湖北省2021-2022高三数学元月调考试题 文

湖北省荆门市2020高三数学元月调考试题 文

注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填在答题卡上。

2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑， 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷上无效。 3．填空题和解答题答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷上无效。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。请将正确的答案填涂在答题卡上。 1．已知集合A{x|0x1}，B{x|3x1}，则

A．AB{x|x0} B．ABR C.AB{x|x1} D．AB 2．设i是虚数单位，则1i2等于 iA．0 B．2 C．2 D．4 3．下列各式中错误的是 ．．

A．0.830.73 B．lg1.6lg1.4 C．log0.50.4log0.50.6 D．0.750.10.750.1 x2y24．设双曲线C:221a0,b0的右焦点与抛物线y28x的焦点相同，双曲线C的一

ab条渐近线方程为3xy0，则双曲线C的方程为 x2y2x2y222A．y1 B．x1 C．1

33412x2y2 D．1

124π） 25．已知函数fxAsinx（A0，0，的部分图象如图所示，则

πππ2A． B． C． D．π

336．已知tan14,则sin2 tan第5题图 3111A． B． C． D． 247．设Sn是等差数列an的前n项和,若

S31S,则6 S63S12 - 1 -

可修改

A．

113 B． C．

3810 D．

198．太极图被称为“中华第一图”．从孔庙大成殿粱柱，到楼观台、三茅宫标记物；从道袍、卦摊、中医到气功、武术等等，太极图无不跃居其上．这种广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互抱在一起，因而被称为“阴阳鱼太极图”．在如图所示的阴阳鱼图案中，阴影部分可表示为

x2y242222x,yxy11或xy11，设点(x,y)A，

x0则z2xy的取值范围是

 A．15,25 B．25,25

C．25,15 D．4,15

9．灯会，是中国一种古老的民俗文化，一般指春节前后至元宵节时，由官方举办的大型 的灯饰展览活动，并常常附带有一些猜灯谜等活动，极具传统性和地方特色。春节期 间，某校甲、乙、丙、丁四位同学相约来猜灯谜，每人均获得一次机会．游戏开始前， 甲、乙、丙、丁四位同学对游戏中奖结果进行了预测，预测结果如下： 甲说：“我或乙能中奖”；乙说：“丁能中奖”’； 丙说：“我或乙能中奖”；丁说：“甲不能中奖”．

游戏结束后，这四位同学中只有一位同学中奖，且只有一位同学的预测结果是正确的， 则中奖的同学是

A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 10．函数f(x)elnx1的大致图象为 x

11．已知二面角l为60,点P、Q分别在、内且PQl,P到的距离为3,Q到

0的距离为

3, 则PQ两点之间的距离为 2- 2 -

可修改

A. 3 B．1 C．2 D．2

12．已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且F1PF2椭圆的离心率为e1，双曲线的离心率e2，则

3，

13 22e1e2A．1 B．2 C．2 D．4

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．某学校为了调查学生的学习情况，由每班随机抽取5名学生进行调查，若一班有50名学

生，将每一学生编号从01到50，请从随机数表的第1行第5、6列（下表为随机数表的前2行）的开始，依次向右，直到取足样本，则第五个编号为 ▲ .

14．已知向量a,b满足a3,b23,且a7816 3204 6514 9234 0802 4935 6314 8200 0702 3623 4369 4869 9728 6938 0198 7481 ab0，则a,b的夹角为 ▲ . 上股为

15．如图所示，正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形腰再连接正方形，…，如此继续下去得到一个树形图形，称为“勾树”．若某勾股树含有1023个正方形，且其最大的正方形的边长

22，则其最小正方形的边长为 ▲ .

第15题图

16．已知三棱锥P-ABC外接球的表面积为100，PA平面ABC，PA8,BAC600,则

三棱锥体积的最大值为 ▲ .

三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.（本小题满分12分）已知在等比数列an中，a12，且a1，a2，a32成等差数列． （Ⅰ）求数列an的通项公式； （Ⅱ）若数列bn满足：bna

1n2log2an，求数列bn的前n项和Sn．

- 3 -

可修改

18.（本小题满分12分）如图所示，在四棱锥ABCDE中， 平面BCDE平面ABC，BEEC，BC6,AB43，

ABC30．

（Ⅰ）求证：ACBE；

（Ⅱ）若二面角BACE为45，求直线AB与平面

ACE所成的角的正弦值．

19.（本小题满分12分）我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出．某市为了节约生活用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理(即确定一个居民月均用水量标准：用水量不超过a的部分按照平价收费，超过a的部分按照议价收费)．为了较为合理地确定出这个标准，通过抽样获得了40位居民某年的月均用水量(单位：吨)，按照分

，组0,0.5,0.51,,,3,3.5制作了频率分布直方图，

（Ⅰ）用该样本估计总体：

（1）估计该市居民月均用水量的平均数；

（2）如果希望86%的居民每月的用水量不超出标准，则月均用水量a的最低标准定为多

少吨？

（Ⅱ）在该样本中月均用水量少于1吨的居民中随机抽取两人，其中两人月均用水量都不低．．．．

于0.5吨的概率是多少？

x2y220.（本小题满分12分）已知椭圆E：221(ab0)的一个焦点与上下顶点构成直角

ab三角形，以椭圆E的长轴为直径的圆与直线xy20相切． （Ⅰ）求椭圆E的标准方程；

- 4 -

可修改

,B,C为椭圆E上不同的三点，（Ⅱ）A若O，试问：ABCO为坐标原点，AOBOC0的面积是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由．

221.（本小题满分12分）已知函数fxxlnxaxaR在定义域内有两个不同的极值

点.

（Ⅰ）求实数a的取值范围；

（Ⅱ）记两个极值点为x1,x2，且x1x2，求证：x1x21.

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22.（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】

x1cos在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为:（为参数），以坐标原点为

ysin极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线（Ⅰ）求直线l与曲线C1公共点的极坐标；

（Ⅱ）设过点P0,1的直线m交曲线C1于A，B两点，求PAPB的值．

23.（10分）【选修4-5：不等式选讲】

设不等式2x11的解集是M，a，bM． （Ⅰ）试比较ab1与ab的大小；

的极坐标方程为:πR． 4 - 5 -

可修改

2211abhmax,,（Ⅱ）设maxA表示数集A中的最大数．，求h的最小值．

ab4b4a - 6 -

可修改

荆门市2020年高三年级元月调考试卷 数学（文科）参与评分标准

一、选择题：每小题5分，共60分.

1－5 DBDBC 6-10 CACAC 11-12 AD 二、填空题：每小题5分，共20分.

13.43 14. 三、解答题：

17.解：（1）设等比数列an的公比为q，

∵a1，a2，a32成等差数列，∴2a2a1a322a32a3，………3分 ∴qa32an2nnN*． …………………………………………………6分 a251 15. 16. 183

3261112log2an2log22n2n， ……………………………8分 （2）∵bnan222131n11∴Sn2462n

2222n1121312462n ………………………10分

2222nn11122112nnn(n1)n2n11nN*． ………………………12分

218.解：（Ⅰ）证明：在ACB中，AC2AB2BC22ABBCcosABC3,

所以AC2BC2AB2,所以ACBC． ……………………………2分 因为平面BCDE平面ABC,平面BCDE平面ABCBC,BCAC,

所以AC平面BCDE． ……………………………………………4分 又因为BE平面BCDE，所以ACBE． ………………………………6分

（Ⅱ）解：因为AC平面BCDE，CE平面BCDE，所以ACCE．

- 7 -

可修改

又BCAC,平面ACE平面ABCAC,

所以BCE是平面EAC与平面BAC所成的二面角的平面角，即BCE45．

………………………………8分

因为BEEC,ACBE,ECACC,所以BE平面ACE．

所以BAE是直线AB与平面ACE所成的角．……10分 因为在RtBCE中，BEBCsin4532， 2所以在RtBAE中，sinBAE

19．解：（Ⅰ）（1）月均用水量

BE6． ……12分 AB4x0.250.050.750.11.250.151.750.22.250.3

2.750.153.250.051.875 ……………………………3分

（2）由直方图易知：a2.5,3,由3-a0.30.50.1186%a2.7吨

故月均用水量a的标准定为2.7吨. ………………………………6分 （Ⅱ）由直方图可知：月均用水量在0,0.5的人数为：400.10.5=2人，记为:a,b，

，月均用水量在0.51的人数为：400.20.5=4人，记为：Ａ,B,C,D ……8分

从此6人中随机抽取两人所有可能的情况有：

ab,aA,aB,aC,aD,bA,bB,bC,bD,AB,AC,AD,BC,BD,CD 共15种，其中月均用水量都 ，在0.51的情况有：AB,AC,AD,BC,BD,CD,共6种， ………………………10分

故两人月均用水量都不低于0.5吨的概率:P=62 ………………………12分 15520. 解：（Ⅰ）由题意知，， …………………………………………2分

解得 则椭圆的方程是： ………………4分

（Ⅱ）①当AB斜率不存在时，不妨设C(2,0),A(2323 ,)，B(,)，2222 - 8 -

可修改

S13236 ……………………………………………………5分 3224ykxm222(12k)x4mkx2(m1)0 ②设AB:ykxm,由22x2y2设A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3)，则

4mk2(m21) ………………………………………7分 x1x2,x1x212k212k2x3=-x1x2由OAOBOC0,代入x22y22有：

y=-yy2314mk4mk222k2m24m2k1 …………………9分 2212k12k原点O到AB的距离d22mk12,

16m2k28(m21)(2k21)(2k21)m2 2ABk122k12k212k212………………………………………………………………………………11分

m(2k21)m2133m2362故SAB3d22k1 32222222k14m4k1BC的面积为定值综上：A36.………………………………………………………12分 4'21.解：（Ⅰ）由题意，方程f(x)0在0,有两个不同根,即方程1lnx2ax0有两个不同根；

解法1：转化为函数g(x)lnx与函数y2ax1的图象在0,上有两个不同交点，

令g(x0)故g(x)在('112ax0, ……………………………………………………1分 x02a11111,ln()处的切线方程为：yln()(x)………………3分 2a2a2a2a2a11111(0)ln()012a1 代入点0,1有：1ln()2a2a2a2a2a - 9 -

可修改

由图象可得：2a0,1a0,解法2：转化为函数g(x)1 ……………………………………………5分 21lnx与函数y2a的图象在0,上有两个不同交 x点． ………………………………………………………………………………1分

g'(x)lnx(x0)，故x0,1时，g'(x)0;x1,,时，g'(x)0; 2xg(x)maxg(1)1…………………3分 故g(x)在0,1单增，在1，+上单减，又g()0,故x(0,)时，g(x)0;x(,)时，g(x)0; 由图象可得：2a0,1a0,解法3：f''1e1e1e1………………………………………………5分 2x12a(x0) …………………………………………………………1分 x''①2a0时，f+上单增， x0，故f'x在0，故f'x=0在0，+最多只有一个实根，不合题意； …………………………2分 11''''2a0时，令fx0x0，;令fx0x②,;

2a2a11故f'x在0，上单增，在,上单减;

2a2a''1fxf故1ln(2a)1ln(2a)02a0,1 max2a11当2a0,1时，f'2a0,limf'x，

xee1故f'x=0在0，+上有两个不等的实根；故a0, …………………5分

2（Ⅱ）由（Ⅰ）知：x1,x2是1lnx2ax0的两个根，

故1lnx12ax10， 1lnx22ax202a=lnx1lnx2 …………………7分

x1x2要证：x1x21，只需证：lnx1lnx20即证：2ax1-1+2ax2-10

- 10 -

可修改

lnxlnx22即证：2ax1x22即证：1

x1x2x1x2x211xx2x1x2又0x1x2,故上式即为：ln12() ……………9分 x1x2x1x21x22t1't10x14令t10,1,h(t)lnt,h(t) ……11分

x2t1tt12tt12故h(t)在0,1上单增，故h(t)h(1)0,故()式成立，即证. ……………12分 22.（1）曲线C1的普通方程为x1y21，直线l的普通方程为yx， …………2分

222x0x1x1y21联立方程，解得或， …………………4分

y1y0yxπ所以，直线l与曲线C1公共点的极坐标为0,0，2,．…………………5分

4xtcosm（2）依题意，设直线的参数方程为（为倾斜角，t为参数），

y1tsin代入x1y21，整理得t2-2sin+cost10． ……………………………7分 设A,B对应的参数分别为t1,t2,则PAPBt1t21 ………………………………10分 另解：设PT为C1的一条切线，由切割线定理：PAPBPTPC1121

23.由2x11得12x11，解得0x1，∴Mx0x1．…………………2分 （1）由a，bM，得0a1，0b1，

∴ab1aba1b10，故ab1ab．…………………………5分 1a2b2111a2b2,,（2）由hmax，h，h， ……7分 ，得h4a4b4aab4bab222∴h314aa2b2a2b22ab11，故h． ………………………9分

16ab16ab82ab4b1a2b2ab11即ab时等号成立.………………………10分

44b2- 11 -

当且仅当

14a1