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汕头市2015—2016学年度高二期末统考试题-高二理科数学(含答案)

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参考

一、选择题: 题号 1 选项 B 2 A 3 C 4 D 5 B 6 A 7 C 答案

8 A 9 A 10 B 11 B 12 B 二、填空题:

13、22, 14、{m|m3},或m3,, 15、三、解答题.

17、解:(1)当n1时,2S13a11,a11…………(1分) 当n2时,2an2Sn2Sn13an13an11,即

4, 16、160 3an3…………(3分) an1数列an是以a11为首项,3为公比的等比数列,an3n1…………(4分)

设bn的公差为d,b13a13,b3S2372d3,d2…………(5分) 所以bn32(n1)2n1…………(6分)

2n13572n1…………(7分) ,Tn3n3132333n2n13572n1cnn,Tn123n①

3333313572n1Tn234n1②,…………(8分) 33333⑵由(1)可知道:cn由①-②得,

21112n1Tn12(23........n)n1…………(9分) 33333n111332n112n1…………(10分)

1331312n111n1…………(11分) 333所以Tn2nn2…………(12分) 3nABCBAD90,18.(本小题满分12分)如图,四棱锥PABCD中,BC2AD,PAB与PAD都是等边三角形.(1)证明:PBCD;

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(2)求二面角APDB的余弦值.

证明:(1)取BC的中点E,连接DE,则ADEB为正方形…………(1分) 过P作PO平面ABCD,垂足为点O,由PAB与PAD都是等边三角形. 不难得到PAPBPD,所以OAOBOD,…………(2分) 即点O为正方形ADEB的对角线交点,故OEBD…………(3分) 所以OE平面PBD,又PB平面PBD,所以OEPB…………(4分) 因为O,E分别是BD,BC的中点,所以OE//CD,所以PBCD;…………(6分) (2)由(1)知,可以O为坐标原点,OE,OB,OP为x,y,z轴的正方向,建立如图所示的直角坐标系,设AB2,则点A(2,0,0),D(0,2,0),P(0,0,2)…………(7分) 所以AD(2,2,0),AP(2,0,2),…………(8分)

nAD2x2y0设平面PAD的一个法向量为n(x,y,z)所以,

nAP2x2z0取x1得到y1,z1,所以n(1,1,1)…………(9分)

又OE平面PBD,所以可以取平面PBD的一个法向量m(1,0,0)…………(10分) 由图像可知,该二面角为锐角,可设为 所以cosnmnm13.…………(12分) 3319. 2016年4月21日上午10时,某省会首次启动重污染天气II级应急响应,正式实施机动车车尾号限行,当天某报社为了解公众对“车辆限行”的态度,随机抽查了50人,将调查情况进行整理后制成下表: 年龄(岁) 频数 赞成人数 15,25 5 4 25,35 10 6 35,45 15 9 45,55 10 6 55,65 65,75 5 3 5 4 ----完整版学习资料分享----

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(1)完成被调查人员的频率分布直方图;

(2)若从年龄15,25,25,35的被调查者中各随机选取两人进行追踪调查,记选中的4人中不赞成“车辆限行”的人数为,求随机变量的分布列和数学期望.

解:(1)各组的频率分别是0.1,0.2,0.3,0.2,0.1,0.1,所以图中各组的纵坐标分别是0.01,0.02,0.03,0.02,0.01,0.01,画图……………(2分) 频率组距0.030.020.01152535556575年龄……………(5分)

(2)的所有可能取值为:0,1,2,3……………(6分)

22C6C461515P022……………(7分)

C5C10104575 1112C62C4C4C6C441562434P12222C5C10C5C101045104575……………(8分)

2122C6C4C4C44156622……………(9分) P22222C5C10C5C10104510457512C4C46P322……………(10分)

C5C10104575所以的分布列是:

 P 0 1 2 3 34422 75757515342246所以的数学期望是E0123.……………(12分)

757575755220.如图,已知抛物线C1:y4x的焦点为F,椭圆C2的中心在原点,F为其右焦点,点M为

15 75曲线C1和C2在第一象限的交点,且|MF|5.(1)求椭圆C2的标准方程; 2----完整版学习资料分享----

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(2)设A,B为抛物线C1上的两个动点,且使得线段AB的中点D在直线yx上,

P(3,2)为定点,求PAB面积的最大值.

x2y221(ab0)2C2ab解:(1)设椭圆的方程为,半焦距为c.

由已知,点F(1,0),则c1.………………(1分)

设点

M(x0,y0)(x0,y00),据抛物线定义,得

|MF|x01.由已知,

x0135x02.2,则从

3M(,6)y04x062而,所以点.………………(2分)

73|ME|162. 2设点E为椭圆的左焦点,则E(1,0),

22a|ME||MF|据椭圆定义,得

75622,则a3.……………(4分)

x2y21222C2bac8从而,所以椭圆的标准方式是.……(5分)

2A(x1,y1)B(x2,y2)y124x1,y24x2D(m,m)(2)设点,,,则.

两式相减,得

2y12y24(x1x2),即

y1y24x1x2y1y2.因为D为线段AB的中点,则

y1y22m.

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2ex1f(x)elnx.

xx(1)求曲线yfx在点1,f(1)处的切线方程; (2)证明:fx1. 解:(1)显然函数f(x)的定义域为(0,+∞),………(1分)

ex2xex12ex1f(x)elnxxx2且 ……………(3分) /kf(1)e,且f(1)2……………(4分) 所以切线斜率

'x所以曲线yf(x)在点1,f(1)处的切线方程为y2e(x1) 即exye20……………(5分)

2ex1(2)由题意知f(x)1elnx1

xx由于x0,e0,该不等式可以转化为如下等价的不等式:

xxlnxx2x2x0,xlnx恒成立。…………(6分) ,即证对于不等式

exeexe/设h(x)xlnx,(x0) ,则h(x)lnx1

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11,所以函数h(x)在(,)上是增函数。 ee11/由h(x)lnx10得到0x,所以函数h(x)在(0,)上是减函数。…………(7分)

ee1111所以函数h(x)在(0,)上有最小值h()ln…………(8分)

eeeex21x/设g(x)x,(x0),则g(x)x

eee1x/由g(x)x0得到0x1,所以函数g(x)在(0,1)上是增函数。

e1x/由g(x)x0得到x1,所以函数g(x)在(1,)上是减函数。…………(9分)

e121所以函数g(x)在(0,)上有最大值g(1)…………(10分)

eee/由h(x)lnx10得到xx22ex1x综上所述: xlnxxelnx1f(x)1…………(12分)

eex请从下面所给的22、23、24三题中选定一题作答,并用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑,按所涂题号进行评分;不涂、多图均按所答第一题评分;多答按所答第一题评分。

22. (本小题满分10分)选修4—1:几何证明选讲

如图所示,已知PA是⊙O相切,A为切点,过点P的

割线交圆于B,C两点,弦CD//AP,AD,BC相交于点

E,F为CE上一点,且DE2EFEC. (1)求证:CEEBEFEP;

(2)若CE:BE3:2,DE3,EF2,求PA的长.

第22题图 解:(Ⅰ)∵DE2EFEC,DEFDEF

∴DEF∽CED, ∴EDFC……………………(1分) 又∵CD//AP, ∴PC, ……………………(2分) ∴EDFP,DEFPEA ∴EDF∽EPA,

EAEP,∴EAEDEFEP ……………………(3分) EFED又∵EAEDCEEB,……………………(4分) ∴CEEBEFEP.……………………(5分) (Ⅱ)∵DE2EFEC,DE3,EF2

9 ∴ EC,………………(6分)

2∵CE:BE3:2 ∴BE3……………………(7分)

27由(1)可知:CEEBEFEP,解得EP.……………………(8分)

415∴BPEPEB.

4∵PA是⊙O的切线,∴PA2PBPC………………(9分)

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WORD完整版----可编辑----教育资料分享 ∴PA215315279.……………………(10分) (),解得PA4442x2cos1 (为参数),以直角坐标系原点为极点,x轴正半轴

y3sin23.本小题满分10分)选修4—4;坐标系与参数方程 已知曲线C的参数方程为为极轴建立极坐标系.

(1)求曲线C的极坐标方程; (2)若直线l的参数方程为xt其中t为参数,求直线l被曲线C截得的弦长.

y3tx2cos1 (α为参数)

y3sin2解(1)∵曲线C的参数方程为y21……………………(2分) 43xcos3将 代入并化简得:

ysin2cos3即曲线c的极坐标方程为 ……………………(5分)

2cos(2)直线l的普通方程为y3x,……………………(6分) xcos将 代入并化简得:

ysin直线l的极坐标方程为:tan3,0,2……………………(7分)

4所以或……………………(8分)

33463将或分别代入得:或2……………………(9分)

3352cos64即直线l与曲线C两个交点的极坐标为A(,),B(2,)

533616所以弦长AB2……………………(10分)

5524.(本小题满分10分)选修45:不等式选讲

已知函数f(x)|x|x1,g(x)|x4|m. (1)解关于x的不等式g[f(x)]1m0; (2)若函数

x1∴曲线C的普通方程为

f(x)的图像恒在函数g(x)图像的上方,求实数m的取值范围.

解:(Ⅰ)由g[f(x)]2m0得||x|x14|1,

3|x|x15 ……(*) …………(1分)

(1) 当x0时,不等式(*)可以化为:312x5,即2x1………(2分)

(2) 当0x1时,不等式(*)显然不成立。………(3分)

(3) 当x0时,不等式(*)可以化为:32x15,即2x3………(4分) 综上,原不等式的解集为2,12,3 ………(5分)

(Ⅱ)∵函数f(x)的图象恒在函数g(x)图象的上方

∴f(x)g(x)恒成立,即m|x|x1|x4|恒成立………(6分) 记h(x)xx1x4

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(1)当x0时,h(x)xx1x4=53x,则h(x)5

(2)当0x1时,h(x)xx1x4=5x,则4h(x)5………(7分) (3)当1x4时,h(x)xx1x4=3x,则4h(x)7………(8分) (4)当x4时,h(x)xx1x4=3x5,则h(x)7………(9分) 综上,h(x)min4∴m的取值范围为m4. ………(10分)

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