极限与连续基础练习题含解答

§2.1 数列的极限

一、观察并写出下列数列的极限：

468,,L极限为1 35711112．1,,,,,L极限为0

23451．2,2n1n为奇数2n3．an极限为1

n21n为偶数2n§2.2 函数的极限

一、画出函数图形，并根据函数图形写出下列函数极限： 1．lime

xx极限为零 2．limtanx

x2无极限 3．

xlimarctanx

极限为2

4．limlnx x0无极限，趋于

x„12x1,2二、设f(x)xx3,1x„2，问当x1，x2时，f(x)的极限是否存在？

x21,x22Qlimf(x)lim(xx3)3；limf(x)lim(2x1)3 x1x1x1x122limf(x)lim(xx3)53 Qlimf(x)lim(x1)3；x2x2x2x2limf(x)不存在。

x2三、设

fx11e1x，求

x0时的左、右极限，并说明x0时极限是否存在．

limf(x)不存在。

x0四、试讨论下列函数在x1．绝对值函数2．取整函数3．符号函数

0时极限是否存在．

fx|x|，存在极限为零

fx[x] 不存在

fxsgnx 不存在

§2.3 无穷小量与无穷大量

一、判断对错并说明理由： 1．xsin1是无穷小量． x错，无穷小量需相对极限过程而言，在某个极限过程中的无穷小量在其它极限过程中可能不再是无穷小量。当x0时，xsin110；当x1时，xsinsin1不是无穷小量。 xx2．同一极限过程中两个无穷小量的商，未必是该极限过程中的无穷小量．

对，两个无穷小量的商是“0/0”型未定式，即可能是无穷小量，也可能是无穷大量或其它有极限但极限不为零的变量。

3．无穷大量一定是无界变量，而无界变量未必是无穷大量．

对，无穷大量绝对值无限增大因此一定是无界变量，但无界变量可能是个别点无限增大，变量并不能一致地大于任意给定的正数。

二、下列变量在哪些极限过程中是无穷大量，在哪些极限过程中是无穷小量：

x2， x21x2时，或x时，为无穷小量； x1时，或x1时，为无穷大量。

12． , kZ

lntanx1．

1x(k)时，tanx，则lntanx，从而0+为无穷小量；

2lntanx1xk时，tanx0，则lntanx，从而0为无穷小量；

lntanx1xk时，tanx1，则lntanx0，从而为无穷大量；

4lntanx三、当x0时，x，

2x和3x都是无穷小量，它们是否为同阶无穷小量，如果不是它们之间最高阶和最低阶的无穷小量分别是谁？

x2xxQlimlim0，所以当x0时，x2是x的高阶无穷小量。 x0xx01x2x(3x)223x的高阶无穷小量。 xx0，所以当时，是Qlimlim0x03xx01Qlimx036xxx0，所以当时， lim0x01x2x是3x的高阶无穷小量。

通过比较可知，当x0时，x，2x和3x不是同阶无穷小量，其中x2是x和3x的高阶无穷小量，2因此x是三者中最高阶的无穷小量。x和穷小量。

四、利用无穷小量与极限的关系证明：limxx0x都是3x的高阶无穷小量，因此3x是三者中最低阶的无f(x)g(x)limf(x)limg(x)．

xx0xx0证明：设limxx0f(x)A，limg(x)B，则由无穷小量与极限的关系，f(x)A，g(x)B，

xx0其中,为xx0时的无穷小量。 则limxx0f(x)g(x)lim(A)(B)lim(ABBA)AB

xx0xx0§2.4 极限的性质与运算法则

一、如果limxx0f(x)A0，则存在x0的空心邻域，使得（1）（2）（4）成立．

（1）f(x)有界；（2）f(x)非负；（3）f(x)落入其中；（4）|f(x)A|，>0． 二、求下列函数的极限

1113n(2)n1．limn1 2． limn1n3nnn1(2)1223x23x4313．lim 4．lim 3x1x1x11x1x5．

xlimx4x212x 6．limx31x3

x原式limxx14x12x2 原式limx1xx1x(1x)233332 x21axb0. 三、求a,b，使得limxx1必有a1(否则原式)；同时有ab0(否则原式0)；

x3ax2x4b为有限值，求a,b. 四、若limx1x1§2.5 极限存在性定理与两个重要极限

一、判断题：

sinx1错

x1xsin(x1)2．lim1对

x1x1sinx3．lim1错

xx14．limxsin1对

xx15．limxsin1错

x0x1x6．lim(1)e对

x0x1．lim7．当x0时，sinx,arcsinx,tanx,arctanx,ln(1x),e1都是x的等价无穷小．对 二、求下列函数极限：

xsin(x24)sin2x1．lim 2．limx2x0tan3xx2xx13．lim 4．lim x0arctanxxx15．limxx111xxlim(1x1)x111xx2xx 6．lim2limx xx1x1x1xxx7．limsin(sinx)1ln(1xx2x3) 8． lim

x0ln(1x)x0xn三、求极限lim(由两面夹法则 四、设un12nL) ．

n2n1n2n2n2nn1111，证明数列{un}的极限存在． 22223n由单调有界定理，数列{un}的极限存在.

五、设a0，x10，且有xn1在，并求极限．

1a(xn)，(n1,2,L)，证明数列{xn}的极限存2xn由单调有界定理，数列{xn}的极限存在

§2.6 函数的连续性

一、填空题

1．设函数

fxln1x，若补充f0 -1 可使fx在x0处连续．

xx212．x1是函数y2的第 1 类间断点，且为 可去 间断点．

x3x23．x0是函数

x的第 1 类间断点，且为 可去 间断点． tanxxxkk1,2是函数y的第 2 类间断点，且为 无穷 间断点．

tanxx的第 1 类间断点，且为 可去 间断点． xkk1,2是函数ytanx2y4．xa是函数5．xyxaxa的第 1 类间断点，且为 跳跃 间断点．

0是函数ycos21的第 2 类间断点． x二、研究下列各函数的连续性，找出其间断点，并判断其类型：

1cosx,x01．f(x) x22x0x1,Qlimx01cosx1；lim(x21)1，x0为第一类跳跃间断点。 2x2x01x2．f(x)e

Qlime0；lime，x0为第二类无穷间断点。 x0x01x1xx(x1)x2x3． f(x)

|x|(x21)|x|(x1)(x1)x0为第一类跳跃间断点。 x1为第一类可去间断点。 x1为第二类无穷间断点

sinx,x0x四、f(x)，确定a,b使 a,x01bxsin,x0xsinx1lim(bxsin)，b1.

x0x0xxsinx1lim(bxsin)a．a1. 2．f(x)在x0处连续limx0x0xx1．f(x)在x0处有极限limexb五、f(x)，确定a,b使同时满足

(xa)(x1)exb1b,a0.（1）（2）x0是f(x)的无穷间断点，即limf(x)limx0x0(xa)(x1)abe. x1是f(x)的可去间断点，即limf(x)存在，则必有limexb=0，x1x1六、设f(x)在[a,b]上连续，且f(a)a，f(b)b，证明在区间[a,b]上至少存在一点

，使得f()．

证明：设F(x)f(x)x，则F(x)也在[a,b]上连续。 且有F(a)f(a)a0;F(b)f(b)b0.即F(a)F(b)0。

若F(a)F(b)0，由零点定理，在开区间(a,b)内至少存在一点，使得f()． 若F(a)F(b)0，则F(a)0或F(b)0，此时区间端点是函数F(x)的零点。 综上，在区间[a,b]上至少存在一点，使得f()．