汕头市2015—2016学年度高二期末统考试题-高二理科数学(含答案)

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参考

一、选择题： 题号 1 选项 B 2 A 3 C 4 D 5 B 6 A 7 C 答案

8 A 9 A 10 B 11 B 12 B 二、填空题：

13、22, 14、{m|m3},或m3,， 15、三、解答题.

17、解：(1)当n1时，2S13a11,a11…………（1分） 当n2时，2an2Sn2Sn13an13an11，即

4， 16、160 3an3…………（3分） an1数列an是以a11为首项，3为公比的等比数列，an3n1…………（4分）

设bn的公差为d,b13a13,b3S2372d3,d2…………（5分） 所以bn32(n1)2n1…………（6分）

2n13572n1…………（7分） ,Tn3n3132333n2n13572n1cnn,Tn123n①

3333313572n1Tn234n1②，…………（8分） 33333⑵由（1）可知道：cn由①-②得，

21112n1Tn12(23........n)n1…………（9分） 33333n111332n112n1…………（10分）

1331312n111n1…………（11分） 333所以Tn2nn2…………（12分） 3nABCBAD90，18.（本小题满分12分）如图，四棱锥PABCD中，BC2AD，PAB与PAD都是等边三角形.（1）证明：PBCD；

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（2）求二面角APDB的余弦值.

证明：（1）取BC的中点E，连接DE，则ADEB为正方形…………（1分） 过P作PO平面ABCD,垂足为点O，由PAB与PAD都是等边三角形. 不难得到PAPBPD,所以OAOBOD,…………（2分） 即点O为正方形ADEB的对角线交点，故OEBD…………（3分） 所以OE平面PBD，又PB平面PBD，所以OEPB…………（4分） 因为O,E分别是BD,BC的中点，所以OE//CD,所以PBCD；…………（6分） （2）由（1）知，可以O为坐标原点，OE,OB,OP为x,y,z轴的正方向，建立如图所示的直角坐标系，设AB2，则点A(2,0,0),D(0,2,0),P(0,0,2)…………（7分） 所以AD(2,2,0),AP(2,0,2),…………（8分）

nAD2x2y0设平面PAD的一个法向量为n(x,y,z)所以，

nAP2x2z0取x1得到y1,z1，所以n(1,1,1)…………（9分）

又OE平面PBD，所以可以取平面PBD的一个法向量m(1,0,0)…………（10分） 由图像可知，该二面角为锐角，可设为 所以cosnmnm13.…………（12分） 3319. 2016年4月21日上午10时，某省会首次启动重污染天气II级应急响应，正式实施机动车车尾号限行，当天某报社为了解公众对“车辆限行”的态度，随机抽查了50人，将调查情况进行整理后制成下表： 年龄（岁） 频数 赞成人数 15,25 5 4 25,35 10 6 35,45 15 9 45,55 10 6 55,65 65,75 5 3 5 4 ----完整版学习资料分享----

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(1)完成被调查人员的频率分布直方图；

(2)若从年龄15,25，25,35的被调查者中各随机选取两人进行追踪调查，记选中的4人中不赞成“车辆限行”的人数为，求随机变量的分布列和数学期望.

解：(1)各组的频率分别是0.1,0.2,0.3,0.2,0.1,0.1，所以图中各组的纵坐标分别是0.01,0.02,0.03,0.02,0.01,0.01，画图……………（2分） 频率组距0.030.020.01152535556575年龄……………（5分）

(2)的所有可能取值为：0,1,2,3……………（6分）

22C6C461515P022……………（7分）

C5C10104575 1112C62C4C4C6C441562434P12222C5C10C5C101045104575……………（8分）

2122C6C4C4C44156622……………（9分） P22222C5C10C5C10104510457512C4C46P322……………（10分）

C5C10104575所以的分布列是：

 P 0 1 2 3 34422 75757515342246所以的数学期望是E0123.……………（12分）

757575755220.如图，已知抛物线C1:y4x的焦点为F，椭圆C2的中心在原点，F为其右焦点，点M为

15 75曲线C1和C2在第一象限的交点，且|MF|5．（1）求椭圆C2的标准方程； 2----完整版学习资料分享----

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（2）设A,B为抛物线C1上的两个动点，且使得线段AB的中点D在直线yx上，

P(3,2)为定点，求PAB面积的最大值．

x2y221(ab0)2C2ab解：（1）设椭圆的方程为，半焦距为c．

由已知，点F(1,0)，则c1．………………（1分）

设点

M(x0,y0)(x0,y00)，据抛物线定义，得

|MF|x01．由已知，

x0135x02．2，则从

3M(,6)y04x062而，所以点．………………（2分）

73|ME|162． 2设点E为椭圆的左焦点，则E(1,0)，

22a|ME||MF|据椭圆定义，得

75622，则a3．……………（4分）

x2y21222C2bac8从而，所以椭圆的标准方式是．……（5分）

2A(x1,y1)B(x2,y2)y124x1,y24x2D(m,m)（2）设点，，，则．

两式相减，得

2y12y24(x1x2)，即

y1y24x1x2y1y2．因为D为线段AB的中点，则

y1y22m．

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2ex1f(x)elnx.

xx（1）求曲线yfx在点1,f(1)处的切线方程; （2）证明：fx1. 解：(1)显然函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，………(1分)

ex2xex12ex1f(x)elnxxx2且 ……………(3分) /kf(1)e，且f(1)2……………(4分) 所以切线斜率

'x所以曲线yf(x)在点1,f(1)处的切线方程为y2e(x1) 即exye20……………(5分)

2ex1（2）由题意知f(x)1elnx1

xx由于x0,e0，该不等式可以转化为如下等价的不等式:

xxlnxx2x2x0,xlnx恒成立。…………(6分) ,即证对于不等式

exeexe/设h(x)xlnx,(x0) ，则h(x)lnx1

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11，所以函数h(x)在(,)上是增函数。 ee11/由h(x)lnx10得到0x，所以函数h(x)在(0,)上是减函数。…………(7分)

ee1111所以函数h(x)在(0,)上有最小值h()ln…………(8分)

eeeex21x/设g(x)x,(x0)，则g(x)x

eee1x/由g(x)x0得到0x1，所以函数g(x)在(0,1)上是增函数。

e1x/由g(x)x0得到x1，所以函数g(x)在(1,)上是减函数。…………(9分)

e121所以函数g(x)在(0,)上有最大值g(1)…………(10分)

eee/由h(x)lnx10得到xx22ex1x综上所述： xlnxxelnx1f(x)1…………(12分)

eex请从下面所给的22、23、24三题中选定一题作答，并用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分；不涂、多图均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分。

22. （本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲

如图所示，已知PA是⊙O相切，A为切点，过点P的

割线交圆于B,C两点，弦CD//AP，AD,BC相交于点

E，F为CE上一点，且DE2EFEC． （1）求证：CEEBEFEP；

（2）若CE:BE3:2,DE3,EF2，求PA的长．

第22题图 解：（Ⅰ）∵DE2EFEC,DEFDEF

∴DEF∽CED, ∴EDFC……………………(1分) 又∵CD//AP, ∴PC, ……………………(2分) ∴EDFP,DEFPEA ∴EDF∽EPA，

EAEP，∴EAEDEFEP ……………………(3分) EFED又∵EAEDCEEB，……………………(4分) ∴CEEBEFEP．……………………(5分) （Ⅱ）∵DE2EFEC,DE3,EF2

9 ∴ EC，………………(6分)

2∵CE:BE3:2 ∴BE3……………………(7分)

27由（1）可知：CEEBEFEP，解得EP.……………………(8分)

415∴BPEPEB．

4∵PA是⊙O的切线，∴PA2PBPC………………(9分)

∴

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WORD完整版----可编辑----教育资料分享 ∴PA215315279．……………………(10分) ()，解得PA4442x2cos1 (为参数)，以直角坐标系原点为极点，x轴正半轴

y3sin23．本小题满分10分)选修4—4；坐标系与参数方程 已知曲线C的参数方程为为极轴建立极坐标系．

（1）求曲线C的极坐标方程； （2）若直线l的参数方程为xt其中t为参数，求直线l被曲线C截得的弦长．

y3tx2cos1 (α为参数)

y3sin2解(1)∵曲线C的参数方程为y21……………………(2分) 43xcos3将 代入并化简得：

ysin2cos3即曲线c的极坐标方程为 ……………………(5分)

2cos（2）直线l的普通方程为y3x，……………………(6分) xcos将 代入并化简得：

ysin直线l的极坐标方程为：tan3,0,2……………………(7分)

4所以或……………………(8分)

33463将或分别代入得：或2……………………(9分)

3352cos64即直线l与曲线C两个交点的极坐标为A(,),B(2,)

533616所以弦长AB2……………………(10分)

5524．（本小题满分10分）选修45：不等式选讲

已知函数f(x)|x|x1，g(x)|x4|m． （1）解关于x的不等式g[f(x)]1m0； （2）若函数

x1∴曲线C的普通方程为

f(x)的图像恒在函数g(x)图像的上方，求实数m的取值范围．

解：（Ⅰ）由g[f(x)]2m0得||x|x14|1，

3|x|x15 ……(*) …………（1分）

（1） 当x0时，不等式(*)可以化为：312x5，即2x1………（2分）

（2） 当0x1时，不等式(*)显然不成立。………（3分）

（3） 当x0时，不等式(*)可以化为：32x15，即2x3………（4分） 综上，原不等式的解集为2,12,3 ………（5分）

（Ⅱ）∵函数f(x)的图象恒在函数g(x)图象的上方

∴f(x)g(x)恒成立，即m|x|x1|x4|恒成立………（6分） 记h(x)xx1x4

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（1）当x0时，h(x)xx1x4=53x，则h(x)5

（2）当0x1时，h(x)xx1x4=5x，则4h(x)5………（7分） （3）当1x4时，h(x)xx1x4=3x，则4h(x)7………（8分） （4）当x4时，h(x)xx1x4=3x5，则h(x)7………（9分） 综上，h(x)min4∴m的取值范围为m4. ………（10分）

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