AB＝2，点D为AB的中点，以点D为圆心作圆心角为90°的扇形DEF，点C恰在弧EF上，则图中阴影部分的面积为________．

20．

π1

，解析：本题考查了扇形的面积计算和图形的旋转．如答图，连接CD，作DM42

⊥BC，DN⊥AC，垂足分别为M，N．∵CA＝CB，∠ACB＝90°，点D为AB的中点，∴DC290π121π＝AB＝1，四边形DMCN是正方形，DM＝，∴扇形FDE的面积为＝．∵CA

236024＝CB，点D为AB的中点，∴CD平分∠BCA，又∵DM⊥BC，DN⊥AC，∴DM＝DN．∵∠GDH＝∠MDN＝90°，∴∠GDM＝∠HDN．在△DMG

和△DNH

中，

DMGDNH，1∴△DMG≌△DNH（AAS），∴S＝S＝，∴阴影部GDMHDN，四边形四边形DGCHDMCN2DMDN，分的面积为

π1π1，因此本题答案为． 4242

三、解答题（本题6小题，共80分）

21．（1）计算：(－2)2－|2|－2cos45°＋(2 020－π)0；

21．本题考查了实数的综合运算能力，包括有理数的平方，无理数绝对值，特殊角的三角函数值，零指数幂． 解：原式＝4－2－2×

21．（2）先化简，再求值：(

2a2a)÷，其中a＝5－1． 2a1a1a12＋1＝＝4－2－2＋1＝5－22． 2本题考查了分式的化简求值，先进行括号内的运算，再进行除法运算，最后将a的值代入求值． 解：原式＝[

2(a1)a22(a1)a2aa1]÷＝·＝

(a1)(a1)(a1)(a1)(a1)(a1)a1a3aa13·＝．

(a1)(a1)aa1当a＝5－1时，原式＝3511＝35＝35． 5

22．规定：在平面内，如果一个图形绕一个定点旋转一定的角度α（0°＜α≤180°）后能与自身重合，那么就称这个图形是旋转对称图形，转动的这个角度α称为这个图形的一个旋转角．例如：正方形绕着两条对角线的交点O旋转90°或180°后，能与自身重合（如图1），所以正方形是旋转对称图形，且有两个旋转角． 根据以上规定，回答问题：

（1）下列图形是旋转对称图形，但不是中心对称图形的是________； A．矩形 号）；

B．正五边形

C．菱形

D．正六边形

（2）下列图形中，是旋转对称图形，且有一个旋转角是60度的有：________（填序

（3）下列三个命题：①中心对称图形是旋转对称图形；②等腰三角形是旋转对称图形；

③圆是旋转对称图形，其中真命题的个数有（ ）个；

A．0

180°，将图形补充完整．

B．1

C．2

D．3

（4）如图2的旋转对称图形由等腰直角三角形和圆构成，旋转角有45°，90°，135°，

22．本题考查了新定义“旋转对称图形”．（1）根据旋转对称图形的定义进行判断；（2）先分别求每一个图形中的旋转角，然后再进行判断；（3）根据旋转对称图形的定义进行判断；（4）利用旋转对称图形的定义进行设计．

解：（1）B （2）（1）（3）（5） （3）C （4）如答图：

23．新学期，某校开设了“防疫宣传”“心理疏导”等课程．为了解学生对新开设课程的掌握情况，从八年级学生中随机抽取了部分学生进行了一次综合测试．测试结果分为四个等级：A级为优秀，B级为良好，C级为及格，D级为不及格．将测试结果绘制了如图两幅不完整的统计图．根据统计图中的信息解答下列问题：

（1）本次抽样测试的学生人数是________名；

（2）扇形统计图中表示A级的扇形圆心角α的度数是________，并把条形统计图补充完整；

（3）该校八年级共有学生500名，如果全部参加这次测试，估计优秀的人数为____； （4）某班有4名优秀的同学（分别记为E，F，G，H，其中E为小明），班主任要从中随机选择两名同学进行经验分享．利用列表法或画树状图法，求小明被选中的概率． 23．本题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图．（1）根据条形统

计图B级的频数，扇形统计图中B级的百分比利用“频率＝

频数”求出样本容量，即：总数12÷30%＝40；（2）先求出A级所占的百分比，再利用“扇形圆心角的度数＝A级所占的百分比×360°”计算，即：

6×360°＝°．先计算出C级的频数，再补全条形图，C级40人数为40－6－12－8＝14（人），据此补条形图；（3）先求出样本中优秀的百分比，再利用“样本估计总体”的数学思想，用样本的优秀百分比×总体的数目计算，即：500×15%＝75（人）；（4）利用列表法或画树状图法列出所有可能出现的结果，再从中找到小明被选中的所有可能结果，最后利用概率公式求解． 解：（1）40 （2）°，补全条形统计图如答图所示

（3）75 （4）画树状图得

∵共有12种等可能的结果，选中小明的有6种情况，∴选中小明的概率为

61＝． 122

24．随着人们“节能环保，绿色出行”意识的增强，越来越多的人喜欢骑自行车出行，也给自行车商家带来商机．某自行车行经营的A型自行车去年销售总额为8万元．今年该型自行车每辆售价预计比去年降低200元．若该型车的销售数量与去年相同，那么今年的销售总额将比去年减少10%，求：

（1）A型自行车去年每辆售价多少元？

（2）该车行今年计划新进一批A型车和新款B型车共60辆，且B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍．已知，A型车和B型车的进货价格分别为1500元和1800元，计划B型车销售价格为2 400元，应如何组织进货才能使这批自行车销售获利最多？

24．本题考查了分式方程的应用以及一次函数求实际问题的最值．（1）根据相等关系“今年该型车的销售数量与去年相同”列分式方程求解；（2）先列出销售获利关于A型车（或B型车）的一次函数关系，再利用一次函数的性质求最大值．

解：（1）设去年A型车每辆售价x元，则今年售价每辆为（x－200）元，由题意得＝

80000x80000(110%)，解得：x＝2 000．经检验，x＝2 000是原方程的根．答：去年A型车

x200每辆售价为2 000元；

（2）设今年新进A型车a辆，则B型车(60－a)辆，获利y元，由题意得

y＝(1800－1500)a＋(2400－1800)(60－a)．∴y＝－300a＋36000．∵B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍，∴60－a≤2a，∴a≥20．∵y＝－300a＋36000．∴k＝－300＜0，∴y随a的增大而减小．∴a＝20时，y有最大值，∴B型车的数量为：60－20＝40辆．∴当新进A型车20辆，B型车40辆时，这批车获利最大．

25．古希腊数学家毕达哥拉斯认为：“一切平面图形中最美的是圆”．请研究如下美丽的圆．如图，线段AB是⊙O的直径，延长AB至点C，使BC＝OB，点E是线段OB的中点，DE⊥AB交⊙O于点D，点P是⊙O上一动点（不与点A，B重合），连接CD，PE，PC． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）小明在研究的过程中发现小明发现的结论加以证明．

PE是一个确定的值．回答这个确定的值是多少？并对PC

25．本题考查了切线的判定与性质及相似三角形的判定与性质．（1）连接OD，DB，由已知可得DE垂直平分OB，于是DB＝DO，而OB＝OD，所以DB＝DO＝OB，即△ODB是等边三角形，于是∠BDO＝60°，再由等腰三角形的性质及三角形的外角性质可得∠CDB＝30°，从而可得∠ODC＝90°，所以OD⊥CD，所以CD是⊙O的切线；（2）连接OP，由已知条件得OP＝OB＝BC＝2OE，再利用“两组边成比例，夹角相等”证明△OEP∽△OPC，最后由相似三角形的对应边成比例得到结论．

解：（1）如答图，连接OD，DB，∵点E是线段OB的中点，DE⊥AB交⊙O于点D，∴DE垂直平分OB，∴DB＝DO．∵DO＝OB，∴DB＝DO＝OB，∴△ODB是等边三角形，∴∠BDO＝∠DBO＝60°．∵BC＝OB＝BD，且∠DBE为△BDC的外角，∴∠BCD＝∠BDC＝1∠DBO．∵∠DBO＝60°，∴∠CDB＝30°．∴∠ODC＝∠BDO＋∠BDC＝60°＋30°＝90°，2∴OD⊥CD，∴CD是⊙O的切线；

（2）这个确定的值是

1． 2证明：如答图，连接OP，∵OP＝OB＝BC＝2OE，∴＝∠POE，∴△OEP∽△OPC，∴

PEOP1＝＝． PCOC2OEOP1＝＝，又∵∠COPOPOC2

26．已知抛物线y＝ax2＋bx＋6（a≠0）交x轴于点A（6，0）和点B（－1，0），交y轴于点C．

（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；

（2）如图（1），点P是抛物线上位于直线AC上方的动点，过点P分别作x轴，y轴的平行线，交直线AC于点D，E，当PD＋PE取最大值时，求点P的坐标；

（3）如图（2），点M为抛物线对称轴l上一点，点N为抛物线上一点，当直线AC垂直平分△AMN的边MN时，求点N的坐标．

0ab6，26．解：（1）∵抛物线y＝ax2＋bx＋6经过点A（6，0），B（－1，0），∴036a6b6，解得a＝－1，b＝5，∴抛物线的解析式为y＝－x2＋5x＋6．

9∵y＝－x2＋5x＋6＝－(x)2＋，∴抛物线的解析式为y＝－x2＋5x＋6，顶点坐标为

249（，）． 24（2）由（1）知，抛物线的解析式为y＝－x2＋5x＋6，∴C（0，6），∴OC＝6．∵A（6，0），∴OA＝6，∴OA＝OC，∴∠OAC＝45°．∵PD平行于x轴，PE平行于y轴，∴∠DPE＝90°，∠PDE＝∠DAO＝45°，∴∠PED＝45°，∴∠PDE＝∠PED，∴PD＝PE，∴PD＋PE＝2PE，∴当PE的长度最大时，PE＋PD取最大值．设直线AC的函数关系式06kd，为y＝kx＋d，把A（6，0），C（0，6）代入得解得k＝－1，d＝6，∴直线AC

6d，的解析式为y＝－x＋6．设E（t，－t＋6）（0＜t＜6），则P（t，－t2＋5t＋6），∴PE＝－t2＋5t＋6－(－t＋6)＝－t2＋6t＝－(t－3)2＋9．∵－1＜0，∴当t＝3时，PE最大，此时－t2＋5t＋6＝12，∴P（3，12）．

（3）如答图，设直线AC与抛物线的对称轴l的交点为F，连接NF．∵点F在线段MN的垂直平分线AC上，∴FM＝FN，∠NFC＝∠MFC．∵l∥y轴，∴∠MFC＝∠OCA＝45°，∴∠MFN＝∠NFC＋∠MFC＝90°，∴NF∥x轴．由（2）知直线AC的解析式为y＝－x＋6，当x＝

57577时，y＝，∴F（，），∴点N的纵坐标为．∵点N在抛22222物线上，∴－x2＋5x＋6＝

5355355357，解得，x1＝或x2＝，∴点N的坐标为（，222253577）或（，）．

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